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一元二次方程 一、選擇題 1.已知一元二次方程 有一個根為1，則 的值為（ ） A.-2B.2C.-4D.4 【答案】B 2.（xx?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情況是（ ） A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根 【答案】B 3.（xx?上海）下列方程中，沒有實數(shù)根的是（ ） A.x2﹣2x=0B.x2﹣2x﹣1=0C.x2﹣2x+1=0D.x2﹣2x+2=0 【答案】D 4.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（ ） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】C 5.某市從xx年開始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計，該市xx年“竹文化”旅游收入約為2億元.預(yù)計2019年“竹文化”旅游輸入將達(dá)到2.88億元，據(jù)此估計該市xx年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為（ ） A.B.C.D. 【答案】C 6.（xx嘉興）用配方法解方程 時，配方結(jié)果正確的是（ ） A.B.C.D. 【答案】B 7.（xx?益陽）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=1，x2=﹣1，那么下列結(jié)論一定成立的是（ ） A.b2﹣4ac＞0B.b2﹣4ac=0C.b2﹣4ac＜0D.b2﹣4ac≤0 【答案】A 8.（xx?六盤水）三角形的兩邊a、b的夾角為60且滿足方程x2﹣3 x+4=0，則第三邊的長是（ ） A.B.2 C.2 D.3 【答案】A 9.（xx?荊門）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ） A.a＜0，b＜0，c＞0B.﹣ =1 C.a+b+c＜0D.關(guān)于x的方程x2+bx+c=﹣1有兩個不相等的實數(shù)根 【答案】D 10.（xx?荊州）規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現(xiàn)有下列結(jié)論： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程； ②若關(guān)于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=3； ③若關(guān)于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）； ④若點（m，n）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，則關(guān)于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程． 上述結(jié)論中正確的有（ ） A.①②B.③④C.②③D.②④ 【答案】C 二、填空題 11.（xx?貴陽）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是________． 【答案】x1=3，x2=9 12.（xx?巴中）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則a2+2ab+b2的值為________． 【答案】1 13.（xx?黑龍江）原價100元的某商品，連續(xù)兩次降價后售價為81元，若每次降低的百分率相同，則降低的百分率為________． 【答案】10% 14.（xx?鎮(zhèn)江）已知實數(shù)m滿足m2﹣3m+1=0，則代數(shù)式m2+ 的值等于________． 【答案】9 15.（xx?赤峰）如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是________． 【答案】m＜2 16. 已知實數(shù)m，n滿足m﹣n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于________． 【答案】4 17.已知a>b>0,且 ，則 ________。 【答案】 18.（xx?營口）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________． 【答案】k＞ 且k≠1 三、解答題 19. 解方程：x2﹣2x=4． 【答案】解：配方x2﹣2x+1=4+1 ∴（x﹣1）2=5 ∴x=1 ∴x1=1+ ，x2=1﹣ 20.（xx?安順）先化簡，再求值：（x﹣1）（ ﹣1），其中x為方程x2+3x+2=0的根． 【答案】解：原式=（x﹣1） =（x﹣1） =（x﹣1） =﹣x﹣1． 由x為方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2． 當(dāng)x=﹣1時，原式無意義，所以x=﹣1舍去； 當(dāng)x=﹣2時，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1 21.（xx?巴中）巴中市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于有關(guān)部門關(guān)于房地產(chǎn)的新政策出臺后，部分購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售，若兩次下調(diào)的百分率相同，求平均每次下調(diào)的百分率． 【答案】解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x， 根據(jù)題意得：5000（1﹣x）2=4050， 解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合題意，舍去）． 答：平均每次下調(diào)的百分率為10% 22.（xx?濱州）根據(jù)要求，解答下列問題： （1）解答下列問題 ①方程x2﹣2x+1=0的解為________； ②方程x2﹣3x+2=0的解為________； ③方程x2﹣4x+3=0的解為________； … （2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解為________； ②關(guān)于x的方程________的解為x1=1，x2=n． （3）請用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以驗證猜想結(jié)論的正確性． 【答案】（1）x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3 （2）1、8；x2﹣（1+n）x+n=0 （3）x-9x=-8 x-9x+ =-8+ （x- ）= x- = 所以 所以猜想正確。 23.（xx臺州）在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根，比如對于方程 ，操作步驟是： 第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）; 第二步：在坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B； 第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C 的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1） 第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時，點D 的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個實數(shù)根。 （1）在圖2 中，按照“第四步“的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡） （2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程 的一個實數(shù)根； （3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo)； （4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對，一般地,當(dāng) ， ， ， 與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時，點P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一對固定點？ 【答案】（1）解：如圖2所示： （2）證明：在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D. 根據(jù)題意可證△AOC∽△CDB. ∴. ∴. ∴m（5-m）=2. ∴m2-5m+2=0. ∴m是方程x2-5x+2=0的實數(shù)根. （3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為 x2+x+=0. 模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等. （4）解：以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）, 設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=. 上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0. 又ax2+bx+c=0, 即x2+x+=0. 比較系數(shù)可得：m1+m2=-. m1m2+n1n2=.