《九年級數(shù)學(xué) 第8講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與線段和差問題教案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級數(shù)學(xué) 第8講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與線段和差問題教案.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

二次函數(shù)與線段的和差問題 知識講解 知識點(diǎn) 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點(diǎn) 巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 線段的和的最小值： 此類問題歸結(jié)為對稱點(diǎn)問題，我們只需將其中的一個已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)找到，同時連接該對稱點(diǎn)與另一已知的點(diǎn)，則該直線與已知直線的交點(diǎn)即為尋找的點(diǎn)； 線段的差的最大值： 此類問題歸結(jié)為三點(diǎn)共線問題，我們只需將兩個已知的點(diǎn)都轉(zhuǎn)換到直線的同一側(cè)，同時連接這兩個已知的點(diǎn)得到的直線與已知直線的交點(diǎn)即為尋找的點(diǎn)； 線段的最值問題： 我們可以將所需線段用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，再根據(jù)函數(shù)最值的求解方式便可以得到線段的最值了； 圖形周長的最值問題： 此類問題可以歸結(jié)為線段的和的最值問題，我們可以借助線段和的最值求法來研究。 當(dāng)需要求解出線段的最值時，我們可以將線段放置于直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解。 例題精析 例1已知：直線l：y=﹣2，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），（2，0）．（1）求該拋物線的解析式； （2）如圖①，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ． （3）請你參考（2）中結(jié)論解決下列問題： （i）如圖②，過原點(diǎn)作任意直線AB，交拋物線y=ax2+bx+c于點(diǎn)A、B，分別過A、B兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別是點(diǎn)M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM． （ii）已知：如圖③，點(diǎn)D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．  例2已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C．點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)． （2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍． （3）若，當(dāng)∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（）個單位，點(diǎn)P、C移動后對應(yīng)的點(diǎn)分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．  例3如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．  例4如圖，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2． （1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式； （2）P是線段AC上的一個動點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值； A （3）點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．  課程小結(jié) 有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與線段的和差問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與線段的和差問題時，抓住已有的信息及條件用所設(shè)未知數(shù)來表示出線段的長度，并能運(yùn)用二次函數(shù)的最值來解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵，如遇到線段和最大及差最小問題可相應(yīng)的將其轉(zhuǎn)換為對稱點(diǎn)及三點(diǎn)共線的問題來解決。 例1【規(guī)范解答】 解：（1）由題意，得 ，解得：， ∴拋物線的解析式為：y= （2）如圖①，設(shè)P（a， a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1． 在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ； （3）①如圖②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM， ∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180． ∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180， ∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360 ∴2∠BON+2∠AOM=180，∴∠BON+∠AOM=90，∴∠MON=90，∴ON⊥OM； ②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E， ∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90，F(xiàn)O=FG，F(xiàn)′H=F′O， ∴四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O+FD=FG+FD=DG，F(xiàn)′O+F′D=F′H+F′D ∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′， ∴F是所求作的點(diǎn)．∵D（1，1）， ∴F的橫坐標(biāo)為1，∴F（1，）． 【總結(jié)與反思】 1. 由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸，就可以得出﹣=0，由待定系數(shù)法求可以求出拋物線的解析式； 2. 由（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出結(jié)論； 3. ①由（2）的結(jié)論就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的內(nèi)角和定理記平行線的性質(zhì)就可以求出∠MON=90而得出結(jié)論； ②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出結(jié)論． 例2【規(guī)范解答】(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得: ;解得: 拋物線解析式為 頂點(diǎn)橫坐標(biāo),將代入拋物線得 (2)如圖,當(dāng)時,設(shè),則 過作直線軸, (注意用整體代入法) 解得, 當(dāng)在之間時，或時，為鈍角. (3)依題意，且 設(shè)移動（向右，向左） 連接則又的長度不變 四邊形周長最小，只需最小即可，將沿軸向右平移5各單位到處沿軸對稱為 ∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點(diǎn)共線時，最小，且最小為，此時 ，設(shè)過的直線為，代入 ∴ 即將代入，得：，解得： ∴當(dāng)，P、C向左移動單位時，此時四邊形ABP’C’周長最小。 【總結(jié)與反思】 1.二次函數(shù)待定系數(shù)法; 2.存在性問題,相似三角形; 3.最終問題,軸對稱,兩點(diǎn)之間線段最短 例3【規(guī)范解答】解：（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+， 將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣， 故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+； （2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0時，y=，∴C（0，）．y=0時，﹣x2﹣x+=0， 解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2． 設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以 當(dāng)CP=CB時，有CP==2，解得m=； 當(dāng)BP=BC時，有BP==2，解得m=2． 綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）； （3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC． 連結(jié)BC并延長至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，∵B、B′關(guān)于直線AC對稱， ∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此時△QBM的周長最?。? 由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n， 將M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直線MB′的解析式為y=x+． 同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）． 所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣，），使△QBM的周長最?。? 【總結(jié)與反思】 （1）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式； （2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC==2．設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以當(dāng)△PBC為等腰三角形時分兩種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC； （3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對稱的性質(zhì)可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0，），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′（3，2），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)． 例4【規(guī)范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2， 代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數(shù)解析式是：y=﹣x﹣1； （2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）， ∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，PE的最大值=； （3）存在4個這樣的點(diǎn)F，分別是：F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）． ①如圖1， 連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，0）； ②如圖2， AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）； ③如圖3， 此時C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中，即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）， 由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為：y=﹣x+h，將G點(diǎn)代入后， 可得出直線的解析式為：y=﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（4+，0）； ④如圖4， 同③可求出F的坐標(biāo)為：（4﹣，0）；綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點(diǎn)． 【總結(jié)與反思】 1. 拋物線與x軸的交點(diǎn)即為A和B，再將A和C帶入求解直線方程。 2. 將點(diǎn)P和點(diǎn)E坐標(biāo)設(shè)出后，求解最大值。 3. 將已知AC邊作為邊或者對角線分類討論求出點(diǎn)坐標(biāo)。