2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練五 第2講 空間中的平行與垂直 理.doc
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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練五 第2講 空間中的平行與垂直 理 考情解讀 1.以選擇、填空題的形式考查,主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷,屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查,主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題,且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查,難度中等. 1.線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 線面平行的判定定理 ?a∥α 線面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 線面垂直的判定定理 ?l⊥α 線面垂直的性質(zhì)定理 ?a∥b 2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 面面垂直的判定定理 ?α⊥β 面面垂直的性質(zhì)定理 ?a⊥β 面面平行的判定定理 ?α∥β 面面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 提醒 使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時,要注意其具備的條件,缺一不可. 3.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 熱點一 空間線面位置關(guān)系的判定 例1 (1)設(shè)a,b表示直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.若a⊥α且a⊥b,則b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β C.若a∥α且a∥β,則α∥β D.若γ∥α且γ∥β,則α∥β (2)平面α∥平面β的一個充分條件是( ) A.存在一條直線a,a∥α,a∥β B.存在一條直線a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 思維啟迪 判斷空間線面關(guān)系的基本思路:利用定理或結(jié)論;借助實物模型作出肯定或否定. 答案 (1)D (2)D 解析 (1)A:應該是b∥α或b?α;B:如果是墻角出發(fā)的三個面就不符合題意;C:α∩β=m,若a∥m時,滿足a∥α,a∥β,但是α∥β不正確,所以選D. (2)若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A. 若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除B. 若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,則a∥β,b∥α,故排除C.故選D. 思維升華 解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷,必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中. 對于平面α,β,γ和直線a,b,m,n,下列命題中真命題是( ) A.若a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,則a⊥α B.若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b C.若a∥b,b?α,則a∥α D.若a?β,b?β,a∥α,b∥α,則β∥α 答案 B 解析 A中:由線面垂直的判定定理知,還需m與n相交才能得a⊥α,故A錯.C中:由線面平行的判定定理,還需知a?α,故C錯.D中:由面面平行的判定定理知,還需a與b相交才能得β∥α,故D錯.所以選B. 熱點二 平行、垂直關(guān)系的證明 例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點,求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 思維啟迪 (1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性質(zhì),得線面垂直;(2)BE∥AD易證;(3)EF是△CPD的中位線. 證明 (1)因為平面PAD⊥底面ABCD, 且PA垂直于這兩個平面的交線AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形. 所以BE∥AD. 又因為BE?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD,而且ABED為平行四邊形. 所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因為E和F分別是CD和PC的中點, 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD, 所以平面BEF⊥平面PCD. 思維升華 垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. (4)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 如圖所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點. 求證:(1)AF∥平面BCE; (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明 (1)如圖,取CE的中點G,連接FG,BG. ∵F為CD的中點,∴GF∥DE且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB=DE,∴GF=AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形,則AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE. 熱點三 圖形的折疊問題 例3 如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖(2). (1)求證:DE∥平面A1CB; (2)求證:A1F⊥BE; (3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?請說明理由. 思維啟迪 折疊問題要注意在折疊過程中,哪些量變化了,哪些量沒有變化.第(1)問證明線面平行,可以證明DE∥BC;第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,即證明A1F⊥平面BCDE;第(3)問取A1B的中點Q,再證明A1C⊥平面DEQ. (1)證明 因為D,E分別為AC,AB的中點, 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB. (2)證明 由圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE, 所以A1F⊥BE. (3)解 線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下: 如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQ∥BC. 又因為DE∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點, 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ. 思維升華 (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下,折線同一側(cè)線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時,要綜合考慮折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形. 如圖(1),已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E,F(xiàn)分別是AB,CD上的點,EF∥BC,AE=x.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖(2)所示),G是BC的中點. (1)當x=2時,求證:BD⊥EG; (2)當x變化時,求三棱錐D-BCF的體積f(x)的函數(shù)式. (1)證明 作DH⊥EF,垂足為H,連接BH,GH, 因為平面AEFD⊥平面EBCF,交線為EF,DH?平面AEFD, 所以DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,故EG⊥DH. 因為EH=AD=BC=BG=2,BE=2,EF∥BC,∠EBC=90, 所以四邊形BGHE為正方形,故EG⊥BH. 又BH,DH?平面DBH,且BH∩DH=H,故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH,故EG⊥BD. (2)解 因為AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,交線為EF,AE?平面AEFD, 所以AE⊥平面EBCF. 由(1)知,DH⊥平面EBCF,故AE∥DH, 所以四邊形AEHD是矩形,DH=AE,故以B,F(xiàn),C,D為頂點的三棱錐D-BCF的高DH=AE=x. 又S△BCF=BCBE=4(4-x)=8-2x, 所以三棱錐D-BCF的體積f(x)=S△BFCDH =S△BFCAE=(8-2x)x =-x2+x(0- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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