2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十講 拋物線(xiàn).doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十講 拋物線(xiàn) 一般地說(shuō)來(lái)，我們稱(chēng)函數(shù) (、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相關(guān)的知識(shí)有： 1．、、的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的大致位置； 2．拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、開(kāi)口大小僅與相關(guān)，拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)(，)處取得最值； 3．拋物線(xiàn)的解析式有下列三種形式： ①一般式：； ②頂點(diǎn)式：； ③交點(diǎn)式：，這里、是方程的兩個(gè)實(shí)根． 確定拋物線(xiàn)的解析式一般要兩個(gè)或三個(gè)獨(dú)立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線(xiàn)的解析式是解與拋物線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵． 注：對(duì)稱(chēng)是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對(duì)稱(chēng)關(guān)系，以便從整體上把握問(wèn)題，由拋物線(xiàn)捕捉對(duì)稱(chēng)信息的方式有： (1)從拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等獲得對(duì)稱(chēng)信息； (2)從拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程與拋物線(xiàn)被軸所截得的弦長(zhǎng)獲得對(duì)稱(chēng)信息． 【例題求解】 【例1】 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的取值范圍是 ． 思路點(diǎn)撥 由圖象知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出，值，先求出時(shí)，對(duì)應(yīng)的值． 【例2】 已知拋物線(xiàn)(<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1，0)，且滿(mǎn)足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 思路點(diǎn)撥 由條件大致確定拋物線(xiàn)的位置，進(jìn)而判定、、的符號(hào)；由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得等式或不等式；運(yùn)用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系． 【例3】 如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線(xiàn)狀，MN＝4分米，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線(xiàn)上，問(wèn)這樣截下的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8分米? 思路點(diǎn)撥 恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線(xiàn)的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線(xiàn)解析式中自變量的取值范圍內(nèi)． 注： 把一個(gè)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法，同一問(wèn)題有不同的建模方式，通過(guò)分析比較可獲得簡(jiǎn)解． 【例4】 二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與軸交于C點(diǎn)，且∠ACB＝90． (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)計(jì)兩種方案：作一條與軸不重合，與△A BC兩邊相交的直線(xiàn)，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫(xiě)出所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(注：設(shè)計(jì)的方案不必證明)． 思路點(diǎn)撥 (1)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過(guò)特殊點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計(jì)方案． 注： 解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 【例5】 已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時(shí)，函數(shù)值最?。? 思路點(diǎn)撥 將函數(shù)解析式通過(guò)變形得配方式，其對(duì)稱(chēng)軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時(shí)達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類(lèi)討論． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，若拋物線(xiàn)與四條直線(xiàn)、、、所圍成的正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ． 2．拋物線(xiàn)與軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為1，△ABC的面積為1，則的值為 ． 3．如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 ；(2)若點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為 ． 4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線(xiàn)的特征寫(xiě)出如下含有、、三個(gè)字母的式子①，②，③，④，>0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (把你認(rèn)為正確的都填上)． 5．已知，點(diǎn)(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則( ) A． B． C． D． 6．把拋物線(xiàn)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則有( ) A．， B．， C．，c＝3 D．， 7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)(，)所在的直角坐標(biāo)系是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．周長(zhǎng)是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(zhǎng)(m)的函數(shù)圖象大致是( ) 9．閱讀下面的文字后，回答問(wèn)題： “已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，)，B(1，-2) ，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)． 題目中的橫線(xiàn)部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字． (1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫(xiě)出求解過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由． (2)請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線(xiàn)上，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整． 10．如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米． (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的解析式； (2)該運(yùn)動(dòng)員身高1. 8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少? 11．如圖，拋物線(xiàn)和直線(xiàn) ()與軸、y軸都相交于A、B兩點(diǎn)，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸相交于C點(diǎn)，且∠ABC＝90，求拋物線(xiàn)的解析式． 12．拋物線(xiàn)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形，則 ． 13．如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于 ． 14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖象對(duì)于任意的實(shí)數(shù)是都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為 ． 15．如圖，拋物線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是( ) A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．a(chǎn)c＝一1 D．a(chǎn)+c＝0 16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)…求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)． 根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是( ) A．過(guò)點(diǎn)(3，0) B．頂點(diǎn)是(2，一2) C．在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2 D．與軸的交點(diǎn)是(0，3) 17．已知A(x1，xx)，B(x2，xx)是二次函數(shù) ()的圖象上兩 時(shí)，二次函數(shù)的值是( ) A． B． C． xx D．5 18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸)與費(fèi)用(單位：萬(wàn)元)之間函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(單位：噸)與銷(xiāo)售單價(jià)(單位：萬(wàn)元／噸)之間函數(shù)的圖象是線(xiàn)段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售完，問(wèn)年產(chǎn)量是多少?lài)崟r(shí)，所獲毛利潤(rùn)最大?(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額一費(fèi)用)． 19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)：x＝m(m>1)與軸交于點(diǎn)D． (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)在直線(xiàn)x＝m (m>1)上有一點(diǎn)P (點(diǎn)P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)； (3)在(2)成立的條件下，試問(wèn)：拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 20．已知二次函數(shù)及實(shí)數(shù)，求 (1)函數(shù)在一2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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