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2019-2020年高中數(shù)學 推理與證明 章末檢測 蘇教版選修2-1 一、填空題 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是________推理． 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EF∥BC，這個問題的大前提為 ________________________． 3．用反證法證明命題“三角形的內角至多有一個鈍角”時，反設為________． 4．學習合情推理后，甲、乙兩位同學各舉一個例子． 甲：由“若三角形周長為l，面積為S，則其內切圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r＝”； 乙：由“若直角三角形兩直角邊長分別為a、b，則其外接圓半徑r＝”類比可得“若三棱錐三條側棱兩兩垂直，側棱長分別為a、b、c，則其外接球半徑r＝”． 這兩位同學類比得出的結論正確的是________． 這兩位同學類比得出的結論正確的是________． 5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達式為________． 6．對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立． 其中判斷正確的個數(shù)為________． 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有________個． ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱椎． 8．數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013＝________. 9．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規(guī)律為 ____________________________________． 10．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當n≥2時，有____________． 11．如圖所示是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，設第n個圖有an個“樹枝”，則an＋1與an(n∈N*)之間的關系是______． 12．在平面幾何中，△ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比為＝，把這個結論類比到空間：在三棱錐A—BCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結論是________． 二、解答題 13．把下面在平面內成立的結論類比地推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立： (1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交； (2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行． 14．1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項？說明理由． 15．設a，b為實數(shù)，求證：≥(a＋b)． 16．設a，b，c為一個三角形的三邊，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a. 17．給定數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，求證：經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸． 18．平面幾何中圓的垂徑定理(弦的中點與圓心的連線必定垂直于這條弦)，在解析幾何中可以這樣敘述：若M是圓O：x2＋y2＝r2(r>0)的弦AB的中點，則直線OM與AB的斜率之積為定值(即為－1)． (1)請在橢圓＋＝1(a>b>0)中，寫出與上述定理類似的結論，并予以證明． (2)若把(1)中的結論類比到雙曲線－＝1(a>0，b>0)中，則直線OM與AB的斜率之積是什么？(不必證明) 答案 1．歸納 2．三角形的中位線平行于第三邊 3．假設至少有兩個鈍角 4．甲 5．f(x)＝ 6．1 7．2 8．－1 9．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 10．f(2n)>(n≥2) 11．a(chǎn)n＋1＝2an＋1 12.＝ 13．解　(1)類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交， 則必和另一個相交． 結論是正確的：證明如下：設α∥β，且γ∩α＝a， 則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b. (2)類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行，結論是錯誤的，這兩個平面也可能相交． 14．解　假設1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則 1＝－md,2＝＋nd， m，n為兩個正整數(shù)，消去d得m＝(＋1)n. ∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無理數(shù)， ∴m≠(＋1)n. ∴假設不成立． 即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項． 15．證明　當a＋b≤0時，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當a＋b>0時，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立． 綜上所述，對任意實數(shù)a，b不等式都成立． 16．證明　要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<，即證bb>0)的弦AB的中點，則直線OM與AB的斜率之積為定值(－)． 證明如下：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點坐標為M(x0，y0)，則＋＝1，① ＋＝1，② ①－②，得 ＋＝0， 即＋＝0， ＝－. ∴kOMkAB＝－. (2).