2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練三 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練三 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理 考情解讀 1.以圖象為載體,考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值,重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力,是高考的必考點(diǎn). 1.三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式 (1)定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x, tan α=.各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào):一全正,二正弦,三正切,四余弦. (2)同角關(guān)系:sin2α+cos2α=1,=tan α. (3)誘導(dǎo)公式:在+α,k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號(hào)看象限”. 2.三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 單調(diào)性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增 對(duì)稱性 對(duì)稱中心:(kπ,0)(k∈Z); 對(duì)稱軸:x=+kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心:(+kπ,0)(k∈Z); 對(duì)稱軸:x=kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心: (,0)(k∈Z) 3.三角函數(shù)的兩種常見變換 (1)y=sin x y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). (2)y=sin x y=sin ωx y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 例1 (1)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓x2+y2=1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A.(-,) B.(-,-) C.(-,-) D.(-,) (2)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點(diǎn)P(-4,3),則的值為________. 思維啟迪 (1)準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的定義.(2)利用三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式. 答案 (1)A (2)- 解析 (1)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y), 則x=cos=-,y=sin=. ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,). (2)原式==tan α. 根據(jù)三角函數(shù)的定義, 得tan α==-, ∴原式=-. 思維升華 (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等),常常借助三角函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時(shí),注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān),與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān). (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào);利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過程要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等. (1)如圖,以O(shè)x為始邊作角α(0<α<π),終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則=________. (2)已知點(diǎn)P落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值為( ) A. B. C. D. 答案 (1) (2)D 解析 (1)由三角函數(shù)定義, 得cos α=-,sin α=, ∴原式== =2cos2α=22=. (2)tan θ===-1, 又sin >0,cos <0, 所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=. 熱點(diǎn)二 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及解析式 例2 (1)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖所示,則將y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖象解析式為( ) A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-) (2)若函數(shù)y=cos 2x+sin 2x+a在[0,]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 思維啟迪 (1)先根據(jù)圖象確定函數(shù)f(x)的解析式,再將得到的f(x)中的“x”換成“x-”即可. (2)將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 答案 (1)D (2)(-2,-1] 解析 (1)由圖知,A=1,=-,故T=π=, 所以ω=2,又函數(shù)圖象過點(diǎn)(,1),代入解析式中, 得sin(+φ)=1,又|φ|<,故φ=. 則f(x)=sin(2x+)向右平移后, 得到y(tǒng)=sin[2(x-)+)=sin(2x-),選D. (2)由題意可知y=2sin(2x+)+a, 該函數(shù)在[0,]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即y=-a,y=2sin(2x+)在[0,]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 結(jié)合函數(shù)的圖象可知1≤-a<2,所以-20,ω>0)的圖象求解析式時(shí),常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置. (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向. (1)如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P(2,0),∠PQR=,M為QR的中點(diǎn),PM=2,則A的值為( ) A. B. C.8 D.16 (2)若將函數(shù)y=tan(ωx+)(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,與函數(shù)y=tan(ωx+)的圖象重合,則ω的最小正值為( ) A. B. C. D. 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由題意設(shè)Q(a,0),R(0,-a)(a>0). 則M(,-),由兩點(diǎn)間距離公式得, PM= =2,解得a=8,由此得,=8-2=6,即T=12,故ω=, 由P(2,0)得φ=-,代入f(x)=Asin(ωx+φ)得, f(x)=Asin(x-), 從而f(0)=Asin(-)=-8, 得A=. (2)y=tan(ωx+)的圖象向右平移,得到y(tǒng)=tan(ωx+-)的圖象,與y=tan(ωx+)重合,得-=kπ+,故ω=-6k+,k∈Z, ∴ω的最小正值為. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì) 例3 設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈[0,]時(shí),f(x)的最大值為2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的對(duì)稱軸方程. 思維啟迪 先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,然后研究函數(shù)性質(zhì)(可結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖). 解 (1)f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=sin(2x+)+1+a, 則f(x)的最小正周期T==π, 且當(dāng)2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)時(shí)f(x)單調(diào)遞增,即kπ-π≤x≤kπ+(k∈Z). 所以[kπ-,kπ+](k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (2)當(dāng)x∈[0,]時(shí)?≤2x+≤, 當(dāng)2x+=,即x=時(shí)sin(2x+)=1. 所以f(x)max=+1+a=2?a=1-. 由2x+=kπ+得x=+(k∈Z), 故y=f(x)的對(duì)稱軸方程為x=+,k∈Z. 思維升華 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題. 已知函數(shù)f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象;若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值. 解 (1)由題意得:f(x)=2sin ωxcos ωx+2sin2ωx- =sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx-), 由周期為π,得ω=1,得f(x)=2sin(2x-), 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 整理得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-,kπ+],k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=2sin 2x+1的圖象, 所以g(x)=2sin 2x+1, 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z), 所以在[0,π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn), 若y=g(x)在[0,b]上有10個(gè)零點(diǎn),則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,即b的最小值為4π+=. 1.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),或y=Atan(ωx+φ))的單調(diào)區(qū)間 (1)將ω化為正. (2)將ωx+φ看成一個(gè)整體,由三角函數(shù)的單調(diào)性求解. 2.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖象求解析式 (1)A=, B=. (2)由函數(shù)的周期T求ω,ω=. (3)利用與“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求φ. 3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn). 4.求三角函數(shù)式最值的方法 (1)將三角函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解. (2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x,cos x的二次函數(shù)的形式,進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解. 5.特別提醒 進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時(shí),要注意無論進(jìn)行什么樣的變換都是變換變量本身. 真題感悟 1.(xx遼寧)將函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)( ) A.在區(qū)間[,]上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間[,]上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間[-,]上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間[-,]上單調(diào)遞增 答案 B 解析 y=3sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3sin[2(x-)+]=3sin(2x-π). 令2kπ-≤2x-π≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z,則y=3sin(2x-π)的增區(qū)間為[kπ+,kπ+π],k∈Z. 令k=0得其中一個(gè)增區(qū)間為[,π],故B正確. 畫出y=3sin(2x-π)在[-,]上的簡(jiǎn)圖,如圖, 可知y=3sin(2x-π)在[-,]上不具有單調(diào)性, 故C,D錯(cuò)誤. 2.(xx北京)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為________. 答案 π 解析 ∵f(x)在上具有單調(diào)性, ∴≥-, ∴T≥. ∵f=f, ∴f(x)的一條對(duì)稱軸為x==. 又∵f=-f, ∴f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為=. ∴T=-=,∴T=π. 押題精練 1.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖,其中M(m,0),N(n,2),P(π,0),且mn<0,則f(x)在下列哪個(gè)區(qū)間中是單調(diào)的( ) A.(0,) B.(,) C.(,) D.(,π) 答案 B 解析 ∵mn<0,所以當(dāng)左右移動(dòng)圖象,當(dāng)圖象過原點(diǎn)時(shí),即M點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),此時(shí)T=π,則ω=2,∴f(x)=2sin(2x),在(,)上為減函數(shù),(0,)上為增函數(shù);當(dāng)圖象的最高點(diǎn)在y軸上時(shí),即N點(diǎn)在y軸上,T=π,ω=,∴f(x)=2sin(x),在(0,)上是減函數(shù),(,π)上為增函數(shù).所以f(x)在(,)上是單調(diào)的. 2.已知函數(shù)f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-(ω>0),直線x=x1,x=x2是y=f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為. (1)求f(x)的表達(dá)式; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若關(guān)于x的方程g(x)+k=0在區(qū)間[0,]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解 (1)f(x)=sin 2ωx+- =sin 2ωx+cos 2ωx=sin(2ωx+), 由題意知,最小正周期T=2=, T===,所以ω=2,∴f(x)=sin. (2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到y(tǒng)=sin(4x-)的圖象, 再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變, 得到y(tǒng)=sin(2x-)的圖象. 所以g(x)=sin(2x-). 令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤. g(x)+k=0在區(qū)間[0,]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解, 即函數(shù)g(t)=sin t與y=-k在區(qū)間[-,]上有且只有一個(gè)交點(diǎn).如圖, 由正弦函數(shù)的圖象可知-≤-k<或-k=1. ∴-- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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