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2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質(zhì) 理
考點一 橢圓的標準方程
1.(xx大綱全國,6,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為( )
A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
答案 A
2.(xx安徽,14,5分)設F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0
b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.
(1)求E的方程;
(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方程.
解析 (1)設F(c,0),由條件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程為+y2=1.
(2)當l⊥x軸時不合題意,故設l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,x1,2=.
從而|PQ|=|x1-x2|=.
又點O到直線PQ的距離d=,
所以△OPQ的面積
S△OPQ=d|PQ|=.
設=t,則t>0,S△OPQ==.
因為t+≥4,當且僅當t=2,即k=時等號成立,且滿足Δ>0,
所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=x-2或y=-x-2.
考點二 橢圓的幾何性質(zhì)
5.(xx江西,15,5分)過點M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等于 .
答案
6.(xx課標Ⅱ,20,12分)設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析 (1)根據(jù)c=及題設知M,2b2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).
故C的離心率為.
(2)由題意,得原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設N(x1,y1),由題意知y1<0,
則即
代入C的方程,得+=1.②
將①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
7.(xx江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,F1、F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連結BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結F1C.
(1)若點C的坐標為,且BF2=,求橢圓的方程;
(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
解析 設橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因為B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因為點C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.
故所求橢圓的方程為+y2=1.
(2)因為B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,
所以直線AB的方程為+=1.
解方程組得
所以點A的坐標為.
又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點C的坐標為.
因為直線F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1C⊥AB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.
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