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2019年高考數學二輪復習 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 1．(xx江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 【解析】　由三視圖的知識得B正確． 【答案】　B 2．(xx浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3 【解析】　由題中三視圖知，該幾何體由一個長方體與一個三棱柱組成，體積V＝346＋343＝90(cm3)，故選B. 【答案】　B 3．(xx陜西高考)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 【解析】　∵圓柱側面展開圖為矩形，底面圓半徑為1， S側＝2πrl＝2π11＝2π，故選C. 【答案】　C 4．(xx重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．54 B．60 C．66 D．72 【解析】　S表＝S底＋S上＋S左＋S前＋前 ＝34＋35＋53＋(2＋5)4＋(2＋5)5 ＝60. 【答案】　B 5．(xx全國大綱高考)正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　) A. B．16π C．9π D. 【解析】　 易知SO′＝4 O′D＝＝ 設球的半徑為R，則(4－R)2＋2＝R2 ∴R＝，∴S球＝4πR2＝. 【答案】　A 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．空間幾何體的三視圖及確定應用 ①此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題結合，主要考查學生的空間想象能力，是每年的必考內容之一． ②試題多以選擇題的形式出現(xiàn)，屬基礎題． 2．計算空間幾何體的表面積與體積 ①該考向主要以三視圖為載體，通常是給出某幾何體面積或體積，作為新課標教材的新增內容，日益成為了高考中新的增加點和亮點．主要考查學生的計算能力和空間想象能力及識圖能力． ②試題多以選擇題、填空題為主，多屬于中檔題． 3．多面體與球的切、接問題 ①該考向命題背景寬，以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內切、外接的形式出現(xiàn)，也是高考中的一大熱點．主要考查學生的空間想象能力和計算能力． ②試題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題. 【例1】　如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 (2)(xx湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 【解析】　(1)直觀圖為： (2)在空間直角坐標系O－xyz中作出棱長為2的正方體，在該正方體中作出四面體，如圖所示，由圖可知，該四面體的正視圖為④，俯視圖為②. 【答案】　(1)B　(2)D 【規(guī)律方法】　識與畫三視圖的關鍵點： (1)要牢記三視圖的觀察方向和長、寬、高的關系．三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廊線的正投影圍成的平面圖形，反映了一個幾何體各個側面的特點．正視圖反映物體的主要形狀特征，是三視圖中最重要的視圖；俯視圖要和正視圖對正，畫在正視圖的正下方；側視圖要畫在正視圖的正右方，高度要與正視圖平齊． (2)要熟悉各種基本幾何體的三視圖． [創(chuàng)新預測] 1．(1)(xx武漢調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　) (2)(xx昆明調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖都是等邊三角形．若該幾何體的四個頂點在空間直角坐標系0xyz中的坐標分別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，則第五個頂點的坐標可能為(　　) A．(1,1,1) B．(1,1，) C．(1,1，) D．(2,2，) 【解析】　(1)由已知得選項A、B、C與俯視圖不符，故選D. (2)因為正視圖和側視圖是等邊三角形，俯視圖是正方形，所以該幾何體是正四棱錐，還原幾何體并結合其中四個頂點的坐標，建立空間直角坐標系，設O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五個頂點的坐標為S(1,1，z)，正視圖為等邊三角形，且邊長為2，故其高為＝，又正四棱錐的高與正視圖的高相等，故z＝，故第五個頂點的坐標可能為(1,1，)． 【答案】　(1)D　(2)C 【例2】　(1)(xx山東高考)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________． (2)(xx天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. (3)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　) A．21＋ B．18＋ C．21 D．18 【解析】　(1)設棱錐的高為h，∵V＝2， ∴V＝S底h＝622h＝2. ∴h＝1，由勾股定理知：側棱長為＝. ∵六棱錐六個側面全等，且側面三角形的高為＝2， ∴S側＝226＝12. (2)由幾何體的三視圖知，該幾何體由兩部分組成，一部分是底面半徑為1 m，高為4 m的圓柱，另一部分是底面半徑為2 m，高為2 m的圓錐． ∴V＝V柱＋V錐＝π124＋π222＝(m3)． (3)根據幾何體的三視圖畫出其直觀圖，根據直觀圖特征求其表面積． 由幾何體的三視圖如題圖可知，則幾何體的直觀圖如圖所示． 因此該幾何體的表面積為6＋2()2＝21＋.故選A. 【答案】　(1)12　(2)　(3)A 【規(guī)律方法】　1.求解幾何體的表面積及體積的技巧： (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟： (1)根據給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量． (3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解． [創(chuàng)新預測] 2．(1)(xx全國新課標Ⅰ高考)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．6 B．4 C．6 D．4 (2)(xx遼寧高考)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．8－ C．8－π D．8－2π 【解析】　 (1)還原為直觀圖放在正方體中如圖所示三棱錐D－ABC. AB＝BC＝4，AC＝4， DB＝DC＝2，DA＝＝6. 故最長的棱長為6.故選C. (2)該幾何體是一個正方體截去兩個四分之一圓柱形成的組合體，其體積V＝23－2π＝8－π，故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 【例3】　(1)(xx陜西高考)已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為(　　) A. B．4π C．2π D. (2)(xx湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(　　) A．1 B． 2 C．3 D．4 【解析】　(1)連接AC，BD相交于O1，連接A1C1，B1D1，相交于O2并連接O1O2，則線段O1O2的中點為球心． ∴半徑R＝|OB|＝＝＝1， ∴V球＝πR3＝π，故選D. (2)由題意知，幾何體為三棱柱，設最大球的半徑為R. ∴2R＝(6＋8)－10＝4， ∴R＝2. 【答案】　(1)D　(2)B 【規(guī)律方法】　多面體與球接、切問題的求解策略： (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解． (2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解． [創(chuàng)新預測] 3．(1)(xx遼寧高考)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 (2)(xx全國課標Ⅱ高考)已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則以O為球心，OA為半徑的球的表面積為________． 【解析】　(1)根據球的內接三棱柱的性質求解． 因為直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側面BCC1B1內，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝. (2)本題先求出正四棱錐的高h，然后求出側棱的長，再運用球的表面積公式求解． V四棱錐OABCD＝h＝，得h＝， ∴OA2＝h2＋()2＝＋＝6. ∴S球＝4πOA2＝24π. 【答案】　(1)C　(2)24π [總結提升]　通過本節(jié)課的學習，需掌握如下三點： 失分盲點 1．(1)臺體的構成： 臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強調截面與底面平行． (2)三視圖的不唯一性： 空間幾何體的不同放置位置對三視圖會有影響． (3)三視圖輪廓線的虛實： 正確確定三視圖的輪廓線，可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線． (4)元素與位置的變與不變： 幾何體的展開與折疊問題，準確確定前后兩個圖形間的聯(lián)系及元素與位置之間的變化與穩(wěn)定． 2．(1)球的外切四棱錐與內接四棱錐是不一樣的，兩者不能混淆． (2)球的體積公式與錐體的體積公式的系數不一樣，兩者不能混淆． 答題指導 1．(1)看到三視圖，想到幾何體的直觀圖． (2)看到三棱錐的體積，想到定底定高． (3)看到求幾何體的表面積、體積，想到幾何體的表面積、體積公式． 2．(1)看到球的表面積、體積問題，想到球的表面積、體積公式． (2)看到球的組合體問題，想到尋找一個合適的軸截面． (3)看到球的截面，想到球的截面性質． 方法規(guī)律 1．(1)畫三視圖的規(guī)則： 長對正，高平齊，寬相等． (2)轉化思想的應用： 將空間問題轉化為平面問題． (3)幾何體體積： 注意割補法(將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則的幾何體求解)． (4)幾何體表面上最短距離問題： 常常利用幾何體的表面展開圖解決． 2．(1)球的直徑：球的直徑等于它的內接正方體的對角線長，等于它的外切正方體的棱長． (2)與球有關的接切問題：要注意球心的位置以及球心與其他點形成的直角三角形． 有關球的組合體的圖形與數據處理 所謂空間想象力，就是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象概括的能力，空間想象能力在立體幾何中主要體現(xiàn)在能對空間幾何體的各個元素在空間中的位置進行準確判斷，能畫出空間幾何體的直觀圖，并在直觀圖中把各種位置關系表達出來．球是基本的空間幾何體之一，單一的球的直觀圖容易畫出，但是當球與其他空間幾何體組成組合體時，其直觀圖就很難作出，因此與球有關的組合體的圖形處理成為空間想象能力考查的重要問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例】　若三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】　如圖所示，由SA＝SB＝SC可知點 S在底面上的射影為△ABC的外心．由于底面是直角三角形，故其外心為斜邊的中點O′，設該三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，則OO′＝－R，在△OO′A中，R2＝(－R)2＋12，即R＝，所以球的表面積為4πR2＝. 【答案】　D 【規(guī)律感悟】　多面體的外接球的球心是到多面體的各個頂點距離相等的點，在確定多面體外接球的球心時要抓住這個特點．