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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第四講 明快簡捷—構(gòu)造方程的妙用 有些數(shù)學(xué)問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是： 1．利用根的定義構(gòu)造 當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩根． 2．利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造 若問題中有形如，的關(guān)系式時(shí)，則、可看作方程的兩實(shí)根． 3．確定主元構(gòu)造 對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁?，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程． 成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃?、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果． 注： 許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法． 【例題求解】 【例1】 已知、是正整數(shù)，并且，，則 ． 思路點(diǎn)撥 ，變形題設(shè)條件，可視、為某個(gè)一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解． 【例2】 若，且有及，則的值是( ) A． B． C． D． 思路點(diǎn)撥 第二個(gè)方程可變形為，這樣兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手． 【例3】 已知實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍． 思路點(diǎn)撥 由兩個(gè)等式可求出、的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間． 【例4】 已知實(shí)數(shù)、、滿足，． (1)求、、中最大者的最小值； (2)求的最小值． 思路點(diǎn)撥 不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得，．構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過△≥0探求的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)． 注： 構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運(yùn)用判別式△≥0，建立含參數(shù)的不等式， 縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用． 【例5】 試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù)． 思路點(diǎn)撥 設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為，，則有，將此方程整理成關(guān)于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定 (或)的取值范圍． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是，則的取值范圍是 ． 2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個(gè)根，則m的值是 ． 3．已知、滿足，，則= ． 4．已知，，，則的值為( ) A．2 B．-2 C．-1 D． 0 5．已知梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為( ) A．21 B． 25 C．26 D． 36 6．如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長分別是關(guān)于的方程的根，則m的值為( ) A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3 7．已知，，其中、為實(shí)數(shù)，求的值． 8．已知和是正整數(shù)，并且滿足條件，，求的值． 9．已知，，其中m、n為實(shí)數(shù)，則＝ ． 10．如果、、為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式與，那么的取值范圍是 ． 11．已知，則= ，= ．； 12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是 ． 13．已知、、均為實(shí)數(shù)，且，，求的最小值． 14．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，求的取值范圍． 15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且． (1)求∠B的度數(shù)； (2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DM的延長線與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程． 16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值，那么當(dāng)與△BDE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，存在直線DE，有幾條? 參考答案