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2019-2020年高考數(shù)學大一輪總復習 第7篇 第7節(jié) 立體幾何的向量方法課時訓練 理 新人教A版 一、選擇題 1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，有可能使l∥α的是(　　) A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析：若l∥α，則an＝0. 而選項A中an＝－2. 選項B中an＝1＋5＝6. 選項C中an＝－1， 選項D中an＝－3＋3＝0， 故選D. 答案：D 2．直線l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量為n＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則x的值為(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：線面平行時，直線的方向向量垂直于平面的法向量， 故－12＋1(x2＋x)＋1(－x)＝0，解得x＝. 答案：D 3．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，則(　　) A．EF至多與A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 解析：以D點為坐標原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1， 則A1(1,0,1)，D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)，E，F(xiàn)， B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)， ＝－，＝＝0， 從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故選B. 答案：B 4．如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE＝BF.當A1、E、F、C1共面時，平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為(　　) A． B． C． D． 解析：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，易知當E(6，3,0)、F(3，6,0)時，A1、E、F、C1共面，設平面A1DE的法向量為n1＝(a，b，c)，依題意得可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一個法向量為n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為＝.故選B. 答案：B 5．在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：取AC中點E，連接BE，則BE⊥AC， 如圖所示，建立空間直角坐標系B－xyz， 則A，D(0,0,1)， 則＝. ∵平面ABC⊥平面AA1C1C， 平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， BE⊥AC， ∴BE⊥平面AA1C1C， ∴＝為平面AA1C1C的一個法向量， ∴cos〈，〉＝－， 設AD與平面AA1C1C所成的角為α， 則sin α＝|cos〈，〉|＝. 故選A. 答案：A 6．(xx年高考大綱卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值是(　　) A． B． C． D． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標系， 設AA1＝2AB＝2， 則B(1,1,0)，C(0,1,0)， D(0,0,0)，C1(0,1,2)， 故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)． 設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)， 則 得 令z＝1，則y＝－2，x＝2， 所以平面BDC1的一個法向量為n＝(2，－2,1)． 設直線CD與平面BDC1所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.故選A. 答案：A 二、填空題 7．平面α的一個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是________． 解析：直線l的方向向量平行于平面α的法向量， 故直線l的單位方向向量是＝0，，－. 答案：0，，－或0，－， 8．如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E是A1B1上的點，則點E到平面ABC1D1的距離是________． 解：法一　以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在射線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系， 設點E(1，a,1)(0≤a≤1)， 連接D1E， 則＝(1，a,0)． 連接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1， 則＝(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量． ∴點E到平面ABC1D1的距離是d＝＝. 法二　點E到平面ABC1D1的距離，即B1到BC1的距離，易得點B1到BC1的距離為. 答案： 9．(xx合肥月考)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點，則EM、AN所成角的余弦值等于________． 解析：過C點作CO⊥平面ABDE，垂足為O，取AB中點F，連接CF、OF，則∠CFO為二面角CABD的平面角， 設AB＝1，則CF＝， OF＝CFcos∠CFO＝，OC＝， 則O為正方形ABDE的中心， 如圖所示建立直角坐標系Oxyz， 則E， M， A，N， ＝， ＝， cos〈，〉＝＝. 答案： 10．空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設M，N分別是BD，AE的中點，給出如下命題：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE異面． 則所有的正確命題為________． 解析：如圖設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|c|且ab＝cb＝0.＝－＝(b＋c)－(a＋b)＝(c－a)，＝(c－a)b＝(cb－ab)＝0，故AD⊥MN；＝c－a＝2，故MN∥CE，故MN∥平面CDE，故②③正確；③正確時④一定不正確． 答案：①②③ 三、解答題 11．(xx陜西西安五校三模)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上． (1)求異面直線D1E與A1D所成的角； (2)若二面角D1ECD的大小為45，求點B到平面D1EC的距離． 解：建立如圖所示的空間直角坐標系． (1)由A1(1,0,1)，得 ＝(1,0,1)， 設E(1，a,0)，又D1(0,0,1)，則＝(1，a，－1)． ∵＝1＋0－1＝0， ∴⊥， 則異面直線D1E與A1D所成的角為90. (2)m＝(0,0,1)為平面DEC的法向量， 設n＝(x，y，z)為平面CED1的法向量，則 cos〈m，n〉＝＝＝cos 45＝， ∴z2＝x2＋y2① 由C(0,2,0)，得＝(0,2，－1)， 則n⊥， 即n＝0， ∴2y－z＝0② 由①、②，可取n＝(，1,2)， 又＝(1,0,0)， 所以點B到平面D1EC的距離d＝＝＝. 12．(xx福建廈門聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐PABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝. (1)證明△PBC為直角三角形； (2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值． (1)證明：以點E(AC中點)為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz，則B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，)． 于是＝(－，－1，)，＝(－，2,0)． 因為＝(－，－1，)(－，2,0)＝0， 所以⊥，所以BP⊥BC. 所以△PBC為直角三角形． (2)解：由(1)可得，A(0，－2,0)． 于是＝(0,1，)，＝(，1，－)，＝(0,3，－)． 設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 取y＝1，則z＝，x＝. 所以平面PBC的一個法向量為n＝(，1，)． 設直線AP與平面PBC所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.