2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十六講 開放性問題評說.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十六講 開放性問題評說 一個數(shù)學問題的構成含有四個要素:題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結論,如果題目所含的四個要素是解題者已經知道,或者結論雖未指明,但它是完全確定的,這樣的問題就是封閉性的數(shù)學問題. 開放性問題是相對于封閉性問題而言,從所呈現(xiàn)問題的方式看,有下列幾種基本形式: 1.條件開放題 稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題,解題時需執(zhí)果尋因,根據(jù)結論和已有的已知條件,尋找使得結論成立的其他條件. 2.結論開放題 稱結論不確定或沒有確定結論的開放性問題為結論開放題,解題時需由因導果,由已知條件導出相應結論. 3.判斷性開放題 稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質的數(shù)學對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題,解題的基本思路是:由已知條件及知識作出判斷,然后加以證明. 【例題求解】 【例1】 如圖,⊙O與⊙O1外切于點T,PT為其內公切線,AB為其外公切線,且A、B為切點,AB與PT相交于點P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段,請寫出一個正確結論,并加以證明. 思路點撥 為了能寫出更多的正確結論,我們可以從以下幾分角度作探索,線段關系,角的關系、三角形的關系及由此推出的相應結論. 注:明確要求將數(shù)學開放性題作為中考試題,還是近一二年的事情.開放性問題沒有明確的目標和解題方向,留有極大的探索空間. ⌒ 解開放性問題,不具有定向的解題思路,解題時總要有合情合理、實事求是的分析,要把歸納與演繹協(xié)調配合起來,把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結合起來,把一般能力和數(shù)學能力 同時發(fā)揮出來.杭州市對本例評分標準是以正確結論的難易程度為標準靈活打分,分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性. 【例2】 如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,A是BD的中點,過A點的切線與CB的延長線交于點E. ⌒ (1)求證:ABDA=COBE; (2)若點E在CB延長線上運動,點A在BD上運動,使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變,問具備什么條件使原結論成立? (要求畫出示意圖,注明條件,不要求證明) 思路點撥 對于(2),能畫出圖形盡可能畫出圖形,要使結論ABDA=CDBE成立,即要證△ABE∽△CDA,已有條件∠ABE=∠CDA,還需增加等角條件,這可由多種途徑得到. 注:許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考),探索的條件或結論并不惟一.故解開放性問題,應盡可能深入探究,發(fā)散思維,提高思維的品質,切忌入寶山而空返. 【例3】(1)如圖1,若⊙O1與⊙O2外切于A,BC是⊙O1與⊙O2外公切線,B、C為切點,求證:AB⊥AC. (2)如圖2,若⊙O1與⊙O2外離,BC是⊙O1與⊙O2的外公切線,B、C為切點,連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延長線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結論. (3)如圖3,若⊙O1與⊙O2相交,BC是⊙O1與⊙O2的公切線,B、C為切點,連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是線段MN上一點,連結BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你的結論. 思路點撥 本例是在基本條件不變的情況下,通過運動改變兩圓的位置而設計的,在運動變化中,結論可能改變或不變,關鍵是把(1)的證法類比運用到(2)、(3)問題中. 注:開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式: (1)先提出特殊情況進行研究,再要求歸納猜測和確定一般結論; (2)先對某一給定條件和結論的問題進行研究,再探討改變條件時其結論應發(fā)生的變化,或改變結論時其條件相應發(fā)生的變化. 【例4】 已知直線 (>0)與軸、軸分別交于A、C兩點,開口向上的拋物線過A、C兩點,且與軸交于另一點B. (1)如果A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO=3BO,點B到直線AC的距離等于,求這條直線和拋物線的解析式; (2)是否存在這樣的拋物線,使得tan∠ACB=2,且△ABC外接圓截得軸所得的弦長等于5?若存在,求出這樣的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由. 思路點撥 (1)通過“點B到直線AC的距離等于”,利用等積變換求出A、B兩點的距離;(2)先假設存在這樣的拋物線,再由條件推理計算求得,最后加以驗證即可. 注:解存在性開放問題的基本方法是假設求解法,即假設存在→演繹推理→得出結論(合理或矛盾). 【例5】 如圖,這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異,我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”.在研究“正度”時,應保證相似三角形的“正度”相等. 設等腰三角形的底和腰分別為、,底角和頂角分別為、.要求“正度”的值是非負數(shù). 同學甲認為:可用式子來表示“正度”,的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形; 同學乙認為:可用式子來表示“正度”,的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形. 探究:(1)他們的方案哪個較為合理,為什么? (2)對你認為不夠合理的方案,請加以改進(給出式子即可); (3)請再給出一種衡量“正度”的表達式. 思路點撥 通過閱讀,正確理解“正度”這個新概念,同時也要抓住“在研究‘正度’時,應保證相似三角形的‘正度’相等”這句話的實質,可先采取舉實例加深對“正度”的理解,再判斷方案的合理性并改進方法. 注:(1)解結論開放題往往要充分利用條件進行大膽而合理的猜想,通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結論. (2) 閱讀是學習的重要途徑,在這種閱讀型研究性問題中,涌現(xiàn)了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題,能極大地開闊我們的視野. (3)研究性學習是課程改革的一個亮點,研究性學習是美國芝加哥大學教授施瓦布在《作為探究的科學教學》的演講時提出的.他主張引導學生直接用科學研究的方式進行教學,即設定情境、提出問題、分析問題、設計實驗、驗證假設、分析結果、得出結論.研究性問題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型,它要求我們適應新情況,通過實踐,增強探究和創(chuàng)新意識,學習科學研究方法. 學力訓練 1.如圖,是四邊形ABCD的對稱軸,如果AD∥BC,有下列結論: ①AB∥CD,②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC. 其中正確的是 . (把你認為正確的結論的序號都填上) 2.如圖,是一個邊長為的小正方形與兩個長、寬分別為、的小矩形ABCD,則整個圖形可表達出一些有關多項式分解因式的等式,請你寫出其中任意三個等式:① ;② ;③ . 3.有一個二次函數(shù)的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點: 甲:對稱軸是直線; 乙:與軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù); 丙:與軸交點的縱坐標也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為3. 請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式: . 4.如圖,已知AB為⊙O的直徑,直線與⊙O相切于點D,AC⊥于C,AC交⊙O于點E,DF⊥AB于F. (1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結論; (2)若AE=3,CD=2,求⊙O的直徑. 5.在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖).現(xiàn)找出其中的一種,測得∠C=90,AC=BC=4,今要從這種三角形中剪出一種扇形,做成不同形狀的玩具,使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上,且扇形的弧與△ABC的其他邊相切,請設計出所有可能符合題意的方案示意圖,并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形,并直接寫出扇形半徑). 6.如圖,拋物線與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0)( x1<0- 配套講稿:
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