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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第43講 隨機(jī)事件的概率練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.互斥事件和對立事件的概率是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，其中對立事件的概率是“正難則反”思想的具體應(yīng)用，在高考中經(jīng)?？疾?2.多以選擇題、填空題的形式考查，有時也滲透在解答題中，屬容易題． 一、概率和頻率 1．在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． 2．對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)． 二、事件的關(guān)系與運(yùn)算 名稱 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 若B?A，且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件(和事件) 某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 互斥事件與對立事件區(qū)別與聯(lián)系 互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件． 三、概率的幾個基本性質(zhì) 1．概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率P(E)＝1. 3．不可能事件的概率P(F)＝0. 4．概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 5．對立事件的概率 若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． 1．總數(shù)為10萬張的彩票，中獎率是，下列說法中正確的是(　　) A．買1張一定不中獎 B．買1 000張一定有一張中獎 C．買2 000張一定中獎 D．買2 000張不一定中獎 【解析】　由題意知，彩票中獎屬于隨機(jī)事件，故買1張也可能中獎，買2 000張也可能不中獎． 【答案】　D 2．袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ 【解析】　至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生． ∴②中兩事件是對立事件． 【答案】　B 3．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(　　) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 【解析】　“抽到的不是一等品”與事件A是對立事件， ∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35. 【答案】　C 4．若隨機(jī)事件A、B互斥，A、B發(fā)生的概率均不等于0，且分別為P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】　∵由題意可得， ∴ 解得＜a≤. 【答案】　 5．(2011浙江高考)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　從5個球中任取3個共有10種方法． 又“所取的3個球中至少有1個白球”的對立事件是“所取的3個球都不是白球” 因而所求概率P＝1－＝. 【答案】　D 6．(xx上海高考)從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)． 【解析】　52張中抽一張的基本事件為52種，事件A為1種，事件B為13種，并且A與B互斥， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 【答案】　 考向一 [181]　互斥事件與對立事件的判定 　(1)下列說法正確的是(　　) A．?dāng)S一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，因此擲一枚硬幣10次，恰好出現(xiàn)5次正面向上 B．連續(xù)四次擲一顆骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)是不可能事件 C．一個射手射擊一次，命中環(huán)數(shù)大于9與命中環(huán)數(shù)小于8是互斥事件 D．若P(A＋B)＝1，則事件A與B為對立事件 (2)從裝有除顏色外完全相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么對立的兩個事件是(　　) A．至少有1個白球，至少有1個紅球 B．至少有1個白球，都是紅球 C．恰有1個白球，恰有2個白球 D．至少有1個白球，都是白球 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)隨機(jī)事件的有關(guān)概念判斷． (2)概括對立事件的定義判斷． 【嘗試解答】　(1)擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，因此擲一枚硬幣10次，則出現(xiàn)5次正面向上的可能性較大，但不一定恰好出現(xiàn)5次正面向上，故A不正確． 連續(xù)四次擲一顆骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)是隨機(jī)事件，故B不正確． 一個射手射擊一次，命中環(huán)數(shù)大于9與命中環(huán)數(shù)小于8，這兩件事不可能同時發(fā)生，故是互斥事件，故C正確． 若P(A＋B)＝1，則事件A與B不一定是對立事件，如向一個半徑等于1的圓面(包含邊界)上隨即插上一根針， 設(shè)“針插在圓面上(包含邊界)”為事件A，“針插在圓上”為事件B，P(A)＝1，P(B)＝0，滿足P(A＋B)＝1， 但事件A和事件B不是互斥事件，故D不正確． (2)對于A，“至少有1個白球”發(fā)生時，“至少有1個紅球”也會發(fā)生， 比如恰好一個白球和一個紅球，故A不對立； 對于B，“至少有1個白球”說明有白球，白球的個數(shù)可能是1或2， 而“都是紅球”說明沒有白球，白球的個數(shù)是0， 這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故B是對立的； 對于C，恰有1個白球，恰有2個白球是互斥事件，它們雖然不能同時發(fā)生 但是還有可能恰好沒有白球的情況，因此它們不對立； 對于D，至少有1個白球和都是白球能同時發(fā)生，故它們不互斥，更談不上對立了． 【答案】　(1)C　(2)B 規(guī)律方法1　(1)對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解.(2)對立事件是互斥事件中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件. 對點(diǎn)訓(xùn)練　從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．判斷下列給出的每對事件，互斥事件的為________，對立事件的為________． ①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； ②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”． 【解析】?、偈腔コ馐录皇菍α⑹录? “抽出黑桃”與“抽出紅桃”是不可能同時發(fā)生，但可以都不發(fā)生，所以兩事件互斥不對立． ②是互斥事件，且對立事件． 從40張撲克牌中，任意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． ③不是互斥事件，也不是對立事件． 從40張撲克牌中任意抽取1張．“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件． 【答案】?、佗凇、? 　考向二 [182]　隨機(jī)事件的頻率與概率 圖10－4－1 　如圖10－4－1所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑． 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算頻率，利用頻率估計(jì)概率；(2)分別根據(jù)不同路徑估計(jì)概率，并比較大小，做出判定． 【嘗試解答】　(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44. (2)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由頻數(shù)分布表知，40分鐘趕往火車站，選擇不同路徑L1，L2的頻率分別為(6＋12＋18)60＝0.6，(4＋16)40＝0.5. ∴估計(jì)P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，則P(A1)＞P(A2)， 因此，甲應(yīng)該選擇路徑L1， 同理，50分鐘趕到火車站，乙選擇路徑L1，L2的頻率分別為4860＝0.8,3640＝0.9， ∴估計(jì)P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)， 因此乙應(yīng)該選擇路徑L2. 規(guī)律方法2　1.(1)解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算選擇不同路徑時，事件發(fā)生的頻率，并用頻率估計(jì)概率；(2)第(2)問的實(shí)質(zhì)是比較選擇不同路徑概率的大小. 2.概率是頻率的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時，頻率越穩(wěn)定于一個常數(shù)，可用頻率來估計(jì)概率. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(xx陜西高考)假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個進(jìn)行測試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖10－4－2所示： 圖10－4－2 (1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率； (2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率． 【解】　(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為＝， 用頻率估計(jì)概率，所以甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為. (2)根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200小時的產(chǎn)品共有75＋70＝145(個)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個． 所以在樣本中，壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是＝. 用頻率估計(jì)概率，所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為. 考向三 [183]　互斥事件與對立事件的概率 　國家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在第51屆射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示： 命中環(huán)數(shù) 10環(huán) 9環(huán) 8環(huán) 7環(huán) 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求該射擊隊(duì)員射擊一次： (1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率； (2)命中不足8環(huán)的概率． 【思路點(diǎn)撥】　該射擊隊(duì)員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，當(dāng)直接求解不容易時，可先求其對立事件的概率． 【嘗試解答】　記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥． (1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得 P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60. (2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，則表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”． 又B＝A8＋A9＋A10，由互斥事件概率的加法公式得 P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. ∴P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 因此，射擊一次，命中不足8環(huán)的概率為0.22. 規(guī)律方法3　1.解答本題時，首先應(yīng)正確判斷各事件的關(guān)系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解. 2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法. 對點(diǎn)訓(xùn)練　某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？ 【解】　(1)記“在窗口等候的人數(shù)i”為事件Ai＋1，i＝0,1,2，它們彼此互斥，則至多2人排隊(duì)等候的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)至少3人排隊(duì)等候的概率為 1－P(A1∪A2∪A3)＝1－0.56＝0.44. 思想方法之二十五　互斥事件的概率求解的妙招——正難則反思想 若一個事件正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行求解．對于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解． ————[1個示范例]————[1個對點(diǎn)練]———— 　(xx湖南高考)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率) 【解】　(1)由題意， ∴x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次性購物的結(jié)算時間組成一個總體，100位顧客一次購物的結(jié)算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)抽樣，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為： 又＝＝1.9. ∴估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時間為1.9分鐘． (2)設(shè)B、C分別表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間分別為2.5分鐘、3分鐘”． 將頻率視為概率，得P(B)＝＝，P(C)＝＝， ∵B，C互斥，且＝B＋C， ∴P()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 因此P(A)＝1－P()＝1－＝. ∴一位顧客一次購物結(jié)算時間不超過2分的概率為0.7. 【名師寄語】　(1)準(zhǔn)確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征的含義.(2)正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录屑擅つ看敫怕始臃ü? 　一盒中裝有12個球，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率． 【解】　法一　(利用互斥事件求概率)：記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}， 則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝， 根據(jù)題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝； (2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 法二：(利用對立事件求概率)： (1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4) ＝1－－＝. (2)因?yàn)锳1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.