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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系 （共 2 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.明確事物間的相互聯(lián)系.認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外,仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系,并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系. 3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程．知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程． 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系；根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程． 教學(xué)難點(diǎn)：變量之間相關(guān)關(guān)系的理解；作散點(diǎn)圖和理解兩個(gè)變量的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；理解最小二乘法的思想. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 在學(xué)校里,老師對(duì)學(xué)生經(jīng)常這樣說(shuō)：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著一種相關(guān)關(guān)系.這種說(shuō)法有沒(méi)有根據(jù)呢? 請(qǐng)同學(xué)們?nèi)鐚?shí)填寫(xiě)下表（在空格中打“√” ）: 好 中 差 你的數(shù)學(xué)成績(jī) 你的物理成績(jī) 學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)存在某種關(guān)系.（似乎就是數(shù)學(xué)好的,物理也好；數(shù)學(xué)差的,物理也差,但又不全對(duì).）物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)是兩個(gè)變量,從經(jīng)驗(yàn)看,由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)成績(jī)的高低對(duì)物理成績(jī)的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,還有其他因素,如是否喜歡物理,用在物理學(xué)習(xí)上的時(shí)間等等.（總結(jié)：不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽?jī)能達(dá)到多少.但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.如何通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)的結(jié)果對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.）為很好地說(shuō)明上述問(wèn)題,我們開(kāi)始學(xué)習(xí)變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個(gè)變量的線性相關(guān).(教師板書(shū)課題) 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎？“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高,學(xué)生的水平也越高.教師的水平與學(xué)生的水平有什么關(guān)系？你能舉出更多的描述生活中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)嗎？ （2）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是什么？有幾種？ （3）兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷. 討論結(jié)果： （1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系,一般是在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi),施肥越多,糧食產(chǎn)量越高；教師的水平與學(xué)生的水平是相關(guān)的,如水滴石穿,三人行必有我?guī)煹? 我們還可以舉出現(xiàn)實(shí)生活中存在的許多相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題.例如: 商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)有著密切的聯(lián)系,但商品銷(xiāo)售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān). 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響. 人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系.在一定年齡段內(nèi),隨著年齡的增長(zhǎng),人體內(nèi)的脂肪含量會(huì)增加,但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān),可能還與個(gè)人的先天體質(zhì)有關(guān). 應(yīng)當(dāng)說(shuō),對(duì)于上述各種問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,我們都可以根據(jù)自己的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作出相應(yīng)的判斷,因?yàn)椤敖?jīng)驗(yàn)當(dāng)中有規(guī)律”.但是,不管你的經(jīng)驗(yàn)多么豐富,如果只憑經(jīng)驗(yàn)辦事,還是很容易出錯(cuò)的.因此,在分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們需要一些有說(shuō)服力的方法. 在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過(guò)程中,統(tǒng)計(jì)同樣發(fā)揮著非常重要的作用.因?yàn)樯厦嫣岬降倪@種關(guān)系,并不像勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與路程的關(guān)系那樣是完全確定的,而是帶有不確定性.這就需要通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù)(有時(shí)通過(guò)調(diào)查,有時(shí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)),在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出判斷. (2)相關(guān)關(guān)系的概念：自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系.兩個(gè)變量之間的關(guān)系分兩類(lèi)： ①確定性的函數(shù)關(guān)系,例如我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)等； ②帶有隨機(jī)性的變量間的相關(guān)關(guān)系,例如“身高者,體重也重”,我們就說(shuō)身高與體重這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 如商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.（還與商品質(zhì)量、居民收入、生活環(huán)境等有關(guān)） (3)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷：①散點(diǎn)圖.②根據(jù)散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的離散程度,可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.③正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念. ①教學(xué)散點(diǎn)圖 出示例題：在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 38 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析數(shù)據(jù)：大體上來(lái)看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加.我們可以作散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)一步分析. ②散點(diǎn)圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)出來(lái),得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖，如下圖. 從散點(diǎn)圖我們可以看出，年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高.圖中點(diǎn)的趨勢(shì)表明兩個(gè)變量之間確實(shí)存在一定的關(guān)系,這個(gè)圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論. （a.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系） ③正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).（注：散點(diǎn)圖的點(diǎn)如果幾乎沒(méi)有什么規(guī)則,則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系） 應(yīng)用示例 例1 下列關(guān)系中,帶有隨機(jī)性相關(guān)關(guān)系的是_____________. ①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系 ②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 ③人的身高與年齡之間的關(guān)系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 解析：兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系.①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性,因而是相關(guān)關(guān)系.③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系,因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系,因此填②④. 答案：②④ 例2 有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).吸煙是否一定會(huì)引起健康問(wèn)題?你認(rèn)為“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說(shuō)法對(duì)嗎? 分析：學(xué)生思考,然后討論交流,教師及時(shí)評(píng)價(jià). 解：從已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)看,吸煙會(huì)損害身體的健康,但是除了吸煙之外,還有許多其他的隨機(jī)因素影響身體健康,人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果.我們可以找到長(zhǎng)壽的吸煙者,也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者,所以吸煙不一定引起健康問(wèn)題.但吸煙引起健康問(wèn)題的可能性大.因此“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說(shuō)法是不對(duì)的. 點(diǎn)評(píng)：在探究研究的過(guò)程中,如果能夠從兩個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的,由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊(yùn)涵因果關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么.本題的意義在于引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的解釋,從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步研究的問(wèn)題. 知能訓(xùn)練 一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),收集數(shù)據(jù)如下： 零件數(shù)x（個(gè)） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 畫(huà)出散點(diǎn)圖； 關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間,你能得出什么結(jié)論？ 答案：（1）散點(diǎn)圖如下： （2）加工零件的個(gè)數(shù)與所花費(fèi)的時(shí)間呈正線性相關(guān)關(guān)系． 拓展提升 以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積（m2） 115 110 80 135 105 銷(xiāo)售價(jià)格（萬(wàn)元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖； （2）指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); （3）關(guān)于銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的面積x,你能得出什么結(jié)論？ 解：（1）數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示： （2）散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),所以是正相關(guān). （3）關(guān)于銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的面積x,房屋的面積越大,價(jià)格越高,它們呈正線性相關(guān)的關(guān)系. 課堂小結(jié) 通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4(1). 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 某小賣(mài)部為了了解熱茶銷(xiāo)售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣(mài)出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表： 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 如果某天的氣溫是-5 ℃,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣(mài)部賣(mài)出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個(gè)問(wèn)題我們接著學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 （1）作散點(diǎn)圖的步驟和方法？ （2）正、負(fù)相關(guān)的概念？ （3）什么是線性相關(guān)？ （4）看人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,當(dāng)人的年齡增加時(shí),體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？ （5）什么叫做回歸直線？ （6）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？ （7）利用計(jì)算機(jī)如何求回歸直線的方程？ （8）利用計(jì)算器如何求回歸直線的方程？ 活動(dòng)：學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時(shí)提示指導(dǎo). 討論結(jié)果：（1）建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)出來(lái),得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖.（a.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．b.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系） （2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān). （3）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系. （4）大體上來(lái)看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢(shì),我們可以從散點(diǎn)圖上來(lái)進(jìn)一步分析. （5）如下圖： 從散點(diǎn)圖上可以看出,這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近.如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡(jiǎn)稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個(gè)變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表. （6）從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個(gè)回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會(huì)想,我可以采用測(cè)量的方法,先畫(huà)出一條直線,測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離,然后移動(dòng)直線,到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置,測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會(huì)想,在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫(huà)直線,使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會(huì)想,在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn),確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下,看看這些方法是不是真的可行? （學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn).2.在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點(diǎn)對(duì),確定幾條直線方程.再分別算出各個(gè)直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.）教師：分別分析各方法的可靠性.如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強(qiáng). 實(shí)際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看,各點(diǎn)與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐與研究,已經(jīng)得出了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式 其中，b是回歸方程的斜率，a是截距. 推導(dǎo)公式①的計(jì)算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理. 假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)， 且所求回歸方程是=bx+a, 其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,…,n)時(shí)可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n), 它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 這樣，用這n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫(huà)“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來(lái)代替，但由于它含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 ② 來(lái)刻畫(huà)n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差. 這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小，即總體偏差最小.經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算，a,b的值由公式①給出. 通過(guò)求②式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）. （7）利用計(jì)算機(jī)求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式①，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點(diǎn)圖來(lái)建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下： ①在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖（如下圖）,在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢(shì)線”選項(xiàng),彈出“添加趨勢(shì)線”對(duì)話框. ②單擊“類(lèi)型”標(biāo)簽,選定“趨勢(shì)預(yù)測(cè)/回歸分析類(lèi)型”中的“線性”選項(xiàng),單擊“確定”按鈕,得到回歸直線. ③雙擊回歸直線,彈出“趨勢(shì)線格式”對(duì)話框.單擊“選項(xiàng)”標(biāo)簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448. （8）利用計(jì)算器求回歸直線的方程. 用計(jì)算器求這個(gè)回歸方程的過(guò)程如下： 所以回歸方程為=0.577x-0.448. 正像本節(jié)開(kāi)頭所說(shuō)的，我們從人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量的一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)中，找到了它們之間關(guān)系的一個(gè)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律是由回歸直線來(lái)反映的. 直線回歸方程的應(yīng)用: ①描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系. ②利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì),即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間. ③利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化,通過(guò)控制x的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo).如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車(chē)流量間的回歸方程,即可通過(guò)控制汽車(chē)流量來(lái)控制空氣中NO2的濃度. 應(yīng)用示例 例1 有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表： 攝氏溫度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； （3）求回歸方程； （4）如果某天的氣溫是2 ℃，預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù). 解：（1）散點(diǎn)圖如下圖所示： （2）從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少. （3）從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式①求出回歸方程的系數(shù). 利用計(jì)算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767. (4)當(dāng)x=2時(shí)，=143.063.因此，某天的氣溫為2 ℃時(shí)，這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 ℃時(shí)，小賣(mài)部一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 這里的答案是小賣(mài)部不一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲，原因如下： 1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差. 2.即使截距和斜率的估計(jì)沒(méi)有誤差，也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近.我們不能保證點(diǎn)（x,y）落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近，事實(shí)上，y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機(jī)變量，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值y的接近程度由隨機(jī)變量e的標(biāo)準(zhǔn)差所決定. 一些學(xué)生可能會(huì)提出問(wèn)題：既然不一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲，那么為什么我們還以“這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲”作為結(jié)論呢？這是因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說(shuō)，假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個(gè)非負(fù)整數(shù)作為可能的預(yù)測(cè)結(jié)果，則我們選擇142，143和144能夠保證預(yù)測(cè)成功（即實(shí)際賣(mài)出的杯數(shù)是這3個(gè)數(shù)之一）的概率最大. 例2 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料. 機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)x／千臺(tái) 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y／千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說(shuō)明理由； (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程. 解：（1）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如下圖. 直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和： =1 031，=71.6, =137 835，=9 611.7. 將它們代入公式計(jì)算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1. 知能訓(xùn)練 1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（ ） A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長(zhǎng)和面積 C.正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 答案：Ｄ 2．三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ） A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75x C.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x 答案：Ｄ 3．已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）,有如下統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 設(shè)y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： （1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b； （2）估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？ 答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38. 4．我們考慮兩個(gè)表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項(xiàng),模型如下： 模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e． （1）如果x=3,e=1,分別求兩個(gè)模型中y的值； （2）分別說(shuō)明以上兩個(gè)模型是確定性模型還是隨機(jī)模型． 解：（1）模型1：y=6+4x=6+43=18； 模型2：y=6+4x+e=6+43+1=19. （2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ為誤差項(xiàng)是隨機(jī)的,所以模型2是隨機(jī)性模型． 5．以下是收集到的新房屋銷(xiāo)售價(jià)格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)： 房屋大小x（m2） 80 105 110 115 135 銷(xiāo)售價(jià)格y（萬(wàn)元） 18.4 22 21.6 24.8 29.2 （1）畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）用最小二乘法估計(jì)求線性回歸方程. 解：（1）散點(diǎn)圖如下圖. （2）n=5,=545,=109,=116,=23.2, =60 952,=12 952, b=≈0.199,a=23.2-0.199109≈1.509, 所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509． 拓展提升 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來(lái)科研費(fèi)用支出（Xi）與公司所獲得利潤(rùn)（Yi）的統(tǒng)計(jì)資料如下表： 科研費(fèi)用支出（Xi）與利潤(rùn)（Yi）統(tǒng)計(jì)表 單位：萬(wàn)元 年份 科研費(fèi)用支出 利潤(rùn) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 合計(jì) 30 180 要求估計(jì)利潤(rùn)（Yi）對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi）的線性回歸模型. 解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：, 因?yàn)椋?5,=30, 根據(jù)資料列表計(jì)算如下表： 年份 Xi Yi XiYi Xi2 Xi- Yi- (Xi-)2 (Xi-)(Yi-) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 155 440 120 170 75 40 25 121 16 25 9 4 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4 -5 -10 0 36 1 0 4 9 0 60 0 0 10 30 合計(jì) 30 180 1 000 200 0 0 50 100 現(xiàn)求解參數(shù)β0、β1的估計(jì)值： 方法一：=2, =30-25=20. 方法二：=2， =30-25=20. 方法三：=2， =30-25=20. 所以利潤(rùn)（Yi）對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi）的線性回歸模型直線方程為： =20+2Xi. 課堂小結(jié) 1．求線性回歸方程的步驟： （1）計(jì)算平均數(shù)； (2)計(jì)算xi與yi的積，求∑xiyi; (3)計(jì)算∑xi2,∑yi2， (4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式 求b,a,寫(xiě)出回歸直線方程． 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4,B組1、2. 板書(shū)設(shè)計(jì) 教學(xué)反思 本節(jié)課學(xué)習(xí)了變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個(gè)變量的線性相關(guān)的部分內(nèi)容,通過(guò)身邊的具體實(shí)例說(shuō)明了兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系,并學(xué)會(huì)了利用散點(diǎn)圖及其分布來(lái)說(shuō)明兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的種類(lèi), 在此基礎(chǔ)上,利用實(shí)例分析了散點(diǎn)圖的分布規(guī)律,推導(dǎo)出了線性回歸直線的方程的求法,并利用回歸直線的方程估計(jì)可能的結(jié)果,本節(jié)課講得較為詳細(xì),實(shí)例較多,便于同學(xué)們分析比較.另外,本節(jié)課通過(guò)選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例,對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想情操教育、意志教育和增強(qiáng)學(xué)生的自信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法,樹(shù)立時(shí)間觀,培養(yǎng)勤奮、刻苦耐勞的精神.