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2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 6.2 等差數(shù)列 理 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的概念及運(yùn)算 1.(xx福建,3,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 答案　C 2.(xx遼寧,8,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{}為遞減數(shù)列,則(　　) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 答案　C 3.(xx大綱全國,18,12分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且Sn≤S4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析　(1)由a1=10,a2為整數(shù)知,等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù). 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0, 于是10+3d≥0,10+4d≤0. 解得-≤d≤-. 因此d=-3. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=13-3n.(6分) (2)bn==.(8分) 于是Tn=b1+b2+…+bn = ==.(12分) 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì) 4.(xx北京,12,5分)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=　　　　時,{an}的前n項(xiàng)和最大. 答案　8 5.(xx江蘇,20,16分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”; (2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d<0.若{an}是“H數(shù)列”,求d的值; (3)證明:對任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立. 解析　(1)證明:由已知,當(dāng)n≥1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=2n=am. 所以{an}是“H數(shù)列”. (2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因?yàn)閧an}是“H數(shù)列”,所以存在正整數(shù)m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因?yàn)閐<0,所以m-2<0,故m=1.從而d=-1. 當(dāng)d=-1時,an=2-n,Sn=是小于2的整數(shù),n∈N*.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H數(shù)列”. 因此d的值為-1. (3)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),則an=bn+cn(n∈N*), 下證{bn}是“H數(shù)列”. 設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=a1(n∈N*).于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H數(shù)列”. 同理可證{cn}也是“H數(shù)列”. 所以,對任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).