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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十一講 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、理解直線和圓的相交、相切、相離的概念。 2、掌握切線的判定定理，性質(zhì)定理和切線長定理，并會(huì)利用它們解決有關(guān)問題。 3、會(huì)畫圓的切線和三角形的內(nèi)切圓，掌握三角形內(nèi)心的概念。 4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。 5、掌握相交弦定理、切割線定理及推論，并會(huì)利用它們解決有關(guān)問題。 【知識(shí)框圖】 相離 d＞r 相交弦定理 直線與圓的 相交 d＜r 切割線定理的推論 位置關(guān)系 弦切角定理 相切 d＝r 切線長定理 切割線定理 【典型例題】 例1：如圖，已知AB是⊙O的直徑，延長AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，求∠A的度數(shù)。 分析：本題條件中，沒有給出角的度數(shù)條件，因此需要挖掘隱含度數(shù)的條件，由AB是⊙O的直徑可想到連接BC，則∠ACB=900給解本題創(chuàng)造了條件，又注意到DC是⊙O的切線，于是得解。 解：連接OC、BC則OC⊥CD C 在RtΔOCD中，∵OC=OB=BD A O B D ∴OD=2OC ∴SinD= = ∴∠D=300 又∵BO=BD ∴CB=BD ∴∠BCD=∠D=300 ∵DC是⊙O的切線 ∴∠A=∠BCD=300 或者，在求得∠D=30后，可得∠COB=60，由三角形外角的性質(zhì)可知∠A= ∠COB=300 例2：如圖，若過⊙O上一點(diǎn)A作⊙A交⊙O于B、C，過點(diǎn)A的直線交⊙O于E，A交⊙A于D、G，交BC于F， 求證：EFAF=AD2-AF2 分析：顯然本題兩圓中都含有相交弦，可從相交弦入手。在⊙O中有EFFA=BFFC，在⊙A中有 DFFG=BFFC，則EFFA=DFFG。我們可把DF=AD-AF，F(xiàn)G=AG+AF代入，又有AD=AG，就易得EFAF=AD2-AF2?！　　　　　　　　　。? 證明：∵EFFA=BFCF BFCF=DFFG　　　　?。牛模啤。痢? ∴EFFA=DFFG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。? 　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｃ ∵DF=AD-AF，　FG=AF+FG　又∵AD=AG 　 ∴EFFA=（AD-AF）（AF+FG）=AD2-AF2 評注：有的等積式很復(fù)雜，就出現(xiàn)了差（和）問題，對于這一類問題最終是要化成四條線段組成的等式，這主要是通過等量代換來證明，但注意不要生般硬套，要分情況，有時(shí)可用線段的拆拼，有時(shí)可考慮到提公因式，都能把和（差）變成積。 例3：如圖，在ΔABC中，∠B=900，D是BC上一點(diǎn)，BD=BA=a,以O(shè)為圓心BD為直徑的半圓與AC相切于點(diǎn)M。（1）求證：MC=2 CD（2）求AC的長 分析：本題的條件中隱含著多對三角形相似，并且DO=OB=OM=a= 　AB，由此聯(lián)想到MC=2CD，可轉(zhuǎn)化為線段相似比來證?！　　　　　　　　　　　　　　　　。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。? 解：（1）連OM、DM、BM ∵AC切⊙O于M 　∴∠CMD=∠CBM ∠CMO=Rt∠　?。谩　。摹　。稀　。? ∴ΔCMD∽ΔCMB 　ΔCMO∽ΔCAB ∴ = = = =2 ∴ = =2 　　即MC=2CD （2）設(shè)MC=x則BC=2x ∵∠B=900 ∴AC2=AB2+BC2 ∴(a+x) 2=a2+(2x) 2 　　解得x= a 　∴AC= a 評注：在幾何證明或計(jì)計(jì)算中，如果能利用一些基本圖形和基本結(jié)論，往往能使思路簡化，并且繁雜圖形又往往是幾個(gè)基本結(jié)論的組合，所以掌握這些基本圖形和基本結(jié)論很必要。 【選講例題】 例4：如圖，⊙O內(nèi)接ΔABC，AQ⊥BC于D，交⊙O于Q，AD 是⊙O１的直徑，⊙O１交AB于M，交AC于N，AQ交MN于P，求證：（1）OA⊥MN（2）AD２=APAQ 分析：（1）要證OA⊥MN，須證∠CMA+∠MAO=90，延長AO為直徑AE，連結(jié)BE，則 ∠ABE=900，要證明人∠CMA+∠MAO=900，只須證∠CMA=∠E即可，而∠E=∠ACB，AD是⊙O的直徑，連接DN，∠AND=900，∠ADN=∠CMA，若∠ACB=∠ADN即可，由AD⊥BC可得∠ADN=∠ACB （2）要證AD2=APAQ，而AP、AD共線，不便于用相似三角形證，由圖形特點(diǎn)我們聯(lián)想，得到AD2=ANAC，則只須證ANAC=APAQ，可那么須證ΔAPN∽ΔACQ，連接CQ，只須證 ∠ANM=∠Q，而∠Q=∠ABC，若∠ANM=∠ABC則可得。由于上題得到∠CMA=∠ACB，能得到ΔAMN∽ΔACB，顯然∠ACM=∠ABC，于是思路疏通。 證明：（1）延長AO交⊙O于E，連接BE，ND ∵AE、AD分別為⊙O、⊙O１的直徑 ∴∠ABE=∠ADN=900，∠BAO+∠E=900 ∵AD⊥BC 　 ∴∠ACB=∠ADN=∠CMA，　∠CMA=∠E=∠ACB ∴∠BAO+∠CMA=900 　即OA⊥MN　　　　　　　　?。? （2）連接QC， 則∠Q=∠ABC　　　　　　　　?。汀　。? ∵∠CMA=∠ACB 　　∠MAN=∠CAB ∴ΔMAN∽ΔACB 　　　　　　　　　　　　　　　　　?。谩。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。隆　　　　?Ｑ ∴∠ANM=∠ABC 　∴∠ANM=∠Q E 　 又∵∠PAN=∠CAQ 　∴ΔAPN∽ΔACQ ∴APAQ=ANAC ∵∠ADC=900 DN⊥AC ∴ΔDAN∽ΔCAD ∴AD2=ANAC 　　 ∴AD2=APAQ 【課堂小結(jié)】 圓是平面幾何的核心內(nèi)容，是初中幾何的最后一章，要整個(gè)初中幾何中屬于綜合，提高階段。在直線與圓的位置關(guān)系這一章節(jié)中，可與三角函數(shù)和代數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系，了解一些基本圖形和基本結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、合理運(yùn)算及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB與DC的反向延長線相交于N，BC與AD的延長線相交于M，若∠M=400，∠N=200，則∠A=__________. 2、如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABDC中，BD⊥AC，OM⊥AB，M為垂足，求證：OM= CD。 3、如圖，已知⊙O的弦CD與AB相交于P點(diǎn)，PE∥DA，且交BC的延長線于點(diǎn)E，又EF切⊙O于F，求證：∠EPF=∠EFP。 4、如圖，已知⊙O１與⊙O２外切于P，AB為兩圓的外公切線，AB為切點(diǎn)，AP交⊙O２于C，BP交⊙O１于D，求證AB２=APPC+BPPD D C D A B A P O P A M B B C E C F D （2） （3） （4） 【鞏固練習(xí)】 1、AB是⊙O 的弦，CD是經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)M的切線，AB∥CD，求證：AM=MB 2、如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B ，BC⊥AO于C，求證：∠1=∠2 3、已知，正方形的對角線AC和BE相交于點(diǎn)M，求證：ME=AB且M是EB的黃金分割點(diǎn)。 C M D D O C D A E C A B B M （1） （2） （3） A B 4、如圖，三角形ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于D，G兩點(diǎn)，作DE⊥AC于E，連結(jié)BE交⊙O于F。 求證：（1）DE是⊙O 的切線（2）DG=DC（3）AEEC=BEEF 5、如圖，在RtΔABC中，∠B=900，D為AB上的一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與AC相切于E，若BD=BD=6，求AC 6、如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，且PB=AB，過B作PO的垂線分別交PO、PA于C、D。（1）求證： = （2）若AD=a，求PD的長。 P A C D C G E A O B F E A D O B B D C （4） （5） （6） 【課后反思】