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輕松證全等 一、全等變換 全等變換是進行全等三角形綜合應用時要重點掌握的內容。 全等變換是指將一個圖形通過平移、旋轉、翻折等方法改變圖形位置，但形狀、大小均不改變。 平移：將圖形平行移動到另一位置。 相關定理：平行線間的平行線段相等，平行線間的距離相等。 旋轉：圖形繞某一點向某一方向旋轉一定的角度。通常為60度或90度或180度。 翻折：將圖形沿某一條線折疊。 二、全等三角形常用的輔助線 1. 有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。倍長中線法通常是全等變換中的旋轉思想的應用。 常用以下形式作輔助線 延長AD到E，使DE=AD，連接BE 間接倍長作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E，連接DE 2. 分析證明一條線段等于兩條線段和（差）的基本方法有兩種： （1）補短法：通過添加輔助線“構造”一條線段，使其為求證中的兩條線段之和，再證明所構造的線段與求證中那一條線段相等。如圖：延長AB，使BE=BD，連接DE，則AC=AB+BD。 （2）截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段相等。如圖：在AC上截取AE=AB，連接DE，則AC=AE+EC=AB+BD。 方法歸納： 1. 注意圖形是如何變換后全等的，特別注意旋轉與翻折的區(qū)別。 2. 應用輔助線解決問題時，注意重新繪制圖形，不要在習題上直接作線，這樣不方便后面改動。 3. 認真讀題目、分析已知是關鍵，注意題干中的條件變化，如中點是否始終在圖形的變化中存在，直接影響到證明時是否使用中點這一條件。 技巧歸納： （1）條件充足時直接應用 在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，證明兩個三角形全等的條件比較充分。只要同學們認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等。 （2）條件不足，會增加條件用判別方法 此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件。解這類問題的基本思路是：逆向思維，逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案。 （3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法 在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等。 （4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法 （5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法 在近年中考中出現(xiàn)的與全等三角形有關的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念，應當引起同學們的重視。 總結：1. 充分理解全等變換的內容，理解圖形變化前后的關系為全等。 2. 使用輔助線證明是解題的關鍵，需要通過不斷的訓練提高分析能力，掌握不同圖形添加不同的輔助線作法。 例題1 如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點，兩條直角邊分別與交于點，與延長線交于點。則四邊形的面積是 。 解析：根據(jù)全等三角形的判定可知△ADF與△ABE全等，所以四邊形的面積等于原正方形的面積。 答案：解：∵∠FAE=90，∠DAB=90，∴∠DAF=∠BAE ∵， ∴△ADF≌△ABE（ASA） ∴四邊形的面積＝正方形ABCD的面積， ∵正方形邊長為4 ∴四邊形的面積＝16 點撥：本題主要考查全等三角形的判定以及圖形轉化的應用。 例題2 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)。 解析：延長EB到G，使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，進而求證△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90即可解題。 答案：解：延長EB到G，使得BG=DF， 在△ABG和△ADF中， 由 可得△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF， 又∵EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE， 在△AEG和△AEF中， ∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90，∴∠EAG+∠EAF=90， ∴∠EAF=45。 故答案為：∠EAF=45。 點撥：本題是截長補短類證明的典型例題，考查了全等三角形的判定及全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證∠EAG=∠EAF是解題的關鍵。 倍長中線證明全等 中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法。下面舉例說明。 拓展 如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線。已知AC=5，AD=4，則AB的取值范圍是_________。 解析：延長AD到E，使DE=AD，連接CE，利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊解答。 答案：解：延長AD到E，使DE=AD，連接CE，則AE=2AD=24=8，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD， ∵在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 又∵AC=5，AE=8 ∴5+8=13，8－5=3， ∴3＜CE＜13， 即AB的取值范圍是：3＜AB＜13。 故答案為：3＜AB＜13。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線。則AB+AC（ ）2AD。 A. < B. > C. = D. 無法比較 2. 如圖，將兩根鋼條、的中點O連在一起，使、可以繞著點O自由轉動，就做成了一個測量工件，則的長等于內槽寬AB，那么判定△AOB△的理由是（ ） A. 邊角邊 B. 角邊角 C. 邊邊邊 D. 角角邊 *3. 已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE。以下四個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45；其中結論正確的個數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 **4. 如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關系是（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 相等或互余 D. 相等或互補 **5. 在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中線 ④∠EAM=∠ABC，其中正確結論的個數(shù)是（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 二、填空題： *6. 如圖所示，直線a經過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE=8，BF=5，則EF的長為 *7. 如圖，∠ACB=90，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四個結論：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD－BE=DE。 正確的是 （將你認為正確的答案序號都寫上）。 **8. 如圖，在△ABC和△ADE中，有以下四個論斷：①AB=AD，②AC=AE，③∠C=∠E，④BC=DE，請以其中三個論斷為條件，余下一個論斷為結論，寫出一個真命題（用序號“JJJ?J”的形式寫出）： **9. 已知：如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，BE=AC，延長BE交于AC于F，則圖中與AF相等的線段是 三、解答題： *10. AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求證：CD=AD+BC。 **11. 如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論。 **12. 如圖，把一個直角三角形ACB（∠ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉60，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置。F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H。 （1）求證：CF=DG； （2）求∠FHG的度數(shù)。 **13. 已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120，∠MBN=60，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F， （1）當∠MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關系？請將三條線段分別填入后面橫線中： + = （不需證明） （2）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上問的結論分別是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，那么這三條線段又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明。  1. B 解析：如圖延長AD至E，使AD=DE，連接BE。在△ACD和△EBD中：DC＝DB，∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB（全等三角形的對應邊相等），在△ABE中，由三角形的三邊關系可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC，∴AB+AC>2 AD。 2. A 解析：∵OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），所以理由是SAS。 3. D 解析：①∵∠BAC=∠DAE=90，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本選項正確；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45，∴∠ACE+∠DBC=45，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB= 90，則BD⊥CE，本選項正確；③∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45，∴∠ABD+∠DBC=45，∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45，本選項正確；綜上，正確的個數(shù)為3個。故選D 4. D 解析：解：當兩個三角形都是銳角三角形時，如圖1，AM，DN分別是△ABC和△DEF的高，且BC=EF，AM=DN， 圖1 AC=DF，∠AMC＝∠DNF＝90，在Rt△AMC和Rt△DNF中，AC＝DF，AM＝DN， ∴△AMC≌△DNF（HL），∴∠MCA=∠NFD， 即這兩個三角形的第三條邊所對的角也相等；當兩個三角形都是鈍角三角形時，同樣有兩個三角形的第三條邊所對的角也相等；當兩個三角形都是直角三角形時，同樣有兩個三角形的第三條邊所對的角相等且互補；當兩個三角形一個是鈍角三角形，另一個是銳角三角形時，如圖2，AM，DN分別是△ABC和△DEF的高，且BC=EF，AM=DN，AC=DF，易證得Rt△AMC≌Rt△DNF，∴∠ACM=∠DFN，而∠ACB+∠ACM=180，∴∠ACB+∠DFE =180，即這兩個三角形的第三條邊所對的角互補。所以如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角相等或互補。故選D。 圖2 5. A 解析：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，AB＝AE ∠CAE＝∠BAG AC＝AG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE，故①正確；設BG、CE相交于點N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF =90+90=180，∴∠CNG=360－（∠NCF+∠NGF+∠F）=360－（180+90）=90，∴BG⊥CE，故②正確；過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q， ∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90，∵∠BAE=90，∴∠EAP+∠BAH=180－90=90，∴∠ABH=∠EAP，∴∠EAM=∠ABC，故④正確，∵在△ABH和△EAP中，∠AHB＝∠P＝90，∠ABH＝∠EAP，AB＝AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P＝∠MQG＝90，∠EMP＝∠GMQ，EP＝GQ，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確。綜上所述，①②③④結論都正確。故選A。 6. 13 解析：∵四邊形ABCD是正方形（已知），∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90，∴∠FBA=∠EAD（等量代換）；∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，∴在Rt△AFB和Rt△DEA中，∵∠AFB＝∠DEA＝90，∠FBA＝∠EAD，AB＝DA，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的對應邊相等），∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。故答案為：13。 7. ①、②、④解析：∵∠BEC=∠ADC=90，∠BCE=∠CAD，∴①∠ABE=∠BAD 正確；∵∠BCE+∠ECA=90，∠ECA+∠CAD=90，∴∠BCE=∠CAD，又∠E=∠ACB=90，AC=BC，∴②△CEB≌△ADC 正確；∴CE=AD，BE=CD，∴④AD－BE=DE 正確；而③不能證明，故答案為①、②、④。故填①、②、④。 8. ①②④?③或②③④?① 解析：根據(jù)SSS，可知由①②④，可得出△ABC≌△ADE，由全等三角形的對應角相等可得出③，故真命題是①②④?③；根據(jù)SAS，可知由②③④，可得出△ABC≌△ADE，由全等三角形的對應邊相等可得出①，故真命題是②③④?①。故填①②④?③或②③④?①。 9. EF 解析：如圖，延長AD至M，使DM=AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ACD和△MBD中，AD＝DM，∠ADC＝∠MDB，CD＝BD，∴△ACD≌△MBD（SAS），∴∠M=∠CAD，AC=BM，∵BE=AC，∴BM=BE，∴∠M=∠BEM，∴∠BEM=∠CAD，∵∠BEM=∠AEF（對頂角相等），∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF（等角對等邊）。即與AF相等的線段是EF。 10. 證明：如圖在CD上截取CF=BC，∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180， ∴∠DCE+∠CDE=90， ∴∠2+∠3=90，∠1+∠4=90， ∴∠3=∠4。 在△FDE與△ADE中，∠3=∠4，DE=DE，∠FDE=∠ADE。 ∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， ∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。 11. BE+CF＞FP=EF。 證明：延長ED至P，使DP=DE，連接CP、FP，∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△BDE和△CDP中，DP＝DE，∠EDB＝∠CDP，BD＝CD，∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE=CP，∵DE⊥DF，DE=DP，∴EF=FP，在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF。 12. （1）證明：∵在△CBF和△DBG中，BC＝BD，∠CBF＝∠BDG＝60，BF＝BG，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60，∴∠FHG=180－∠DHF=180－60=120。 13. （1）AE+CF=EF，（2）如圖2，（1）中結論不成立。證明：（1）延長FC到H，使CH=AE，連接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90，∵在△BCH和△BAE中BC＝AB，∠BCH＝∠A，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120，∠MBN=60，∴∠ABE+∠CBF=120－60=60， ∴∠HBC+∠CBF=60，∴∠HBF=60=∠MBN，在△HBF和△EBF中，∵BH＝BE，∠HBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF。（2）證明：（1）中的結論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關系是AE=EF+CF，證明：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90，在△BCF和△BAQ中，BC＝AB，∠BCF＝∠A，CF＝AQ，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60， ∵∠ABC=120，∴∠QBE=120－60=60=∠MBN，在△FBE和△QBE中BF＝BQ ∠FBE＝∠QBE BE＝BE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF，即（1）中的結論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關系是AE=EF+CF。