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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四講 一元二次方程式的判別式學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.體驗(yàn)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac 判根的作用。 2.探索一元二次方程的各種情況。 【知識框圖】 不解方程判根 ax2+bx+c=o Δ=b2－4ac 應(yīng)用 已知方程根的情況確定方程的字母系數(shù) 求證方程有根的狀況 典型例題 例1.不解方程判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根。 （1）2x2+x-1=0 （2）3x2+ = x （3）y(2y+5)=2(y- 1) （4）1998m2- 2002m- 2003=0 解：（1）∵Δ=12- 42(-1)=9＞0 ∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）方程可化為 3x2- x+ =0 ∵Δ=6- 34 =0 ∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。 （3）方程可化為2y2+3y+2=0 ∵Δ=9- 422= -7＜0 ∴方程沒有實(shí)數(shù)根。 （4）∵ac＜0 ∴b2-4ac＞0 ∴方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 評注：（1）判定方程是否有實(shí)數(shù)根，只要通過計(jì)算Δ的值，就能確定； （2）當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c異號時，必有b2－4ac ＞0。 例2：當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程x2+(1- 2k)x+k2- 1=0 （1）有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根。 解：∵Δ=（1- 2k）2- 4（k2- 1）= - 4k+5 （1）∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 ∴Δ=0 即-4k+5=0 ∴k= 當(dāng)k= 時方程有兩個相等實(shí)數(shù)根。 （2）∵方程有兩相不相等的實(shí)數(shù)根 ∴Δ＞0 即- 4k+5＞0 ∴ k＜ 當(dāng)k ＜ 時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （3）∵方程沒有實(shí)數(shù)根 ∴Δ＜0 即-4k+5＜0 ∴ k＞ 當(dāng)k＞ 時方程沒有實(shí)數(shù)根 評注：若已知方程根的情況，則可通過Δ已確定的符號（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，計(jì)算待定系數(shù)的值或確定取值范圍。 例3：求證：不論k取什么實(shí)數(shù)，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 證明：∵Δ=k2-4k+84 =(k-2) 2+80 ∵(k-2) 2≥0 ∴ (k-2) 2+80＞0 ∴Δ＞0 ∴不論k取什么實(shí)數(shù)，方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 評注：（1）要證明方程根的情況，只需通過判斷Δ的符號即可； （2）判定Δ的符號卻常常使用配方技巧或因式分解等。 例4：當(dāng)k取何值時，方程(k-1)x2 - x+1=0有實(shí)根。 解：（1）當(dāng)k=1時方程可化為-x+1=0,x=1 （2）當(dāng)k≠1時，Δ≥0 Δ=k-4(k-1)= -3k+4≥0 ∴ k≤ 又要使 有意義 ∴k≥0 ∴0≤k≤ 且k≠1 綜合所述當(dāng)0≤k≤ 時方程有實(shí)數(shù)根。 評注：（1）本題中對于“方程有實(shí)數(shù)根”的含義的理解是關(guān)鍵，應(yīng)分類討論； （2）解題時要注意方程中待定系數(shù)本身的取值范圍：這里k≥0。 【選講例題】 例5：方程 + + =0只有一個實(shí)數(shù)根（等根視為一根），求a的值。 解：方程化簡x2+(x-2) 2+2x-a=0 2x-2x+4-a=0 （1）若Δ=0,Δ=4-24(4-a)=0 即 2a-7=0, a= 此時方程為2x2-2x+ =0, 此時方程的根為x1=x2= 符合題意。 （2）若Δ＞0則要使原方程只有一個實(shí)數(shù)根，必須是方程2x 2-2x+4-a=0 中有一根為增根 <1>當(dāng)增根為x=0時，a=4，此時方程2x 2-2x=0 x1=0, x2=1，符合原方程只有一個實(shí)數(shù)根。 <2>當(dāng)增根為x=2時，24-22+4-a=0 ∴a=8 此時方程為2x2-2x+4=0 ∴x1=2, x2= -1 ,符合原方程只有一個實(shí)數(shù)根。 綜上所述a的值為 、4或8。 評注：（1）本題主體思想是通過方程的根進(jìn)行分類討論； （2）對化簡后方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，通過增根求出待定系數(shù)后再檢驗(yàn)； （3）若化簡后二次項(xiàng)系數(shù)是有關(guān)a的代數(shù)式，則還要進(jìn)行方程類別的討論。 【課堂小結(jié)】 本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了一元二次方程的根的判別式Δ及其作用，主要體現(xiàn)在Δ＞0，Δ=0和Δ＜0時，對方程的解的影響。只要涉及到方程解的情況討論時，Δ是主要討論的內(nèi)容，同時也不可忽視Δ使用的前提：二次項(xiàng)系數(shù)不能為零。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.選擇題 （1）若方程x2-2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ） A.m＞1 B.m=1 C.m＜1 D.任何實(shí)數(shù) （2）若一元二次方程根的判別式Δ=(m-1) 2,則下列說法不正確的是（ ） A. 一定有兩個實(shí)數(shù)根 B.一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C.當(dāng)m＜1沒有實(shí)數(shù)根 D.以上說法都不正確 2.填空題 （1）方程x2-3x-4=0的判別式Δ=__________. （2）若方程（x+2) 2+(y-2) 2=0,則x+y=_________. 3.m為何值時，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 4. 已知a、b、c為三角形三邊長，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根。 求證：三角形是直角三角形。 5.已知二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+m2-1與x軸有兩個交點(diǎn)，求m的取值范圍。 【鞏固練習(xí)】 1.選擇題 （1）方程x2+3x+6=0與x2-6x+3=0 的所有實(shí)根的乘積等于（ ） A.-18 B.18 C.-3 D.3 （2）若關(guān)于x的方程x2-2 x-1=0有兩個不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（ ） A.k≥0 B.k＞0 C.k＞-1 D. k≥-1 2.填空題 （1）一元二次方程x2-3x-m=0有兩個相等的實(shí)根，則m的值為____________。 （2）若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____________。 3. 已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3 （1）求證：此方程總有實(shí)根； （2）當(dāng)方程有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)根的平方和等于4時，求k的值。 4. 已知等腰三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=0的兩根，另一條邊長c =4，求k的值。 5.已知方程組 有兩組不相等的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍。 6.若方程x2+2px-q=0（p、q是實(shí)數(shù)）沒有實(shí)數(shù)根。（1）求證：p+q＜ （2）試寫出上述命題的逆命題； （3）判斷（2）中的逆命題是否正確，若正確請加以證明，若不正確，請舉一反例。 【課后反思】