2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理.doc
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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理 1．函數(shù)與方程思想的含義 (1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，是對函數(shù)概念的本質認識，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決．經(jīng)常利用的性質是單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等． (2)方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決．方程的教學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題．方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系． 2．和函數(shù)與方程思想密切關聯(lián)的知識點 (1)函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)y＝f(x)，當y>0 時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式． (2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要． (3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關系化為未知量的表達式，那么問題就能化為未知量的方程來解． (4)解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論． (5)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數(shù)的關系更加密切. 熱點一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應用 例1 (1)f(x)＝ax3－3x＋1對于x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝________. (2)設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3) 解析 (1)若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立； 當x>0即x∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－. 設g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減， 因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4； 當x<0即x∈[－1,0)時， f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≤－， 設g(x)＝－，且g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調遞增， 因此g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上a＝4. (2)設F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上為奇函數(shù)． 又當x<0時，F(xiàn)′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)． 因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同， 所以x>0時，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)． 因為F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)． 所以，由圖可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 思維升華 (1)在解決不等式問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質解決問題；(2)函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可轉化為f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解． (1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有( ) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 (2)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A．m≥ B．m> C．m≤ D．m< 答案 (1)B (2)A 解析 (1)把不等式變形為2x－5－x≤2－y－5y，構造函數(shù)y＝2x－5－x，其為R上的增函數(shù)，所以有x≤－y. (2)因為函數(shù)f(x)＝x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，經(jīng)檢驗知x＝3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立， 所以3m－≥－9，解得m≥，故選A. 熱點二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用 例2 已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列． (1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)在(1)的條件下，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設bn＝＋＋…＋，若對任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求實數(shù)k的最小值． 解 (1)因為a1＝2，a＝a2(a4＋1)， 又因為{an}是正項等差數(shù)列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項公式an＝2n. (2)因為Sn＝n(n＋1)， bn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－＋－＋…＋－ ＝－＝＝， 令f(x)＝2x＋(x≥1)， 則f′(x)＝2－，當x≥1時，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)， 故當x＝1時，[f(x)]min＝f(1)＝3， 即當n＝1時，(bn)max＝， 要使對任意的正整數(shù)n，不等式bn≤k恒成立， 則須使k≥(bn)max＝， 所以實數(shù)k的最小值為. 思維升華 (1)等差(比)數(shù)列中各有5個基本量，建立方程組可“知三求二”； (2)數(shù)列的本質是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式即為相應的解析式，因此在解決數(shù)列問題時，應注意利用函數(shù)的思想求解． (1)(xx江蘇)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________． (2)已知函數(shù)f(x)＝()x，等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c，則an的最小值為( ) A．－1 B．1 C. D．－ 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因為a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝122＝4. (2)由題設，得a1＝f(1)－c＝－c； a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－； a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－. 又數(shù)列{an}是等比數(shù)列， ∴(－)2＝(－c)(－)，∴c＝1. 又∵公比q＝＝， ∴an＝－()n－1＝－2()n，n∈N*. 且數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列， ∴n＝1時，an有最小值a1＝－. 熱點三 函數(shù)與方程思想在幾何中的應用 例3 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N. (1)求橢圓C的方程； (2)當△AMN的面積為時，求k的值． 解 (1)由題意得解得b＝. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又因為點A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離 d＝， 所以△AMN的面積為 S＝|MN|d＝. 由＝，解得k＝1. 所以，k的值為1或－1. 思維升華 幾何最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決． (1)(xx安徽)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0
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