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第一章直線和平面二面角教學目標1．使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步運用它解決實際問題；2．引導學生探索和研究“二面角的平面角”應該如何定義，在概念形成的過程中，發(fā)展學生的思維能力．教學重點和難點本課的重點是“二面角”和“二面角的平面角”的概念；本課的難點是“二面角的平面角”概念形成的過程．教學設計過程教師：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？學生：從平面內一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角．教師：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？學生；直線a，b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．它們的共同特征是都是將三維空間的角轉化為二維空間的角．教師：請同學們觀察下面的幾個問題．（當教師說完上述話后，利用多媒體技術，讓學生通過計算機看兩個例子）例子之一：鏡頭一：淡藍色的地球．（圖片）鏡頭二：火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星．（錄相）鏡頭三：人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉，最后畫出衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面．讓學生觀察這兩個平面相交成一定的角度．,例子之二：鏡頭一：人走在坡度不太大的橋上．（錄相）鏡頭二：人在爬山．（錄相）鏡頭三：攀巖運動．（錄相）鏡頭四：演示下面動態(tài)圖象．（讓水平面靜止不動，坡面在不斷變化，目的是讓學生看到，在生活實踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形）（注意：四個鏡頭要連續(xù)編排在一起進行演示，時間一分鐘）,,教師：如何給二面角下定義呢？下面我們用類比的辦法，與角的概念對比，探討二面角的定義．這一段教學采用計算機輔助手段，每一個問題分三步完成，首先給出平面角的問題，然后請學生思考并回答二面角的問題，最后計算機顯示正確結果．這部分共有四個問題，全部研究完畢后，將整個過程列成一個總表，顯示在屏幕上．教師：請看角的圖形，思考二面角的圖形．學生可以將自己畫的圖展示給大家．計算機顯示：二面角的圖形．教師：（給出平面角的定義）請同學們給二面角下定義．顯示：從平面內一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形．,,學生：（口答）計算機顯示：從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．教師：平面角由射線—點—射線構成．二面角呢？學生：二面角由半平面—線—半平面構成．教師：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α-a-β或α-AB-β．最后計算機顯示整個過程．教師：經過上面的研究我們已經看到，平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點旋轉形成的圖形；類似地，一個半平面繞其界線旋轉到一定位置所得到的圖形，就是二面角．,,教師：二面角與平面內的角一樣，是可以比較大小的，其比較方法，與平面內的角的大小的比較方法類似．（教師讓學生打開書本）打開書本的過程，給我們一種二面角的大小連續(xù)變化的形象．（前面看到的爬山問題也是如此）教師：用量角器可以量出平面內的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比如，這里有一個對頂量角器和一個三角木塊（直三棱柱）模型，你們能用我們自制的對頂量角器來量出三角木塊模型的某兩面角的大小嗎？比如平面α與β的夾角？,,教師：一般地說，量角器只能測量“平面角”（指兩條相交直線所成的角．相應地，我們把異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，均稱為空間角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我們以往是如何度量某些角的？學生：分別通過“取點、平移（相交）”（對異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對斜線與平面所成的角）去度量的．教師：這些做法的共同點是什么？學生：都是將空間角化為平面角．教師：對！再回到剛才的量角操作，你是怎樣用對頂量角器去量二面角α-l-β的大小呢？學生：將對頂量角器的一個角的兩邊靠緊二面角的兩個面，角的頂點則在二面角的棱上．教師：大家注意，實際上同學們量的是一個平面內的角：∠BAC．這個角的頂點在二面角的棱上，它的兩邊分別在二面角的兩個面內且與棱垂直．而且對于確定的二面角，這樣的角的大小是唯一的，確定的，我們把它叫做二面角的平面角．,（對于訓練有素，肯于思考的學生可能會提出下面的問題）學生：若以棱a上任意一點O為端點，在兩個面內作與棱成等角θ′（0＜θ′＜90）的兩條射線OA′，OB′，由空間等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，為什么不用這樣的角定義二面角的平面角？教師：記∠AOB=θ，∠A′OB′=．當OA′，OB′在平面AOB同側時θ＞；當OA′，OB′在平面AOB異側時θ＜．請看圖6：設A′P′=a，A′P=b，A′B′=x,,,當OA′，OB′在平面AOB的同側時，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由（*）知，與θ之間會有常數(shù)關系，這將給表示，尤其是計算、應用帶來諸多不便；另外，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，當平面α⊥平面β時；≠90，當半平面α與半平面β在同一平面時，=2θ′≠180，都與已有知識和經驗不符，不能直觀反映出空間兩個相交平面的相對位置關系。教師板書二面角的平面角的定義．定義以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．教師：“二面角的平面角”的定義三個主要特征是什么？學生：過棱上任意一點（0∈a），分別在兩個面內作射線（OAα，OBβ），射線垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．,,教師：經過上面的研究我們看到，二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度．教師：許多立體幾何問題，若能正確地作出圖形，則問題就便于解決．若能正確地作出二面角的平面角乃是解決這類問題的關鍵步驟．下面我們總結一下作二面角平面角的幾種基本方法．如何利用定義作二面角的平面角呢？學生：在二面角的棱a上任意取一點O為端點，在面α，β內分別引垂直于棱a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為該二面角的平面角．教師：如何利用三垂線定理作二面角的平面角呢？,,學生：在二面角α-a-β的面α上任取一點A，過A分別作棱a和另一面β的垂線AO和AB（O，B分別是垂足），連BO；或者過A作面β的垂線AB，又過垂足B引棱a的垂線BO，連AO；則∠AOB為該二面角的平面角．教師：能否用作垂面的辦法作二面角的平面角呢？學生：過二面角的棱a上任一點O，作平面γ與該棱垂直（作棱的垂面），平面γ與α，β分別交于OA，OB，則可用∠AOB來度量二面角α-a-β的大?。?,小結1．空間的“二面角”，是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣．處理問題的思想方法是將“空間的角”轉化為“平面的角”來處理．定義的原則是：這個“平面角”的大小必須是由空間的角完全確定而且是唯一的．2．凡是涉及到二面角的幾何問題，都要根據(jù)題目的條件，在圖形的恰當位置作出二面角的平面角，主要方法有“定義法”，“應用三垂線定理”和“作垂面”的方法．我們將在下一課做進一步的研究．布置作業(yè)1．閱讀課本．2．正四面體ABCD，求側面與底面所成二面角的大小的余弦值．3．如果兩個二面角的兩個面對應平行，那么這兩個二面角相等或互補．,