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2019-2020年高考數(shù)學母題題源系列 專題13 三角函數(shù)性質的綜合應用 文（含解析） 【母題來源】xx天津卷文-14 【母題原題】已知函數(shù),,若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增,且函數(shù)的圖像關于直線對稱,則的值為 ． 【答案】 【考點定位】本題主要考查三角函數(shù)的單調性、對稱性. 【試題解析】 因為的遞增區(qū)間長度為半個周期,所以由在區(qū)間內單調遞增, 可得,所以 ,又的圖像關于直線對稱, ,且,由可得, 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)性質的綜合應用及分析問題解決問題的能力. 【方法、技巧、規(guī)律】 奇偶性、單調性、周期性是三角函數(shù)的重要性質,有關結論課本上都有,不再一一指出.除此之外,對稱性也是三角函數(shù)的重要性質,由于課本對此總結較少,學生比較生疏,故這這里總結幾點,供參考： 1.的圖像既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,其對稱軸是直線,其對稱中心是； 2. 的圖像既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,其對稱軸是直線,其對稱中心是； 3. 的圖像不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,其對稱中心是； 4. 的圖像既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,圖像關于直線對稱的充要條件是,圖像關于點對稱的充要條件是. 【探源、變式、擴展】 下面以一個題組對此問題進行擴展： 【擴展】已知. 1.若圖像關于直線對稱,求實數(shù)的最小值； 2.若存在,使得在是單調函數(shù),求實數(shù)ω的取值范圍； 3. 若對任意,在上的值域為,求實數(shù)ω的取值范圍； 4. 若對任意,,且在上至少有50個零點,求實數(shù)ω的取值范圍. 【解析】1. ,若圖像關于直線對稱,則,即,又,所以的最小值是. 2. 若存在,使得在是單調函數(shù), ,所以,即ω的取值范圍時. 3. 在任意長度為一個周期的閉區(qū)間上的值域均為,若對任意,在上的值域為,應滿足T≤1,即≤1,解得ω≥2,故實數(shù)ω的取值范圍是. 4.由題意可知是最大值,設的最小正周期為,在區(qū)間上的第一個零點是,第50個零點是,所以,即ω的取值范圍. 1.【xx安徽渦縣】已知函數(shù)在區(qū)間上至少取得2次最大值,則正整數(shù)的最小值是________． 【答案】8 2.【xx江西上高】已知函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,則 ． 【答案】． 3.【xx江西吉安】設函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則__________. 【答案】 4.【xx江蘇無錫】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后,所得的圖像關于軸對稱,則的最小值是 【答案】 5.【xx上海閘北區(qū)】設函數(shù),若存在同時滿足以下條件：①對任意的,都有成立；②,則的取值范圍是 ． 【答案】 6.【xx湖北咸寧】若函數(shù)的最大值為3,其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為,則＝________________； 【答案】3 【解析】∵函數(shù)f（x）的最大值為3,∴A+1=3,即A=2； 7.【xx浙江湖州】已知,函數(shù)在上單調遞減．則的取值范圍是 . 【答案】 8.【xx河南安陽】已知,且在區(qū)間有最小值,無最大值,則＝__________． 【答案】. 9.【xx甘肅嘉峪關】函數(shù)(ω＞0),把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象的一條對稱軸方程是x＝,則ω的最小值是 . 【答案】2. 10.【xx湖北長陽】已知函數(shù)f(x)＝2sinωx（ω＞0）在區(qū)間[－,]上的最小值為－2,則ω的取值范圍是 ． 【答案】[,＋∞).