2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第42講 二項式定理練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第42講 二項式定理練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.考查利用通項求展開式中的特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等.2.考查賦值法與整體法的應(yīng)用.3.多以選擇題、填空題的形式考查. 一、二項式定理 1.(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*). 2.第r+1項,Tr+1=Can-rbr. 3.第r+1項的二項式系數(shù)為C. 二、二項式系數(shù)的性質(zhì) 1.0≤k≤n時,C與C的關(guān)系是C=C. 2.二項式系數(shù)先增后減中間項最大且n為偶數(shù)時第+1項的二項式系數(shù)最大,最大值為Cn;當n為奇數(shù)時,第項和項的二項式系數(shù)最大,最大值為Cn或Cn. 3.各二項式系數(shù)和:C+C+C+…+C=2n,C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1. 1.(1+x)6的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是( ) A.20x3 B.15x2 C.15x4 D.x6 【解析】 二項展開式中間一項(第4項)的二項式系數(shù)最大, ∴T4=Cx3=20x3. 【答案】 A 2.4的展開式中的常數(shù)項為( ) A.-24 B.-6 C.6 D.24 【解析】 展開式的通項是Tr+1=C(2x)4-rr=(-1)rC24-rx4-2r,令4-2r=0,得r=2, ∴展開式中的常數(shù)項為(-1)2C22=24,故選D. 【答案】 D 3.已知(1+kx2)6(k為正整數(shù))的展開式中x8的系數(shù)小于120,則k=________. 【解析】 展開式的通項是Tr+1=C(kx2)r, 令2r=8,得展開式中x8的系數(shù)為Ck4, ∴Ck4<120,即k4<8. 又k是正整數(shù),故k=1. 【答案】 1 4.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等,則n=________. 【解析】 Tr+1=C(3x)r=3rCxr. 由已知條件35C=36C,即C=3C. =3,整理得n=7. 【答案】 7 5.(xx大綱全國卷)(x+2)8的展開式中x6的系數(shù)是( ) A.28 B.56 C.112 D.224 【解析】 該二項展開式的通項為Tr+1=Cx8-r2r=2rCx8-r,令r=2,得T3=22Cx6=112x6,所以x6的系數(shù)是112. 【答案】 C 6.(xx安徽高考)若8的展開式中,x4的系數(shù)為7,則實數(shù)a=________. 【解析】 含x4的項為Cx53=Ca3x4, ∴Ca3=7, ∴a=. 【答案】 考向一 [178] 通項公式及其應(yīng)用 已知在n的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求含x2的項的系數(shù); (2)求展開式中所有的有理項. 【思路點撥】 (1)寫出通項Tr+1,先求n,再求含x2的項的系數(shù).(2)尋找使x的指數(shù)為整數(shù)的r值,從而確定有理項. 【嘗試解答】 (1)n的展開式的通項為 Tr+1=Cxrx-=Crx. 因為第6項為常數(shù)項, 所以r=5時,有=0,即n=10. 令=2,得r=(n-6)=(10-6)=2, ∴含x2的項的系數(shù)為C2=. (2)根據(jù)通項公式,由題意∈Z,且0≤r≤10. 令=k(k∈Z),則10-2r=3k,即r=5-k. ∵r∈N,∴k應(yīng)為偶數(shù). ∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8. 所以第3項,第6項和第9項為有理項,它們分別為 C2x2,C5,C8x-2. 規(guī)律方法1 1.解此類問題可以分兩步完成:第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且n≥r);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項. 2.有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項.解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解. 對點訓(xùn)練 (1)(xx浙江高考)設(shè)二項式5的展開式中常數(shù)項為A,則A=________. (2)設(shè)二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項為B,若B=4A,則a的值是________. 【解析】 (1)Tr+1=C()5-rr=C(-1)rx-,令-=0,得r=3,所以A=-C=-10. (2)6展開式的通項Tr+1=(-a)rCx6-r, ∴A=(-a)2C,B=(-a)4C, 由B=4A,得(-a)4C=4(-a)2C,解之得a=2. 又a>0,所以a=2. 【答案】 (1)-10 (2)2 考向二 [179] 二項展開式項的系數(shù)與二項式系數(shù) (1)設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,則展開式中系數(shù)最大的項是( ) A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3 (2)(xx課標全國卷Ⅱ)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【思路點撥】 (1)先賦值求a0及各項系數(shù)和,進而求得n值,再運用二項式系數(shù)性質(zhì)與通項公式求解.(2)先求出(1+x)5含有x與x2的項的系數(shù),從而得到展開式中x2的系數(shù). 【嘗試解答】 (1)∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 令x=0,得a0=1. 令x=1,則(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=6, 又(1+x)6的展開式二項式系數(shù)最大項的系數(shù)最大, ∴(1+x)6的展開式系數(shù)最大項為T4=Cx3=20x3. (2)(1+x)5中含有x與x2的項為T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,∴x2的系數(shù)為10+5a=5,∴a=-1,故選D. 【答案】 (1)B (2)D 規(guī)律方法2 求解這類問題要注意:1.區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù),靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì).2.根據(jù)題目特征,恰當賦特殊值代換.對于展開式中的系數(shù)和、隔項系數(shù)和、系數(shù)的絕對值和等問題,通常運用賦值法進行構(gòu)造(構(gòu)造出目標式).賦值時要注意根據(jù)目標式進行靈活的選擇,常見的賦值方法是使字母因式的值為1,-1或目標式的值. 對點訓(xùn)練 (1)(xx浙江省高三調(diào)測)若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a0+a1+a3+a5等于( ) A.122 B.123 C.243 D.244 (2)(xx大綱全國卷)(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是( ) A.56 B.84 C.112 D.168 【解析】 (1)在已知等式中分別取x=0、x=1與x=-1, 得a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35, a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 因此有2(a1+a3+a5)=35+1=244, a1+a3+a5=122,a0+a1+a3+a5=123. (2)因為(1+x)8的通項為Cxk,(1+y)4的通項為Cyt,故(1+x)8(1+y)4的通項為CCxkyt.令k=2,t=2,得x2y2的系數(shù)為CC=168. 【答案】 (1)B (2)D 考向三 [180] 二項式定理的應(yīng)用 (xx湖北高考)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 【思路點撥】 注意到52能被13整除,化51為52-1,從而運用二項式定理展開51xx,由條件求a的值. 【嘗試解答】 512 012+a=(52-1)2 012+a =C522 012-C522 011+…+C52(-1)2 011+C(-1)2 012+a, ∵C522 012-C522 011+…+C52(-1)2 011能被13整除. 且512 012+a能被13整除, ∴C(-1)2 012+a=1+a也能被13整除. 因此a可取值12. 【答案】 D 規(guī)律方法3 1.本題求解的關(guān)鍵在于將512 012變形為(52-1)2 012,使得展開式中的每一項與除數(shù)13建立聯(lián)系. 2.用二項式定理處理整除問題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理展開.但要注意兩點:(1)余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0,r),r是除數(shù),若利用二項式定理展開變形后,切記余數(shù)不能為負;(2)二項式定理的逆用. 對點訓(xùn)練 1-90C+902C-903C+…+(-1)k90kCk10+…+9010C除以88的余數(shù)是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 【解析】 1-90C+902C+…+(-1)k90kC+…+9010C =(1-90)10=8910=(88+1)10 =8810+C889+…+C88+1. ∵前10項均能被88整除,∴余數(shù)是1. 【答案】 B 思想方法之二十四 賦值法在二項展開式中的應(yīng)用 求展開式系數(shù)和或相關(guān)量這類問題的解題思路:通常先利用通項公式弄清所求展開式系數(shù)的特點,再用賦值法求得各項系數(shù)和,一般通過變量指數(shù)來確定要求項或系數(shù)和,再根據(jù)其特點求相關(guān)的量,有時需要構(gòu)造方程,通過解方程的方法來求解.分類分步是常用的手段,正面較復(fù)雜時可從反面考慮,即正難則反. ————[1個示范例]————[1個對點練]———— (xx宜春模擬)設(shè)(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n(n≥2,n∈N),則a3+a5+a7+…+a2n-1=( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n(n≥2,n∈N), ∴令x=1,3n=a0+a1+a2+…+a2n,① 再令x=-1,可得1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n,② ①-②得:a1+a3+…+a2n-1=, 又(1+x+x2)n=[x2+(1+x)]n,其展開式中T1=C(x2)0(1+x)n,從中可求x的系數(shù),它來自(1+x)n展開式中x的系數(shù),為a1=C=n, ∴a3+a5+a7+…+a2n-1=. 在二項式n的展開式中,各項系數(shù)之和為M,各項二項式系數(shù)之和為N,且M+N=64,則展開式中含x2項的系數(shù)為( ) A.-90 B.90 C.10 D.-10 【解析】 ∵二項式n的展開式中, 令x=1得:各項系數(shù)之和M=2n, 又各項二項式系數(shù)之和為N,故N=2n, 又M+N=64, ∴22n=64, ∴n=5. 設(shè)二項式5的展開式的通項為Tr+1, 則Tr+1=C35-r(-1)rx-(5-r)+r, 令-(5-r)+r=2得:r=3, ∴展開式中含x2項的系數(shù)為C(-1)335-3=-90. 【答案】 A- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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