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2019年八年級數(shù)學(xué)上冊 16.3勾股定理的應(yīng)用教案 冀教版 〖教學(xué)目標(biāo)〗 （－）知識目標(biāo) 初步運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實際問題. （二）能力目標(biāo) 1.能在實際問題中構(gòu)造直角三角形，提高建模能力，進一步深化對構(gòu)造法和代數(shù)計算法和理解. 2. 在解決實際問題的過程中，體驗空間圖形展開成平面圖形時，對應(yīng)的點，線的位置關(guān)系，從中培養(yǎng)空間觀念 （三）情感目標(biāo) 通過對實際問題的有目的的探索和研究，體驗勾股定理的探索活動充滿創(chuàng)造性和可操作性，并敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難，運用已有知識和經(jīng)驗解決問題，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識. 〖教學(xué)重點〗 運用勾股定理進行計算，解決實際問題. 〖教學(xué)難點〗 運用勾股定理進行計算，解決實際問題. 〖教學(xué)過程〗 一、課前布置 自學(xué)：閱讀課本P86~P87，試著做一做本節(jié)練習(xí)，提出在自學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題（鼓勵提問）. 二、師生互動 （一） ［師］勾股定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一。也許在數(shù)學(xué)中還找不到這樣一個定理，其證明方法之多能夠超過勾股定理。盧米斯（Loomis）在他的《畢達哥拉斯定理》一書的第二版中，收集了這個定理的37O種證明并對它們進行了分類。 勾股定理同時也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。至今在建筑工地上，還在用它來放線，進行“歸方”，即放“成直角”的線。 正因為這樣，人們對這個定理的備加推崇便不足為奇了。尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票，主題是世界上“十個最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。 現(xiàn)在讓我們一起走進“勾股定理的應(yīng)用”. ［師生共析］一起交流課本P86的例1、2和P87 的“一起探究”. （讓學(xué)生主動提出問題，鼓勵學(xué)生自己解決課本例題，可以用課本的練習(xí)作為例題） 例 一艘輪船以16海里/時的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船在同時同地以12海里/時的速度向西南方向航行，它們離開港口一個半小時后相距多遠？ 提示：此題關(guān)鍵是要弄明白方位角，能據(jù)題意畫出圖形． 方位角，上北下南，左西右東． 東南方向是東、南的夾角平分線；西南方向是西、南的夾角平分線； 東北方向是東、北的夾角平分線；西北方向是西、北的夾角平分線. 解：由題意畫草圖如下． 因為△ABC為直角三角形． 1個半小時以后，AC＝121.5＝18（海里） AB＝161. 5＝24（海里） 所以由勾股定理得AC2＋BA2＝BC2 所以BC2＝182＋242 BC2＝900 所以BC＝30（海里） 答：它們離開港口1個半小時后相距30海里． （二）小結(jié) ［師生共析］用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，首先要把實際問題轉(zhuǎn)化到一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型中.在這里，就是轉(zhuǎn)化到直角三角形中用“勾股定理”解決，或轉(zhuǎn)化到由三角形邊的數(shù)量關(guān)系去識別它是不是直角三角形. 在解決問題中，要將圖形與數(shù)字有機地結(jié)合起來，善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，抓住問題的本質(zhì)特征. 例如：“南北向MN為我國領(lǐng)海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東為公海，我反走私艇在A發(fā)現(xiàn)一走私艇C偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的反走私艇B注意，經(jīng)測A、C距離13，A、B距離5，B、C距離12．” 利用畫圖可以幫助理解題意，發(fā)現(xiàn)AC＝13，AB＝5， BC＝12，正好是勾股數(shù)，所以三艇構(gòu)成直角三角形． （三）鼓勵學(xué)生講解教師提供的例題.（例題的設(shè)置是分層的，安排不同基礎(chǔ)的學(xué)生嘗試講解，教師予以補充） 例1 如圖是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm， 高為15cm，問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長可以是多長? 分析：攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的 、，但它們都不是最長的，根據(jù)實際經(jīng)驗，當(dāng)攪拌 棒的一個端點在B點，另一個端點在A點時最長，此時可以把 線段AB放在Rt△ABC中，其中BC為底面直徑． 解：如圖，當(dāng)攪拌棒在AB位置時最長，過B畫底面直徑BC，則在Rt△ABC中， AC＝15cm， BC＝42＝8cm 根據(jù)勾股定理得 所以 AB=17 答：易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長為17cm． 例3 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了lm，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高． 分析： 由題意可知繩子比旗桿多l(xiāng)m，把下端拉開5m后，下端剛好接觸地面，這時，旗桿AB、繩子AC、旗桿底點B與繩接觸地面的點C所連結(jié)的線段BC構(gòu)成直角三角形．如圖19—13如果設(shè)旗桿AB＝m，則繩長AC＝(x＋1)m. 解：設(shè)旗桿高為xm，則繩子長(x＋1)m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根據(jù)勾股定理得 即 所以旗桿的高度為12m． 三、補充練習(xí) 作業(yè)：P87~88習(xí)題 〖分層練習(xí)〗 基礎(chǔ)知識 60 120 140 B 60 A C 7 1. （1）如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計算兩圓孔中心A和B的距離為 . （2） 一棵大樹被風(fēng)刮斷后折倒在地面上，如圖,如果量得AC＝6m，CB＝8m．則樹在刮斷之前有________高 8米 8 米 2 米 （3） 如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹 相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹 梢，至少飛了 米. 2. 要從電線桿離地面5米處向地面拉一條13米的拉線，求地面拉線固定點A到電線桿底部B的距離． 3．有兩根木棒，它們的長度分別是40cm和50cm，若要釘成一個三角形木架，其中必須有一個角是直角，則所需最短的木棒長度是多少? 4．一段長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面6m，現(xiàn)將梯頂沿墻面下滑1m，則梯子底端與墻面距離是否也增長1m？說明理由. 綜合運用 5．小明把一根長為160 cm的細鐵絲剪成三段，作成一個等腰三角形風(fēng)箏的邊框ABC(如圖)，已知風(fēng)箏的高AD=40 cm，你知道小明是怎樣彎折鐵絲的嗎？ 6. 如圖，南北向MN為我國的領(lǐng)海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東為公海．上午9時50分，我國反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在線上巡邏的我國反走私艇B密切注意． 反走私艇A通知反走私艇B：A和C兩艇的距離是13海里， A、B兩艇的距離是5海里．反走私艇B測得距離C艇是12 海里，若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國 領(lǐng)海？ 7. 李叔叔想要檢測固定像底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但它只隨身帶了卷尺（只有底座ABCD）如圖． （1）你能幫他解決嗎？ （2）要是李叔叔已經(jīng)給量好：AD＝30 cm， AB＝40 cm，BD＝50 cm，AD邊垂直AB邊嗎？ （3）要是身邊只有一把20 cm的刻度尺怎樣解決這個問題呢？ 〖答案提示〗 1. （1） 100mm （2） 16m （3） 10. 2. 解：由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2 AB2＝AC2－BC2＝132－52＝144，所以AB＝12． 答：固定點A到桿底的距離為12． 3．30cm(提示：最短的是直角邊，利用勾股定理可求得.) 4．不是lm（提示：根據(jù)題意可知AB==10,AO=6,在Rt△ABO 中利用勾股定理可求BO=8. 在Rt△O中可知=7， 利用勾股定理可求=51>49，所以梯子底端與墻面距離增長超過1m） 5．解：AB+BD=160=80． 設(shè)AB=x cm，則BD=(80－x)cm，由勾股定理知 AD2+BD2=AB2，即402+(80－x)2=x2，解得x=50 所以AB=AC=50 cm，BC=60 cm． 答：小明把一根長為160 cm的細鐵絲剪成50、50、60三段即可. 6. 解：設(shè)MN與AC相交于E，則∠BEC＝90， 又， 所以△ABC為直角三角形，∠ABC＝90， 因為MN⊥CE， 所以走私艇進入我領(lǐng)海的最近距離是CE， （認(rèn)真審題是解決本題的關(guān)鍵） 兩式相減得：， ， 9時50分＋51分＝10小時41分． 答：走私艇C最早在10時41分進入我國領(lǐng)海． 7.（1）（由于方法很多，在此列出一種供參考：） 是用卷尺測量一下AB、BD、AD的長度，看看是否滿足： AD2＋AB2＝BD2．如果滿足，則DA⊥AB于A，否則 就不垂直，同理可檢測CB是否垂直于AB． （2）一定垂直，因為李叔叔測得的三邊正好是勾股數(shù)，所以△ABD一定是直角三角形． （3）方法很多，例如可以在AB上一段一段的測量AB，同樣的辦法量出BC、BD即可，從而得到結(jié)論．