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2019年高考數學二輪復習 專題訓練八 第1講 幾何證明選講 理 考情解讀　本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內接四邊形的性質與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內容多數涉及圓，并且多是以圓為背景設計的綜合性考題，考查邏輯推理能力． 1．(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似． 判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似． 判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似． (2)相似三角形的性質 ①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比； ②相似三角形周長的比等于相似比； ③相似三角形面積的比等于相似比的平方． (3)直角三角形的射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項． 2．(1)圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． (2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數． 3．(1)圓內接四邊形的性質定理 ①圓的內接四邊形的對角互補； ②圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角． (2)圓內接四邊形判定定理 如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 4．(1)圓的切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑． (2)圓的切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (4)相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． (5)切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． 5．證明等積式成立，應先把它寫成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似，若不相似，則進行線段替換或等比替換． 6．圓冪定理與圓周角、弦切角聯合應用時，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比．由于圓冪定理涉及圓中線段的數量計算，所以應注意代數法在解題中的應用． 熱點一　相似三角形及射影定理 例1　如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，則AC∶BC的值為________． 答案　3∶2 解析　方法一　因為∠ACB＝90，CD⊥AB于D， 所以由射影定理，得AC2＝ADAB，BC2＝BDAB. 所以()2＝＝. 又AD∶BD＝9∶4， 所以AC∶BC＝3∶2. 方法二　因為AD∶BD＝9∶4， 所以可設AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋. 又∠ACB＝90，CD⊥AB于D， 由射影定理，得CD2＝ADBD， 所以CD＝6k. 由勾股定理，得AC＝3和BC＝2， 所以AC∶BC＝3∶2. 思維升華　含斜邊上的高的直角三角形是相似三角形中的基本圖形，本題中出現多對相似三角形，這為解決問題提供了許多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性質在直角三角形中的一個經典應用，在類似問題中應用射影定理十分簡捷． 如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，BE的長為________． 答案　4 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90， ∴CD2＝AD2－AC2＝128， ∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴＝，∴BE＝＝＝4. 熱點二　相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的應用 例2　如圖所示，AB為⊙O的直徑，P為BA的延長線上一點，PC切⊙O于點C，CD⊥AB，垂足為D，且PA＝4，PC＝8，則tan∠ACD和sin P的值為________． 答案　， 解析　連接OC，BC.因為PC為⊙O的切線，所以PC2＝PAPB. 故82＝4PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12. 由條件，得∠PCA＝∠PBC， 又∠P＝∠P， 所以△PCA∽△PBC. 所以＝. 因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB＝90. 又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B. 所以tan∠ACD＝tan B＝＝＝＝. 因為PC為⊙O的切線，所以∠PCO＝90. 又⊙O直徑為AB＝12，所以OC＝9，PO＝10. 所以sin P＝＝＝. 思維升華　(1)求非特殊角的函數值的關鍵是將這些角歸結到直角三角形中，利用直角三角形的邊之比表示出角的三角函數值，然后根據已知條件將這些比值轉化為已知線段的比值． (2)線段成比例的證明，一般利用三角形相似進行轉化，在圓中的相關問題，應注意靈活利用圓中的切割線定理、相交弦定理等求解相關線段的長度或構造比例關系． (xx廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝____________. 答案　2 解析　C為BD中點，且AC⊥BC，故△ABD為等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝?AC2＝AEAD＝46＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2. 熱點三　圓的有關性質的綜合應用 例3　如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E. 若△ABC的面積S＝ADAE，則∠BAC的大小為________． 答案　90 解析　由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因為∠AEB與∠ACD是同弧所對的圓周角， 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以＝， 即ABAC＝ADAE. 又S＝ABACsin∠BAC，且S＝ADAE， 故ABACsin∠BAC＝ADAE， 則sin∠BAC＝1.又∠BAC為△ABC的內角， 所以∠BAC＝90. 思維升華　高考中對幾何證明的命題集中在圓和三角形、四邊形相結合的綜合性題目上，這類試題往往要綜合運用多個定理和添加一定的輔助線才能解決．已知圓的切線時，第一要考慮過切點和圓心的連線得直角；第二應考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時要考慮切割線定理．同時注意四點共圓的判定及性質的應用． (xx湖北)如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E，若AB＝3AD，則的值為________． 答案　8 解析　易知△CDO∽△CED， ∴＝， 設圓O半徑為R，則AD＝R，OD＝R， ∴CD2＝R2－(R)2＝R2， ∴CE＝＝R，EO＝R，故＝8. 1．證明兩角相等，關鍵是確定兩角之間的關系，多利用中間量進行轉化，可以通過證明三角形相似或全等，利用平行線的有關定理，如同位角相等、內錯角相等等，也可利用特殊平面圖形的性質，如利用等腰三角形的兩個底角相等、圓中同弧或等弧所對的圓周角相等尋找中間量進行過渡． 2．證明或尋找圓內接圖形中的角之間的關系，除了注意平面圖形中的垂直、平行關系之外，還應注意弦切角、同弧所對角等性質的靈活運用． 真題感悟 1．(xx湖南)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，則⊙O的半徑等于________． 答案　 解析　如圖，延長AO交圓O于點D，連接BD，則AB⊥BD. 在Rt△ABD中，AB2＝AEAD. ∵BC＝2，AO⊥BC，∴BE＝. ∵AB＝，∴AE＝1， ∴AD＝3，∴r＝. 2．(xx廣東)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則＝_________________________. 答案　9 解析　在平行四邊形ABCD中，因為EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.因為AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝()2＝9. 押題精練 1.如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF＝________. 答案　 解析　連接DE，由于E是AB的中點， 故BE＝. 又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四邊形EBCD是矩形． 在Rt△ADE中，AD＝a， F是AD的中點，故EF＝. 2．(xx陜西)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F，若AC＝2AE，則EF＝____________. 答案　3 解析　∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB， ∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3. 3．(xx天津改編)如圖，△ABC是圓的內接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FDFA；③AECE＝BEDE；④AFBD＝ABBF. 則所有正確結論的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　對于①，∵BF是圓的切線， ∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2. 又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD平分∠CBF，故①正確； 對于②，根據切割線定理有FB2＝FDFA， 故②正確； 對于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC， ∴△BDE∽△ACE. ∴＝，即AEDE＝BECE，故③錯誤； 對于④，∵∠4＝∠1，∠BFD＝∠AFB， ∴△BFD∽△AFB，∴＝， 即AFBD＝ABBF，故④正確． (推薦時間：40分鐘) 1．(xx湖北)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點．若QC＝1，CD＝3，則PB＝________. 答案　4 解析　由切割線定理得QA2＝QCQD＝4，解得QA＝2.則PB＝PA＝2QA＝4. 2．(xx重慶)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________. 答案　4 解析　由切割線定理得PA2＝PBPC＝PB(PB＋BC)，即62＝PB(PB＋9)，解得PB＝3(負值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，則＝，即＝，解得AB＝4. 3．如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若＝，＝，則的值為________． 答案　 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.∵＝，＝， ∴＝. 4．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，FB＝1，EF＝，則線段CD的長為________． 答案　 解析　因為AFBF＝EFCF，解得CF＝2， 所以＝，即BD＝.設CD＝x，AD＝4x， 所以4x2＝，所以x＝. 5.如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，AE交BC于點F，則的值為______． 答案　 解析　過點D作DM∥AF交BC于點M. ∵點E是BD的中點， ∴在△BDM中，BF＝FM， 又點D是AC的中點， ∴在△CAF中，CM＝MF， ∴＝＝. 6．(xx廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________. 答案　2 解析　C為BD中點，且AC⊥BC，故△ABD為等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝?AC2＝AEAD＝46＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2. 7.如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________. 答案　 解析　由切割線定理可得PA2＝PBPC， 即PC＝＝＝4， 所以BC＝PC－PB＝3， 因為AC是圓O的直徑， 所以∠ABC＝90， 所以AB2＝BCBP＝3， 所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12， 即AC＝＝2， 所以2R＝2，即R＝. 8．如圖，AB，CD是圓O內的兩條平行弦，BF∥AC，BF交CD于點E，交圓O于點F，過A點的切線交DC的延長線于點P，若PC＝ED＝1，PA＝2，則AC的長為________． 答案　 解析　∵PA是⊙O的切線， ∴由切割線定理得PA2＝PCPD. ∵PA＝2，PC＝1， ∴PD＝4. 又∵PC＝ED＝1， ∴CE＝2，由題意知四邊形ABEC為平行四邊形， ∴AB＝CE＝2，連接BC，如圖， ∵PA是⊙O的切線， ∴∠PAC＝∠CBA. ∵AB，CD是圓的兩條平行弦， ∴∠PCA＝∠CAB， ∴△PAC∽△CBA，∴＝， ∴AC2＝PCAB＝2，∴AC＝. 9．如圖，已知AD＝5，DB＝8，AO＝3，則圓O的半徑OC的長為________． 答案　5 解析　由圓的割線定理得，AEAC＝ADAB，即(AO－OE)(AO＋OC)＝AD(AD＋DB)，即(3－OC)(3＋OC)＝5(5＋8)，解得OC＝5. 10．如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC經過圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點O逆時針旋轉60得到OD，則PD的長為________． 答案　 解析　∵PA切⊙O于點A，B為PO的中點，∴∠AOB＝60，∴∠POD＝120.在△POD中，由余弦定理，得PD2＝PO2＋DO2－2PODOcos∠POD＝4＋1－4(－)＝7，故PD＝. 11．如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點P，連接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，則PAPB＝________. 答案　12 解析　由AD＝BD＝4，得∠PAD＝∠B，又∠B＝∠C，所以∠PAD＝∠C，又∠ADP＝∠CDA，所以△ADP∽△CDA.又PC＝6，設PD＝x，由＝，得＝，解得x＝2或x＝－8(舍去)， 即PD＝2，由相交弦定理，得PAPB＝PCPD＝62＝12. 12.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD是斜邊BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，則AD∶BC＝________. 答案　2∶5 解析　設AC＝k，則AB＝2k，BC＝k， ∵∠BAC＝90，AD⊥BC，∴AC2＝CDBC， ∴k2＝CDk，∴CD＝k， 又BD＝BC－CD＝k， ∴AD2＝CDBD＝kk＝k2， ∴AD＝k，∴AD∶BC＝2∶5. 13.如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長FB到E，使BE＝FB，連接BD，EC.若BD∥EC，則四邊形ABCD的面積為________． 答案　6 解析　過點E作EN⊥DB交DB的延長線于點N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，則BD＝，由Rt△DFB∽Rt△ENB， 知＝， 所以EN＝，又BD∥EC，所以EN為△BCD底邊BD上的高，故S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ABDF＋BDEN＝33＋＝6. 14.如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于D，且AD＝2BD，E為AD的中點，連接CE并延長交圓O于F.若CD＝，則AB＝________， EF＝________. 答案　3　 解析　∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥BC. ∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝ADBD. ∵AD＝2BD，CD＝， ∴()2＝2BDBD，解得BD＝1， ∴AD＝2BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3. 在Rt△CDE中，∵E為AD的中點， ∴DE＝AD＝1，又CD＝， ∴CE＝＝， 又AE＝DE＝1，EB＝2， 由相交弦定理得EF＝＝. 15.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于點D，若AD＝1，∠ABC＝30，則圓O的面積是________． 答案　4π 解析　∠ACD＝∠ABC＝30， AC＝＝2， AB＝＝4， 故圓O的面積為π22＝4π.