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2019-2020年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 9.1《分式及其基本性質(zhì)》教案 滬科版 一、教學(xué)目的 1．使學(xué)生理解分式的意義，會(huì)求使分式有意義的條件。 2．使學(xué)生掌握分式的基本性質(zhì)并能用它將分式變形。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：分式的意義及其基本性質(zhì)。 難點(diǎn)：分式的變號(hào)法則。 三、教學(xué)過程 引言：我們已經(jīng)學(xué)過了整式，知道可用整式表示某些數(shù)量關(guān)系；學(xué)習(xí)了整式四則運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法和列方程解應(yīng)用題，但是有些數(shù)量關(guān)系，只用整式表示是不夠的。 例題：甲、乙兩人做某種機(jī)器零件。已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等。求甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)？ 分析：設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件，那么乙每小時(shí)做（x-6）個(gè)。甲做90個(gè)所用的時(shí)間是90x（或）小時(shí)，乙做60個(gè)的用的時(shí)間是［60（x-6）］（或）小時(shí)，根據(jù)題意列方程 = 可以看出、都不是整式。列出的方程也不是已學(xué)過的方程。學(xué)習(xí)本章內(nèi)容就可以正確認(rèn)識(shí)這樣的式子及方程，從而解決問題。 1．分式 在算術(shù)里，兩個(gè)數(shù)相除可以表示在分?jǐn)?shù)的形式。分?jǐn)?shù)中的分子相當(dāng)于被除數(shù)，分?jǐn)?shù)中的分母相當(dāng)于除數(shù)。因?yàn)榱悴荒茏龀龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)中的分母不能是零。 在代數(shù)里，整式的除法也有類似的表示。如前面的例題中，（90x）小時(shí)可表示成小時(shí)，［60（x-6）］小時(shí)可表示成小時(shí)。 又如n公頃麥田共收小麥m噸，平均每公頃產(chǎn)量（mn）噸，可用式子噸表示。 再如輪船的靜水速度為a千米/小時(shí)。水流速度為b千米/小時(shí)，輪船在逆流中航行s千米所需時(shí)間［s（a-b）］小時(shí)，可用式子小時(shí)表示。 、、、的分母中都含有字母。 一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，AB可以表示成的形式。如果B中含有字母，式子叫做分式?；蠥叫做分式的分子，B叫做分式的分母?？梢?，上列各工都是分式。 由分子的意義可以知道： （1）分式是兩個(gè)整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在這里分?jǐn)?shù)線可理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用。 （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必須含字母。式子、、都不是分式，因?yàn)樗鼈兊姆帜付紱]有字母。 （3）在分式里，分母代數(shù)式的值隨式中字字母取值的不同而變化。字母所取的值有可能使分母為零。因?yàn)榉质降姆帜赶喈?dāng)于整式除法的除式，所以分母如果是零，則分式?jīng)]有意義。因此在分式中，分母的值不能是零，例如在里，x≠0；在里，a≠b。 例1 當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義？ （1）； （2）。 解：（1）由x-2≠0得x≠2，即當(dāng)x≠2時(shí)，分式有意義。 （2）由4x+1≠0得x≠時(shí)，分式有意義。 例2 當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)，分式的值是零？ 解：由分子x+2=0，得x=-2。而當(dāng)x=-2時(shí)，分母2x-5=-4-5≠0，所以當(dāng)x=-2時(shí)，分式的值是零。 問題： （1）分式的值為零就是分式?jīng)]有意義嗎？ （2）只要分子的值是零，分式的值就是零嗎？以為例回答此題。 2．分式的基本性質(zhì) 我們知道，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是約分、通分和化簡(jiǎn)繁分?jǐn)?shù)的理論根據(jù)。 分式也有類似的性質(zhì)，就是 分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是： 其中M是不等于零的整式。 分式的基本性質(zhì)是分式變號(hào)法則。通分，約分及化簡(jiǎn)繁分式的理論依據(jù)。就是說，分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形的理論依據(jù)。 例1 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？ （1）； （2）. 解：（1）∵c≠0， ∵x≠0， ∴， ∴. 例2 填空： （1）； （2）. 解：（1）∵a≠0， ∴，即填a2+ab。 （2）∵x≠0， ∴，即填x。 例3 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。 （1）； （2）. 解：（1）. （2）. 例4 不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”號(hào)： （1）； （2）； （3）. 解：（1）. （2）. （3）. 注意：根據(jù)分式的意義和基本性質(zhì)可以歸納得：分子的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式值不變。 例5 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)： （1）； （2）； （3）. 解：（1）. （2）. （3）. 注意： （1）根據(jù)分式的意義，分?jǐn)?shù)線代表除號(hào)，又起括號(hào)的作用。 （2）添括號(hào)法則：當(dāng)括號(hào)前添“+”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)不變；當(dāng)括號(hào)前添“—”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都變號(hào)。 四、需要注意的幾個(gè)問題 1．要特別注意分式中作為分母的代數(shù)式的值不得為零的教學(xué)。在分?jǐn)?shù)里，分?jǐn)?shù)的分母是一個(gè)具體的數(shù)，是否為零一目了然；而在分式里，要明確其是否有意義，就必須分析，討論分母中所含字弱不能取哪些值，以避免分母的代數(shù)式的值為零。 2．從回憶算術(shù)里分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)再用類比的方法得出分式的基本性質(zhì)： . 從形式上看，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和分式的基本性質(zhì)同乎是一樣的，學(xué)生接受起來不會(huì)有什么困難，但是要學(xué)生真正理解和掌握，還需要進(jìn)行更深入的分析和各種基本的訓(xùn)練。 首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到分式的基本性質(zhì)中的A、B、M表示整式。隨著知識(shí)的擴(kuò)充，A、B、M還可代表任何代數(shù)式。 其次要強(qiáng)調(diào)M≠0。在算術(shù)中講到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)時(shí)，雖然也強(qiáng)調(diào)M≠0，但實(shí)際上不可能用零去乘（或除）分?jǐn)?shù)的分子與分母，所以這個(gè)條件常常被子忽略了，而在代數(shù)中，M是一個(gè)含字母的代數(shù)式。由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。因此，當(dāng)我們應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)，都應(yīng)考查M這個(gè)代數(shù)式的值是否為零，養(yǎng)成隨時(shí)注意是在怎樣的條件下應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)的習(xí)慣。 3．分式的變號(hào)規(guī)律是由兩條法則概括而成的。第一條：分子和分母同時(shí)改變符號(hào)，分式的值不變。這一條是根據(jù)分式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出來的。第二條：只改變分子（分母）的符號(hào)，分式本身的符號(hào)也要改變，分式的值才不變。這一條用分式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不出來的。根據(jù)分式的意義，分式表示兩個(gè)整式相除，所以教科書寫道：有理數(shù)除法的符號(hào)法則“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”，在分式（兩式相除）中同樣適用。 分式的變號(hào)規(guī)律在分式變形中經(jīng)常用到，學(xué)生對(duì)此又極容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以要給予足夠的重視。