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2019-2020年九年級數(shù)學下冊 《二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教案 冀教版 課時安排 2課時 從容說課 本節(jié)課在二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并探索它們之間的關系和各自的性質(zhì)．旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況．同時對二次函數(shù)的研究，經(jīng)歷了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程：先是從y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c．符合學生的認知特點，體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標公式的必要性． 在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思 等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．并能利用它的性質(zhì)解決問題． 第1課時 課 題 2．4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一) 教學目標 (一)教學知識點 1．能夠作出函數(shù)y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關系．理解a，h，k對二次函數(shù)圖象的影響． 2．能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標． (二)能力訓練要求 1．通過學生自己的探索活動，對二次函數(shù)性質(zhì)的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解． 2．經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學生的探索能力． (三)情感與價值觀要求 1．經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點． 2．讓學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果． 教學重點 1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程． 2．能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響． 3．能夠正確說出y＝a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標． 教學難點 能夠作出y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能夠理解它與y＝ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響． 教學方法 探索——比較——總結(jié)法． 教具準備 投影片四張 第一張：(記作2．4．1 A) 第二張：(記作2．4．1 B) 第三張：(記作2．4．1 C) 第四張：(記作2．4．1 D) 教學過程 Ⅰ．創(chuàng)設問題情境、引入新課 [師]我們已學習過兩種類型的二次函數(shù)，即y=ax2與y=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是y軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道y＝ax2+c的圖象是函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過上下移動得到的，那么y=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數(shù)形式，它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關問題． Ⅱ．新課講解 一、比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(X-1)2的圖象的性質(zhì)． 投影片：(2．4 A) (1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值， 它們之間有什么關系? X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3x2 3(x-1)2 (2)在下圖中作出二次函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的? (3)函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么? (4)x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小? [師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結(jié)． [生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3，12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描點法作出y＝3(x-1)2的圖象，如上圖． (3)二次函數(shù))y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1，0)． (4)當x>1時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減?。? [師]能否用移動的觀點說明函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關系呢? [生]y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數(shù))y＝3x2的圖象整體向右平移得到的. [師]能像上節(jié)課那樣比較它們圖象的性質(zhì)嗎? [生]相同點： a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同． b. 都是軸對稱圖形． c．都有最小值，最小值都為0． d．在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減小．在對稱軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大． 不同點： a．對稱軸不同,y＝3x2的對稱軸是y軸y＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1． b. 它們的位置不問． c. 它們的頂點坐標不同．y＝3x2的頂點坐標為(0，0),y＝3(x-1)2的頂點坐標為(1，0)， 聯(lián)系： 把函數(shù)y=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數(shù)y＝3(x-1)2的圖像． 二、做一做 投影片：(2．4．1 B) 在同一直角坐標系中作出函數(shù)y＝3(x-1)2和y＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質(zhì)． [生]圖象如下 它們的圖象的性質(zhì)比較如下： 相同點： a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同． b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1． c. 在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大． 不同點： a．它們的頂點不同，最值也不同.y＝3(x-1)2的頂點坐標為(1．0)，最小值為0．y＝3(x-1)2+2的頂點坐標為(1，2)，最小值為2． b. 它們的位置不同． 聯(lián)系： 把函數(shù)y=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象． 三、總結(jié)函數(shù)y=3x2，y=3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象之間的關系． [師]通過上畫的討論，大家能夠總結(jié)出這三種函數(shù)圖象之間的關系嗎? [生]可以． 二次函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數(shù)y＝3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象． [師]大家還記得y＝3x2與y＝3x2-1的圖象之間的關系嗎? [生]記得，把函數(shù)y=3x2向下平移1個平位，就得到函數(shù)y＝3x2-1的圖象． [師]你能系統(tǒng)總結(jié)一下嗎? [生]將函數(shù)y＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數(shù)y=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3x2+1的圖象；將y＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數(shù)y=3(x+1)2的圖象；由函數(shù)y＝3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象． [師]下面我們就一般形式來進行總結(jié)． 投影片：(2．4．1 C) 一般地，平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)為y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖象． (1)將y＝ax2的圖象上下移動便可得到函數(shù)y=ax2+c的圖象，當c>0時，向上移動，當c<0時，向下移動． (2)將函數(shù)y＝ax2的圖象左右移動便可得到函數(shù)y=a(x-h)2的圖象，當h>0時，向右移動，當h<0時，向左移動． (3)將函數(shù)y＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數(shù)y＝a(x-h)2+k的圖象． 因此，這些函數(shù)的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標與a，h，k的值有關． 下面大家經(jīng)過討論之后，填寫下表： y=a(x-h)2+k 開口方向 對稱軸 頂點坐標 a＞0 a＜0 四、議一議 投影片：(2，4．1 D) (1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y＝3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么? (2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么? (3)對于二次函數(shù)y＝3(x+1)2，當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)y＝3(x+1)2+4呢? [師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎? [生](1)二次函數(shù)y＝3(x+1)2的圖象與y＝3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標是(-1，0)．只要將y＝3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到y(tǒng)=3(x+1)2的圖象． (2)二次函數(shù)y＝-3(x-2)2+4的圖象與y＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數(shù)y＝-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到y(tǒng)=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到y(tǒng)=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，4)． (3)對于二次函數(shù)y=3(x+1)2和y＝3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x＝-1，當x<-1時，y的值隨x值的增大而減??；當x>-1時，y的值隨x值的增大而增大． Ⅲ．課堂練習 隨堂練習 Ⅳ．課時小結(jié) 本節(jié)課進一步探究了函數(shù)y=3x2與y＝3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象有什么關系，對稱軸和頂點坐標分別是什么這些問題．并作了歸納總結(jié)．還能利用這個結(jié)果對其他的函數(shù)圖象進行討論． Ⅴ．課后作業(yè) 習題2．4 Ⅵ．活動與探究 二次函數(shù)y=(x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)y＝x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的? 解：y＝ (x+2)2-1的圖象是由y=x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，y＝ (x-1)2+2的圖象是由y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的． y＝ (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到y(tǒng)= (x-1)2+2的圖象． y＝ (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到y(tǒng)＝ (x+2)2-1的圖象． 板書設計 2.4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(x-1)2的 圖象和性質(zhì)(投影片2．4．1 A) 2．做一做(投影片2．4．1 B) 3．總結(jié)函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關系(投影片2．4．1 C) 4．議一議(投影片2．4．1 D) 二、課堂練習 1．隨堂練習 2．補充練習 三、課時小結(jié) 四、課后作業(yè) 備課資料 參考練習 在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質(zhì)與位置關系． 解：圖象略 它們都是拋物線，且開口方向都向下；對稱軸分別為y軸y軸，直線x=-1；頂點坐標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)． y=-x2的圖象向下移動1個單位得到y(tǒng)=-x2-1 的圖象；y=-x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到y(tǒng)＝-(x+1)2-1的圖象． 第2課時 課 題 2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二) 教學目標 (一)教學知識點 1．體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標公式的必要性． 2．能夠利用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標公式解決問題． (二)能力訓練要求 1．通過解決實際問題，讓學生訓練把教學知識運用于實踐的能力． 2．通過學生合作交流來解決問題，培養(yǎng)學生的合作交流能力． (三)情感與價值觀要求 1．經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)學問題的過程，掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題． 2．初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用． 教學重點 運用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標公式解決實際問題． 教學難點 把數(shù)學問題與實際問題相聯(lián)系的過程． 教學方法 講解法． 教具準備 投影片三張 第一張：(記作2．4．2 A) 第二張：(記作2．4．2 B) 第三張：(記作2．4．2 C) 教學過程 Ⅰ．創(chuàng)設問題情境，引入新課 [師]上節(jié)課我們主要討論了相關函數(shù)y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h)+k的圖象的有關性質(zhì)，特別練習了求函數(shù)的對稱軸和頂點坐標．我們知道學習的目的就是為了應用，那么究竟有什么用處呢?本節(jié)課將學習有關二次函數(shù)的應用． Ⅱ．新課講解 一、1. 例題 [師]前幾節(jié)課我們研究了不同形式的二次函數(shù)的圖象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并對它們的性質(zhì)進行了比較．但對于二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)，它是屬于上面形式中的哪一種呢?還是另外一種，它的對稱軸和頂點坐標是什么呢?下面我們一起來討論這個問題． 投影片：(2．4．2 A) 例：求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標． 解：把y＝ax2+bx+c的右邊配方，得 y＝ax2+bx+c =a(x2+) =a[x2+2x+()2+] =a(x+)2+. [師]大家看配方以后的形式屬于前面我們討論過的哪一種形式呢? [生]屬于y＝a(x-h)2+k的形式． [師]在y=a(x-h)2+k的形式中，我們知道對稱軸為x＝h頂點坐標為(h，k)．對比一下，y＝ax2+bx+c中的對稱軸和頂點坐標是什么呢? [生甲]對稱軸是x＝ ，頂點坐標是(,). [師]確定嗎?大家再討論一下． [生]在y＝a(x-h)2+k中是x-h，而y＝a (x+)2+ 中是x+，它們的符號不同，應把y＝a（x+）2+ .進行變形得 y=a[x-(-)2]+ .再對照y=a(x-h)2+k的形式得對稱軸為x=-,頂點燃坐標為（-，） [師]這位同學回答得非常棒． 至此，所有的二次函數(shù)的形式我們就都討論過了． 下面我們來研究一些實際問題． 二、有關橋梁問題 投影片：(2．4．2 B) 下圖所示橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀．按照圖中的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右兩條拋物線關于y軸對稱． (1)鋼纜的最低點到橋面的距離是多少? (2)兩條鋼纜最低點之間的距離是多少? (3)你是怎樣計算的?與同伴進行交流． 分析：因為兩條鋼纜都是拋物線形狀，且開口向上．要求鋼纜的最低點到橋面的距離就是要求拋物線的最小值．又因為左右兩條拋物線關于y軸對稱，所以它們的頂點也關于y軸對稱，兩條鋼纜最低點之間的距離就是兩條拋物線頂點的橫坐標絕對值之和或其中一條拋物線頂點橫坐標絕對值的2倍．已知二次函數(shù)的形式是一般形式，所以應先進行配方化為y＝a(x-h)2+k的形式，即頂點式． 解：y=0．0225x2+0．9x+10 =0．0225(x2+40x+) 二0．0225(x2+40x+400-400+) ＝0．0225(x+20)2+1． ∴對稱軸為x=-20．頂點坐標為(-20，1)． (1)鋼纜的最低點到橋面的距離是1米． (2)兩條鋼纜最低點之間的距離是220＝40米． (3)是用配方法求得頂點坐標得到的，也可以直接代入頂點坐標公式中求得． [師]從上面的例題我們可知，拋物線在現(xiàn)實生活中的應用很廣，因此大家要學好并運用好它，對于給出的問題要認真思考，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而用數(shù)學知識解決實際問題． 在上面的問題中，大家能否求出右面的拋物線的表達式呢?請互相交流． 解：因為左右兩條拋物線是關于y軸對稱的，而關于y軸對稱的圖形的特點是，所有的對應點的坐標滿足橫坐標是互為相反數(shù)，縱坐標相等，我們可以利用這個特點，在原有的左面的拋物線的表達式的基礎上，得到右面拋物線的表達式，即把y不變，x換為-x代入y＝0．0225x2+0．9x+10中，得 y＝0．0225(-x)2+0．9(-x)+10 ＝0．0225x2-0．9x+10． 三、補充例題 投影片：(2．4．2 C) 如右圖，一邊靠校園院墻，另外三 邊用50 m長的籬笆，圍起一個長 方形場地，設垂直院墻的邊長為xm． (1)寫出長方形場地面積y(m2)與x的函數(shù)關系式； (2)畫出函數(shù)的圖象； (3)求邊長為多少時，長方形面積最大，最大是多少? 解：(1)垂直院墻的邊長為x m，另一邊長為(50-2x)m．則 y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-)2+. (2)圖象略． (3)由(1)得，當x＝時，y最大=. 所以當邊長為m時，長方形面積最大，最大面積為 m2． Ⅲ．課堂練習 1．隨堂練習 2．補充練習 確定下列拋物線的開口方向、對稱軸與頂點坐標． (1)y=-x2+； （2）y=x2- 解：（1）y=-x2+ =-(x2-) =-( x2-) =-(x-)2+. 開口方向向下，對稱軸為x=,頂點坐標為(,). (2)y=x2- =(x2-x-30) =(x2-x+--30) =(x-)2-. 開口方向向上，對稱軸是x= ，頂點坐標為(, )． Ⅳ．課時小節(jié) 本節(jié)課學習了如何用配方法把二次函數(shù)的一般形式化成頂點式，并能根據(jù)頂點式解決一些問題． Ⅴ．課后作業(yè) 習題2．5 Ⅵ．活動與探究 利用Z+Z智能教育平臺(新世紀版)研究二次函數(shù)的圖象． 利用Z+Z智能教育平臺(新世紀版)可以探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)(a，b，c與圖象變化之間的關系． 先考察二次函數(shù)y＝ax2的系數(shù)a對圖象的影響． 利用Z十Z智能教育平臺(新世紀版)在計算機上作出二次函數(shù)y＝ax2的圖象．其中系數(shù)a可以通過鼠標拖動y軸上標識為a的點而變化．圖1和圖2是a取不同值時得到的兩個圖象： 板書設計 2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二) 一、1. 例題(投影片2．4．2 A) 2．有關橋梁問題(投影片2.4.2 B) 3．補充例題(投影片2．4．2 C) 二、課堂練習 1．隨堂練習 2．補充練習 三、課時小結(jié) 四、課后作業(yè) 備課資料(略)