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相交線與平行線 一、選擇題 1.如圖，直線 ∥ ，直線 與 、 都相交，如果∠1=50，那么∠2的度數(shù)是（ ） A.50B.100C.130D.150 【答案】C 【解析】 ：∵a∥b，∠1=50， ∴∠1=∠3=50， ∵∠2+∠3=180， ∴∠2=180-∠1=180-50=130. 故答案為：C. 【分析】其中將∠2的鄰補(bǔ)角記作∠3，利用平行線的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義即可求得∠2的度數(shù). 2.如圖，AB∥CD，且∠DEC=100，∠C=40，則∠B的大小是（ ） A.30B.40C.50D.60 【答案】B 【解析】 ：∵∠DEC=100，∠C=40， ∴∠D=40， 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠D=40， 故答案為：B． 【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠D的度數(shù)，再根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出答案。 3.如圖，若l1∥l2 ， l3∥l4 ， 則圖中與∠1互補(bǔ)的角有（ ） A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 【答案】D 【解析】 如圖， ∵l1∥l2 ， l3∥l4 ， ∵∠2=∠4，∠1+∠2=180， 又∵∠2=∠3，∠4=∠5， ∴與∠1互補(bǔ)的角有∠2、∠3、∠4、∠5共4個(gè)， 故答案為：D. 【分析】根據(jù)二直線平行同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠2=∠4，∠1+∠2=180，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠2=∠3，∠4=∠5，從而得出答案。 4.如圖，直線 ，若 ， ，則 的度數(shù)為（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 ：∵∠1=42，∠BAC=78， ∴∠ABC=60， 又∵AD∥BC， ∴∠2=∠ABC=60， 故答案為：C． 【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出答案。 5.如圖，已知直線a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點(diǎn)A,B,C，直線n分別交直線a、b、c于點(diǎn)D,E,F,若 , ,則 的值應(yīng)該（ ） A.等于 B.大于 C.小于 D.不能確定 【答案】B 【解析】 ：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN∥DF，交BE于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)N ∵a∥b∥c ∴AD=ME=NF=4（平行線中的平行線段相等） ∵AC=AB+BC=2+4=6 ∴ 設(shè)MB=x，CN=3x ∴BE=x+4，CF=3x+4 ∵ ∵x＞0 ∴ 故答案為：B 【分析】過(guò)點(diǎn)A作AN∥DF，交BE于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)N，根據(jù)已知及平行線中的平行線段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根據(jù)平行線分線段成比例得出BM和CN的關(guān)系，設(shè)MB=x，CN=3x，分別表示出BE、CF，再求出它們的比，利用求差法比較大小，即可求解。 6.把一副三角板放在同一水平桌面上,擺放成如圖所示的形狀,使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合,兩條斜邊平行,則 的度數(shù)是( ) A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 作直線l平行于直角三角板的斜邊， 可得：∠2=∠3=45，∠3=∠4=30， 故∠1的度數(shù)是：45+30=75． 故答案為：C． 【分析】作直線l平行于直角三角板的斜邊，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出∠1的度數(shù)。 7.如圖1，直線AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，則∠E等于（ ） A.30B.40C.60D.70 【答案】A 【解析】 ：如圖 ∵AB∥CD ∴∠A=∠1=70 ∵∠1=∠C+∠E ∴∠E=70-40=30 故答案為：A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠E，然后代入計(jì)算即可求解。 8.如圖，直線 被 所截，且 ，則下列結(jié)論中正確的是( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 ：∵a∥b，∴∠3=∠4. 故答案為：B. 【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，由此即可得出答案. 9.如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，若∠A＝35,∠C＝24,則∠D的度數(shù)是（ ）。 A.24B.59C.60D.69 【答案】B 【解析】 ：∵∠A=35，∠C=24，∴∠DBC=∠A+∠C=35+24=59， 又∵DE∥BC， ∴∠D=∠DBC=59. 故答案為：B. 【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DBC=∠A+∠C，再由平行線性質(zhì)得∠D=∠DBC. 10.如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝70，∠CDE＝140，則∠BCD的值為（ ） A.20B.30C.40D.70 【答案】B 【解析】 ：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE ∵AB∥DE ∴CF∥DE∥AB ∴∠B=∠BCF=70，∠D+∠DCF=180 ∵∠D=140 ∴∠DCF=180-140=40 ∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70-40=30 故答案為：B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE，根據(jù)已知可證得CF∥DE∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出∠BCF和∠DCF的度數(shù)，即可求解。 11.如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（ ） A.∠4，∠2 B.∠2，∠6 C.∠5，∠4 D.∠2，∠4 【答案】B 【解析】 ：∵直線AD，BE被直線BF和AC所截， ∴∠1與∠2是同位角，∠5與∠6是內(nèi)錯(cuò)角， 故答案為：B. 【分析】同位角：兩條直線a，b被第三條直線c所截（或說(shuō)a，b相交c），在截線c的同旁，被截兩直線a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱為同位角。 內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。根據(jù)此定義即可得出答案. 12.如圖，有一塊含有30角的直角三角形板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上。如果∠2=44，那么∠1的度數(shù)是（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 【答案】C 【解析】 ：如圖： 依題可得：∠2=44，∠ABC=60，BE∥CD， ∴∠1=∠CBE， 又∵∠ABC=60， ∴∠CBE=∠ABC -∠2=60-44=16， 即∠1=16. 故答案為：C. 【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠1=∠CBE，再結(jié)合已知條件∠CBE=∠ABC -∠2，帶入數(shù)值即可得∠1的度數(shù). 二、填空題 13.如圖，直線a∥b，若∠1=140，則∠2=________度． 【答案】40 【解析】 ：∵a∥b， ∴∠1+∠2=180， ∵∠1=140， ∴∠2=180﹣∠1=40， 故答案為：40． 【分析】根據(jù)二直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案。 14.如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b分別交于A，B，若∠1=45，則∠2=________。 【答案】135 【解析】 ：∵a∥b∴∠1=∠3=45 ∵∠2+∠3=180 ∴∠2=180-45=135 故答案為：135 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，得出∠2+∠3=180，從而可求出結(jié)果。 15.如圖，五邊形 是正五邊形，若 ，則 ________． 【答案】72 【解析】 ：延長(zhǎng)AB交 于點(diǎn)F， ∵ ， ∴∠2=∠3， ∵五邊形 是正五邊形， ∴∠ABC=108, ∴∠FBC=72, ∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72 故答案為：72. 【分析】延長(zhǎng)AB交 l 2 于點(diǎn)F，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠2=∠3，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠ABC=108,根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義得出∠FBC=72,從而根據(jù)∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72。 16.將一個(gè)含有 角的直角三角板擺放在矩形上，如圖所示，若 ，則 ________． 【答案】85 【解析】 如圖，作直線c//a， 則a//b//c， ∴∠3=∠1=40， ∴∠5=∠4=90-∠3=90-40=50， ∴∠2=180-∠5-45=85 故答案為：85 【分析】過(guò)三角形的頂點(diǎn)作直線c//a，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可打開(kāi)思路。 17.如圖，MN分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，AB∥CD，∠AEM＝80，則∠DFN為_(kāi)_______． 【答案】80 【解析】 ：∵∠AEM＝80， ∴∠AEM=∠BEN=80 ∵AB∥CD ∴∠BEN=∠DFN=80 故答案為：80 【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠BEN的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠BEN=∠DFN，就可得出答案。 18.如圖，點(diǎn) 在 的平分線 上，點(diǎn) 在 上， ， ，則 的度數(shù)為_(kāi)_______ ． 【答案】50 【解析】 ：∵DE∥OB ∴∠EDO=∠1=25 ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠1=25 ∴∠AED=∠AOC+∠EDO=25+25=50 故答案為：50【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EDO的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，求出∠AOC的度數(shù)。再利用三角形外角的性質(zhì)，可求出∠AED的度數(shù)。 19.如圖所示,AB∥EF,∠B=35,∠E=25,則∠C+∠D的值為_(kāi)_______ 【答案】240 【解析】 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DN∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠BCM=∠B=35，∠EDN=∠E=25，∠MCD+∠NDC=180， ∴∠BCD+∠CDE=35+180+25=240. 【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DN∥AB，根據(jù)平行線的傳遞性可得過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠BCM=∠B=35，∠EDN=∠E=25，∠MCD+∠NDC=180，所以∠BCD+∠CDE=35+180+25=240. 20.如圖,若按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片相鄰的兩個(gè)角,并使∠1=120,則∠2的度數(shù)為_(kāi)_______ 【答案】150 【解析】 ：過(guò)點(diǎn)B作BD∥CE ∴∠2+∠4=180 ∵AF∥CE ∴AF∥BD ∴∠1+∠3=180 ∴∠3=180-120=60 ∵∠3+∠4=90 ∴∠4=90-60=30 ∴∠2=180-∠4=180-30=150 故答案為：150【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD∥CE，可證得∠2+∠4=180，再證明AF∥BD，得出∠1+∠3=180，再根據(jù)已知求出∠3，∠4的度數(shù)，然后利用∠2=180-∠4，求出結(jié)果。 三、解答題 21.如圖,已知AD平分∠CAE,CF∥AD,∠2=80,求∠1的度數(shù). 【答案】解:∵CF∥AD, ∴∠CAD=∠2=80,∠1=∠DAE, ∵AD平分∠CAE, ∴∠DAE=∠CAD=80, ∴∠1=∠DAE=80 【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CAD=∠2=80,∠1=∠DAE，再根據(jù)角平分線的定義，求出∠DAE的度數(shù)，即可求出∠1的度數(shù)。 22.如圖,已知AB∥CD,∠1=50,∠2=110,求∠3的度數(shù). 【答案】解:如圖,過(guò)點(diǎn)E向左作EF∥AB, 則∠BEF=∠1=50. ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠FED+∠2=180. ∵∠2=110, ∴∠FED=180-∠2=70. ∴∠BED=∠BEF+∠FED=50+70=120. ∴∠3=180-∠BED=180-120=60. 【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E向左作EF∥AB，結(jié)合已知可得出EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得∠BEF=∠1=50，∠FED+∠2=180，可求出∠FED、∠BED的度數(shù)，然后利用平角的定義可求解。 23.一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90，∠E=45，∠A=60，AC=10，試求CD的長(zhǎng)． 【答案】解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M， 在△ACB中，∠ACB=90，∠A=60，AC=10， ∴∠ABC=30，BC=ACtan60=10 ， ∵AB∥CF， ∴BM=BCsin30=10 =5 ， CM=BCcos30=15， 在△EFD中，∠F=90，∠E=45， ∴∠EDF=45， ∴MD=BM=5 ， ∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ． 【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，根據(jù)三角形的內(nèi)角和正切函數(shù)的定義得出∠ABC的度數(shù)，BC的長(zhǎng)度，根據(jù)兩平行線的性質(zhì)由銳角三角函數(shù)得出BMBCsin30，CM=BCcos30，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出MD=BM，進(jìn)而根據(jù)線段的和差得出結(jié)論。 24.如圖1為北斗七星的位置圖，如圖2將北斗七星分別標(biāo)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，將A，B，C，D，E，F(xiàn)順次首尾連結(jié)，若AF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，且AF∥DE，∠B=∠C+10，∠D=∠E=105。 （1）求∠F的度數(shù)． （2）計(jì)算∠B-∠CGF的度數(shù)是________．（直接寫(xiě)出結(jié)果） （3）連結(jié)AD，∠ADE與∠CGF滿足怎樣數(shù)量關(guān)系時(shí)，BC∥AD，并說(shuō)明理由。 【答案】（1）∵AF∥DE ∴∠F+∠E=180 ∠F=180-105=75 （2）115 （3）∠ADE+∠CGF=180時(shí)，BC∥AD ∵AF∥DE ∴∠1+∠ADE=180 ∠ADE+∠CGF=180 ∴∠1=∠CGF ∴BC∥AD 【解析】 （2）延長(zhǎng)DC交AF于點(diǎn)K ∠B-∠CGF=∠C+10-∠CGF=∠GKC+10=∠D+10=115 【分析】（1）根據(jù)二直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出∠F+∠E=180即可得出∠F的度數(shù)； （2）延長(zhǎng)DC交AF于點(diǎn)K，根據(jù)等量代換得出∠B-∠CGF=∠C+10-∠CGF，根據(jù)三角形的外角定理得出∠C+10-∠CGF=∠GKC+10，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠GKC+10=∠D+10，從而得出答案； （3）∠ADE+∠CGF=180時(shí)，BC∥AD，理由如下：根據(jù)二直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由AF∥DE得出∠1+∠ADE=180，又∠ADE+∠CGF=180，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得出∠1=∠CGF，根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出BC∥AD。