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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 3.6《多邊形的內(nèi)角和與外角和》教案 湘教版 教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)目標(biāo) 多邊形的定義及內(nèi)角和公式的推導(dǎo). (二)能力訓(xùn)練目標(biāo) 1.經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系. 2.探索并了解多邊形的內(nèi)角和公式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說(shuō)理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力. (三)情感與價(jià)值觀目標(biāo) 1.通過(guò)師生共同活動(dòng)，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神. 2.使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)內(nèi)容普遍存在相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化的特點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn) 多邊形的內(nèi)角和. 教學(xué)難點(diǎn) 多邊形的內(nèi)角和的公式推導(dǎo). 教學(xué)方法 啟發(fā)、討論式. 教學(xué)過(guò)程 一、巧設(shè)情景問(wèn)題，引入課題 ［師］前面我們學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形，今天我們要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？請(qǐng)看大屏幕(出示投影片：石英鐘、六角螺母、五角星、地板磚等) ［師］剛才大家看到許多實(shí)物圖片，你知道它們各是什么圖形？ ［生］四邊形、五邊形、六邊形、八邊形. ［師］對(duì)，這些在日常生活中經(jīng)?？吹降膱D形，就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容——多邊形(polygon) 二、講授新課 ［師］什么叫多邊形呢？在七年級(jí)上冊(cè)的第一章中曾有這樣的定義： 多邊形是由一些不在同一直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形. 我們?cè)诔踔须A段主要探討的平面幾何.所以現(xiàn)在定義的多邊形應(yīng)在同一平面內(nèi)，即： 在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形. 在定義中應(yīng)注意：①若干條；②首尾順次相連，二者缺一不可. 多邊形有凸多邊形和凹多邊形之分，如圖. 把多邊形的任何一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形(如圖(2)) 圖(1)的多邊形是凹多邊形 我們探討的一般都是凸多邊形. 多邊形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)、對(duì)角線、內(nèi)角和的含義與三角形相同，即： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊. 頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn). 對(duì)角線：在多邊形中，連結(jié)不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線. 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角. 如圖 多邊形通常以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形. 多邊形的表示方法與三角形、四邊形類似.可以用表示它的頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如可順時(shí)針?lè)较虮硎?，也可逆時(shí)針?lè)较虮硎?，如圖(3)，可表示為五邊形ABCDE，也可表示為五邊形EDCBA，還可以用下標(biāo)表示為五邊形A1A2A3A4A5，n邊形可表示為n邊形A1A2A3…An(n≥3的自然數(shù)) 三角形可用三條邊來(lái)表示，四邊形可用四條邊來(lái)表示.n邊形呢？要畫多少條邊來(lái)表示呢？我們可用虛線表示省略的邊，其余的邊用實(shí)線表示.如上圖，就是n邊形A1A2A3…An. n邊形有n條邊，n個(gè)頂點(diǎn),n個(gè)內(nèi)角. 好，我們了解了多邊形的有關(guān)概念后，看一幅圖及問(wèn)題 (課本P108的圖) (1)上圖中廣場(chǎng)中心的邊緣是一個(gè)五邊形，你能設(shè)法求出它的五個(gè)內(nèi)角的和嗎？與同伴交流. (2)小明、小亮分別利用下面的圖形求出了該五邊形的五個(gè)內(nèi)角的和.你知道他們是怎么做的嗎？ (3)還有其他的方法嗎？(學(xué)生討論、畫圖、歸納) ［生甲］(1)求五邊形的內(nèi)角和可以利用量角器測(cè)每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求出這五個(gè)內(nèi)角的和，即是五邊形的內(nèi)角和為540. 也可以把五邊形分割成三角形，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180. ［生乙］小明是直接把五邊形的五個(gè)內(nèi)角分割在3個(gè)三角形中(如圖(1))，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180，所以五邊形的內(nèi)角和為3180=540. 小亮是在五邊形內(nèi)任意取一個(gè)點(diǎn)，然后把五邊形分割成五個(gè)三角形(如圖(2))，但從圖中可以知道，這時(shí)多了一個(gè)周角，即360.因此，五邊形的內(nèi)角和為:1805－360= 540. ［生丙］也可以在五邊形的任一條邊上取一個(gè)點(diǎn)，然后這個(gè)點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)，這時(shí)五邊形被分割成四個(gè)三角形(如圖(3))，但多了一個(gè)平角，即180，因此，五邊形的內(nèi)角和為：1804－180=540. ［生?。菰谖暹呅瓮馊稳∫稽c(diǎn)，將這點(diǎn)與五邊形的各頂點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，這時(shí)五邊形被分割成四個(gè)三角形，此時(shí)，從圖中可以看出多出一個(gè)三角形.因此五邊形的內(nèi)角和為1804－180=540. ［師］很不錯(cuò)，同學(xué)們回答得很好，在求五邊形的內(nèi)角和時(shí)，先把五邊形轉(zhuǎn)化成三角形.進(jìn)而求出內(nèi)角和，這種由未知轉(zhuǎn)化為已知的方法是我們數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法. 下面大家來(lái)“想一想” 1.按如下圖(5)所示的方法，六邊形能分成多少個(gè)三角形？n邊形(n是大于或等于3的自然數(shù))呢？ 2.你能確定n邊形的內(nèi)角和嗎？ ［師］同學(xué)們可以多畫幾個(gè)邊數(shù)不一樣的多邊形，來(lái)總結(jié)歸納分割多邊形的方法. ［生甲］如圖(5)，從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向和它不相鄰的頂點(diǎn)引了兩條對(duì)角線，這時(shí)五邊形分成三個(gè)三角形；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向和它不相鄰的頂點(diǎn)引了三條對(duì)角線，這時(shí)六邊形分成了四個(gè)三角形；從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向和它不相鄰的頂點(diǎn)引四條對(duì)角線，這時(shí)七邊形分成了五個(gè)三角形.…… 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向和它不相鄰的頂點(diǎn)引(n－3)條對(duì)角線，把n邊形分成了(n－2)個(gè)三角形. ［生乙］從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向自身和相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)無(wú)法引對(duì)角線，向其他頂點(diǎn)共引(n－3)條對(duì)角線，這時(shí)n邊形被分割成(n－2)個(gè)三角形，因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和是180，所以n邊形的內(nèi)角和為(n－2)180. ［師］要求n邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵是將n邊形分割轉(zhuǎn)化為有公共頂點(diǎn)的三角形；由三角形的內(nèi)角和得到n邊形的內(nèi)角和.即：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)180. 大家想一想，n邊形的內(nèi)角和公式中，字母n取值有沒(méi)有范圍？ ［生］有，必須是大于3的自然數(shù). ［師］對(duì)，同學(xué)們口答一下：12邊形的內(nèi)角和是多少呢？ ［生齊聲］1800 ［師］很好，要求n邊形的內(nèi)角和，只需把n代入內(nèi)角和公式：(n－2)180，即可算出. 下面大家看大屏幕“想一想”(出示投影片如下) 觀察下圖中的多邊形，它們的邊、角有什么特點(diǎn)？ ［生］這五個(gè)多邊形，每個(gè)多邊形的邊都相等，內(nèi)角也都相等. ［師］很好，在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形，如上圖中的多邊形分別為：正三角形、正四邊形即正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形. 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形. 下面大家想一想，議一議 1.一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角一定都相等嗎？ 2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，它的邊一定都相等嗎？ 3.正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內(nèi)角分別是多少度？ ［生甲］一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角也一定都相等，如正三角形、正方形. ［生乙］錯(cuò)的.如菱形的四條邊相等，但它的內(nèi)角不一定都相等，所以應(yīng)該說(shuō)：一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角不一定都相等. ［生丙］一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，它的邊不一定都相等，如：矩形的內(nèi)角都是直角，但它的邊未必都相等. ［師］同學(xué)們從不同角度進(jìn)行分析，得到了準(zhǔn)確的答案，非常好，接下來(lái)看第(3)小題. ［生?。菀?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角都相等，且它的內(nèi)角和為(n－2)180,所以，正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180. 因此，正三角形的內(nèi)角是： 正方形的內(nèi)角是：180=90 正五邊形的內(nèi)角是：180=108 正六邊形的內(nèi)角是：180=120 正八邊形的內(nèi)角是：180=135. ［師］很好，接下來(lái)我們做練習(xí)來(lái)鞏固多邊形的內(nèi)角和公式. 三、課堂練習(xí) (一)課本隨堂練習(xí) 1.如下圖. (1)作多邊形所有過(guò)頂點(diǎn)A的對(duì)角線，并分別用字母表示出來(lái). (2)求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和. 解：(1)如下圖：過(guò)頂點(diǎn)A的對(duì)角線是AC、AD、AE. (2)從(1)圖中可知：這個(gè)六邊形被過(guò)頂點(diǎn)A的對(duì)角線分割成四個(gè)三角形，所以，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1804=720. 也可以利用多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行計(jì)算即：(6－2)180=720 四、課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們研究了多邊形的定義及其內(nèi)角和公式，重點(diǎn)探討了多邊形的內(nèi)角和公式. 即：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180,它揭示了多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系. 五、課后作業(yè) (一)課本習(xí)題3.6 1、2、3