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第七單元 立體幾何 課時(shí)作業(yè)(四十)　第40講　空間幾何體的三視圖和直觀圖、表面積與體積 基礎(chǔ)熱身 1.[2017衡水中學(xué)月考] 一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖K40-1所示,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為 (　　) 圖K40-1 　　　　　　　 圖K40-2 2.[2017衡陽(yáng)聯(lián)考] 如圖K40-3所示,某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同,則此幾何體的表面積為 (　　) A.6π B.23π+3 C.4π D.2π+3 圖K40-3 3.三棱錐P - ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖K40-4所示,則PB= (　　) 圖K40-4 A.211 B.42 C.38 D.163 4.[2017潮州四校聯(lián)考] 已知某多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖K40-5所示,且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,則該球的表面積是　　　　. 圖K40-5 5.[2017廈門(mén)二模] 某幾何體的三視圖如圖K40-6所示,則該幾何體的體積是　　　　. 圖K40-6 能力提升 6.如圖K40-7,在正方體ABCD - A1B1C1D1中,P為BD1的中點(diǎn),則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是 (　　) 圖K40-7 圖K40-8 A.①④ B.②③ C.②④ D.①② 7.如圖K40-9,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為 (　　) 圖K40-9 A.14π3 B.10π3 C.8π3 D.5π3 8.圖K40-10中,小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,圖中粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為 (　　) A.8-43π B.8-π C.8-23π D.8-13π 圖K40-10 9.某幾何體的三視圖如圖K40-11,其正視圖中的曲線部分為半圓,則該幾何體的體積是(　　) A.4+32π B.6+3π C.6+32π D.12+32π 圖K40-11 10.[2017瀘州四診] 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖K40-12(1)所示,它的俯視圖的直觀圖是△ABC,如圖K40-12(2)所示,其中OA=OB=2,OC=3,則該幾何體的表面積為 (　　) 　　　　　 (1)　　　　　　　　　　(2) 圖K40-12 A.36+123 B.24+83 C.24+123 D.36+83 11.某幾何體的三視圖如圖K40-13所示,則該幾何體的表面積為　　　　. 圖K40-13 12.[2017蚌埠質(zhì)檢] 已知邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,且OA與平面ABC所成的角為60,則球O的表面積為　　　　. 13.[2017淮北二模] 我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典名著《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(biē no).若三棱錐P - ABC為鱉臑,且PA⊥平面ABC,PA=AB=2,且該鱉臑的外接球的表面積為24π,則該鱉臑的體積為　　　　. 14.(12分)如圖K40-14所示,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,求該多面體的體積. 圖K40-14 15.(13分)某幾何體按比例繪制的三視圖如圖K40-15所示(單位:m). (1)試畫(huà)出該幾何體的直觀圖; (2)求該幾何體的表面積和體積. 圖K40-15 難點(diǎn)突破 16.(5分)[2017石家莊二模] 如圖K40-16是一個(gè)底面半徑為1的圓柱被平面截開(kāi)所得的幾何體,截面與底面所成的角為45,過(guò)圓柱的軸的平面截該幾何體所得的四邊形ABBA為矩形,若沿AA將其側(cè)面剪開(kāi),則其側(cè)面展開(kāi)圖的形狀大致為 (　　) 圖K40-16 圖K40-17 17.(5分)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家,他提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”這句話的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn),比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖K40-18所示,將底面直徑皆為2b,高皆為a的半橢球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面,可以證明S圓=S環(huán)總成立.據(jù)此,短軸長(zhǎng)為4 cm,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6 cm的橢球體的體積是　　　　cm3. 圖K40-18 加練一課(五)　　空間幾何體與球的切﹑接問(wèn)題 一、選擇題(本大題共9小題,每小題5分,共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.某正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該正四棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為 (　　) A.81π4 B.16π C.9π D.27π4 2.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖L5-1所示,將石材切削、打磨、加工成球,則能得到的最大球的半徑為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 圖L5-1 3.[2017山西三區(qū)八校二模] 在矩形ABCD中,AC=2,現(xiàn)將△ABC沿對(duì)角線AC折起,使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)B的位置,得到三棱錐B - ACD,則三棱錐B - ACD的外接球的表面積是 (　　) A.π B.2π C.4π D.與點(diǎn)B的位置有關(guān) 圖L5-2 4.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖L5-3所示,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為 (　　) A.133π 　　　B.173π C.193π 　　　D.223π 圖L5-3 5.四面體A - BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,AB⊥平面BCD,△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若AB=2,則球O的表面積為 (　　) A. 12π B.16π C.32π3 D.32π 6.[2017馬鞍山質(zhì)檢] 某幾何體的三視圖如圖L5-4所示,則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖L5-4 A.25π B.26π C.32π D.36π 7.空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),且EF⊥AB,EF⊥CD,若AB=8,CD=EF=4,則該球的半徑為 (　　) A.65216 B.6528 C.652 D.65 8.[2017黃岡質(zhì)檢] 某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖L5-5所示,則該幾何體的外接球的表面積是 (　　) 圖L5-5 A.13π B.16π C.25π D.27π 9.[2017湛江二模] 底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)面是等邊三角形的四棱錐的外接球的體積為(　　) A.2π3 B.3π3 C.3π2 D.22π3 二、填空題(本大題共7小題,每小題5分,共35分.把答案填在題中橫線上) 10.若正方體的外接球的表面積為6π,則該正方體的表面積為　　　　. 11.設(shè)正三棱錐A -BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上, E, F分別是AB, BC的中點(diǎn), EF⊥DE,且EF=1,則球O的表面積為　　　　. 12.[2017洛陽(yáng)三模] 已知直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,則該三棱柱內(nèi)切球的表面積與外接球的表面積的和為　　　　. 13.[2017唐山三模] 直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上, AB=AC=2,若球O的表面積為12π,則球心O到平面ABC的距離等于　　　　. 14.球O內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD - A1B1C1D1,以A為頂點(diǎn),以平面B1CD1被球O所截的圓面為底面的圓錐的側(cè)面積為　　　　. 15.[2017寧德二檢] 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠A=60.沿對(duì)角線BD將該菱形折成銳二面角A - BD - C,連接AC.若三棱錐A - BCD的體積為2723,則該三棱錐的外接球的表面積為　　　　. 16.[2017山西大學(xué)附中二模] 正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為26,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面都相切,則該球的表面積是　　 　,體積是　 　　. 課時(shí)作業(yè)(四十一)　第41講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)熱身 1.[2017閩南八校二聯(lián)] 已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.[2017鄭州一模] 已知直線a和平面α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且a在α,β內(nèi)的射影分別為直線b,c,則直線b和c的位置關(guān)系是 (　　) A.相交或平行 B.相交或異面 C.平行或異面 D.相交、平行或異面 3.下面四個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為 (　　) (1)如果兩個(gè)平面有四個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合; (2)兩條直線可以確定一個(gè)平面; (3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l; (4)在空間中,相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi). A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2017佛山模擬] 如圖K41-1所示,在正三棱柱ABC - A1B1C1中,D是AC的中點(diǎn),AA1∶AB=2∶1,則異面直線AB1與BD所成的角為　　　. 圖K41-1 5.如圖K41-2是某個(gè)正方體的展開(kāi)圖,l1,l2是兩條側(cè)面對(duì)角線,則在正方體中,下面關(guān)于l1與l2的四個(gè)結(jié)論中正確的是　　　　.(填序號(hào)) ①互相平行;②異面垂直;③異面且?jiàn)A角為π3;④相交且?jiàn)A角為π3. 圖K41-2 能力提升 6.l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線;q:l1,l2不相交,則 (　　) A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 7.已知正方體ABCD - A1B1C1D1中,O是BD1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　　) A.A1,M,O三點(diǎn)共線 B.M,O,A1,A四點(diǎn)共面 C.A1,O,C,M四點(diǎn)共面 D.B,B1,O,M四點(diǎn)共面 8.[2017濟(jì)南模擬] 設(shè)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是 (　　) A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面 B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交 C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c 9.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,若直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則 (　　) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l 10.異面直線l與m成60角,異面直線l與n成45角,則異面直線m與n所成角的取值范圍是 (　　) A.[15,90] B.[60,90] C.[15,90) D.[15,60] 11.正四棱錐P - ABCD中,四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2,底面ABCD是正方形,E為PC的中點(diǎn),若異面直線PA與BE所成的角為45,則該四棱錐的體積是 (　　) A.4 B.23 C.43 D.233 12.已知集合A={直線},B={平面},C=A∪B.若a∈A,b∈B,c∈C,給出下列四個(gè)說(shuō)法: ①若a∥b,c∥b,則a∥c;②若a⊥b,c⊥b,則a∥c; ③若a∥b,c⊥b,則a⊥c;④若a⊥b,c∥b,則a⊥c. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是　　　　. 13.如圖K41-3所示是正方體和正四面體,P,Q,R,S分別是其所在棱的中點(diǎn),則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是　　　　. 圖K41-3 14.(12分)如圖K41-4,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90,BC12AD,BE12FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn). (1)求證:四邊形BCHG是平行四邊形. (2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么? 圖K41-4 15.(13分)[2017成都七中月考] 如圖K41-5所示,在三棱錐P - ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC=π2,AB=2,AC=23,PA=2. (1)求三棱錐P - ABC的體積; (2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值. 圖K41-5 難點(diǎn)突破 16.(5分)[2017包頭十校聯(lián)考] 在正方體ABCD - A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng),則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是 (　　) 圖K41-6 A.0<θ<π2 B.0<θ≤π2 C.0≤θ≤π3 D.0<θ≤π3 17.(5分)在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為　　　　. 課時(shí)作業(yè)(四十二)　第42講　直線、平面平行的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)熱身 1.[2017江西六校聯(lián)考] 設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m是直線,且m?α,則“m∥β”是“α∥β”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 2.[2017潮州三校聯(lián)考] 在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),則 (　　) A.BD∥平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形 B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形 D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是梯形 3.[2017保定模擬] 有下列四個(gè)說(shuō)法: ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則直線l∥α; ②若直線a在平面α外,則a∥α; ③若直線a∥b,b∥α,則a∥α; ④若直線a∥b,b∥α,則a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線. 其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如圖K42-1是正方體的平面展開(kāi)圖,關(guān)于這個(gè)正方體有以下判斷: 圖K42-1 ①ED與NF所成的角為60;②CN∥平面AFB; ③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF. 其中正確判斷的序號(hào)是 (　　) A.①③ B.②③ C.①②④ D.②③④ 5.如圖K42-2,四棱錐P - ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn),則BE與平面PAD的位置關(guān)系為　　　　. 圖K42-2 能力提升 6.若平面α∥平面β,點(diǎn)A,C∈α,B,D∈β,則直線AC∥直線BD的充要條件是 (　　) A.AB∥CD B.AD∥CB C.AB與CD相交 D.A,B,C,D四點(diǎn)共面 7.已知直線a與平面α,β,若α∥β,a?α,點(diǎn)B∈β,則在β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線中 (　　) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一一條與a平行的直線 8.[2017長(zhǎng)郡中學(xué)質(zhì)檢] 在如圖K42-3所示的三棱柱ABC - A1B1C1中,過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是 (　　) A.異面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 圖K42-3 9.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,下列說(shuō)法中正確的是 (　　) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β C.若m∥α,m∥β,則α∥β D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n 10.[2017浙江金麗衢十二校聯(lián)考] 已知平面α∥平面β,P是α,β外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于點(diǎn)A,C,過(guò)點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于點(diǎn)B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD=(　　) A.16 B.24或245 C.14 D.20 11.如圖K42-4是某長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為　　　　　　　　. 圖K42-4 12.已知a,b為兩條不同的直線,α,β,γ為三個(gè)不同的平面,給出以下三個(gè)說(shuō)法: ①若a∥b,b?α,則a∥α; ②若a∥b,a∥α,則b∥α; ③若α∩β=a,b?γ,且b∥β,a?γ,則a∥b. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是　　　　. 13.在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),則點(diǎn)Q滿足條件　　　　時(shí),有平面D1BQ∥平面PAO. 14.(10分)[2017宜春二模] 在四棱錐P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC的中點(diǎn),又PA=AB=4,∠CDA=120,點(diǎn)N在PB上,且PN=2. 求證:MN∥平面PDC. 圖K42-5 15.(13分)[2017石家莊二模] 如圖K42-6,在三棱柱ABC - DEF中,側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠ABE=π3,BC=212.點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,且G在AE上,FG=3,點(diǎn)M在CF上,且CM=14CF. (1)證明:直線GM∥平面DEF; (2)求三棱錐M - DEF的體積. 圖K42-6 難點(diǎn)突破 16.(12分)[2018南昌模擬] 如圖K42-7所示,在四棱錐P -ABCD中, ∠ABC=∠ACD=90, ∠BAC =∠CAD=60,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn). (1)求證:平面CMN∥平面PAB; (2)求三棱錐P -ABM的體積. 圖K42-7 課時(shí)作業(yè)(四十三)　第43講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)熱身 1.[2017湖南六校聯(lián)考] 已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是 (　　) A.α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥α C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 2.[2017唐山三模] 已知平面α⊥平面β,則“直線m⊥平面α”是“直線m∥平面β”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 3.[2017深圳四校聯(lián)考] 若平面α,β滿足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,則下列說(shuō)法中不正確的是(　　) A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面β B.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi) C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi) D.過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β 4.[2017龍巖二模] 已知三個(gè)不同的平面α,β,γ滿足α⊥γ,β⊥γ,則α與β的關(guān)系是　　　　　　. 5.在三棱錐P - ABC中,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的　　　　心. 能力提升 6.[2017南昌二模] 已知直線m,n與平面α,β,γ滿足α⊥β,α∩β=m,n⊥α,n?γ,則下列判斷一定正確的是 (　　) A.m∥γ,α⊥γ B.n∥β,α⊥γ C.β∥γ,α⊥γ D.m⊥n,α⊥γ 7.將圖K43-1①中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起,得到空間四面體ABCD(如圖②),則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是 (　　) 圖K43-1 A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.異面且垂直 D.異面但不垂直 8.[2017臨汾三模] 已知α為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列說(shuō)法中正確的是 (　　) A.若直線a,b與平面α所成角都是30,則直線a,b平行 B.若直線a,b與平面α所成角都是30,則直線a,b不可能垂直 C.若直線a,b平行,則直線a,b中至少有一條與平面α平行 D.若直線a,b垂直,則直線a,b與平面α不可能都垂直 9.如圖K43-2所示,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分別是線段PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 (　　) A.當(dāng)AE⊥PB時(shí),△AEF一定為直角三角形 B.當(dāng)AF⊥PC時(shí),△AEF一定為直角三角形 C.當(dāng)EF∥平面ABC時(shí),△AEF一定為直角三角形 D.當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí),△AEF一定為直角三角形 圖K43-2 10.[2017肇慶三模] 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - A1B1C1D1中,AC∩BD=O,E是線段B1C(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),給出下列說(shuō)法: ①OE⊥BD1; ②OE∥平面A1C1D; ③三棱錐A1 - BDE的體積為定值; ④OE與A1C1所成的最大角為90. 其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 11.[2017邯鄲二模] 如圖K43-3,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折到△A1DE(A1?平面ABCD)的位置.若M,O分別為線段A1C,DE的中點(diǎn),則在△ADE的翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 (　　) A.與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直 B.過(guò)E作EG∥BM,G∈平面A1DC,則∠A1EG為定值 C.一定存在某個(gè)位置,使DE⊥MO D.三棱錐A1 - ADE外接球半徑與棱AD的長(zhǎng)之比為定值 圖K43-3 12.已知a,b,l表示三條不同的直線,α,β,γ表示三個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)說(shuō)法: ①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥γ; ②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β; ③若α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,則b⊥α; ④若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,l?α,則l⊥α. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是　　　　. 13.[2017廈門(mén)二模] 正方體ABCD - A1B1C1D1的棱和六個(gè)面的對(duì)角線共有24條,其中與體對(duì)角線AC1垂直的有　　　　條. 14.(10分)[2017徐州、宿遷、連云港、淮安四市三模] 如圖K43-4,在四棱錐P - ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F. (1)求證:AB∥EF; (2)若平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥EF. 圖K43-4 15.(13分)如圖K43-5,在正三棱柱A1B1C1 -ABC中,點(diǎn)D,E分別是A1C,AB的中點(diǎn). (1)求證:ED∥平面BB1C1C; (2)若AB=2BB1,求證:A1B⊥平面B1CE. 圖K43-5 難點(diǎn)突破 16.(12分)[2018昆明檢測(cè)] 如圖K43-6,在三棱柱ABC -A1B1C1中,側(cè)棱CC1⊥底面ABC,M為BC的中點(diǎn), AC=AB=3,BC=2,CC1=2. (1)證明:B1C⊥平面AMC1; (2)求點(diǎn)A1到平面AMC1的距離. 圖K43-6 課時(shí)作業(yè)(四十四)　第44講　空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 基礎(chǔ)熱身 1.[2017上饒期中] 如圖K44-1所示,三棱錐O - ABC中,M,N分別是AB,OC的中點(diǎn),設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM,則NM= (　　) 圖K44-1 A.12(-a+b+c) B.12(a+b-c) C.12(a-b+c) D.12(-a-b+c) 2.[2017唐山統(tǒng)考] 已知正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上,且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為 (　　) A.216a B.66a C.156a D.153a 3.[2018黑龍江齊齊哈爾實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中] 設(shè)ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,則有(　　) A.ABC1A=a2 B.ABA1C1=2a2 C.BCA1D=a2 D.ABC1A1=a2 4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三個(gè)向量共面,則實(shí)數(shù)λ=　　　　. 5.在空間直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)為頂點(diǎn)的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)x的值為　　　　. 能力提升 6.[2017臺(tái)州統(tǒng)考] 已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實(shí)數(shù)m的值等于(　　) A.32 B.-2 C.0 D.32或-2 7.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AEAF的值為 (　　) A.a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2 8.如圖K44-2所示,在平行六面體ABCD - A1B1C1D1中,AM=12MC,A1N=2ND.設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,MN=xa+yb+zc,則x+y+z= (　　) A.34 B.14 C.23 D.13 圖K44-2 9.如圖K44-3所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120,PA=AB=BC=6,則|PC|等于 (　　) A.62 B.6 C.12 D.144 圖K44-3 10.已知空間向量a,b滿足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為π3,O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,B滿足OA=2a+b,OB=3a-b,則△OAB的面積為 (　　) A.52 3 B.543 C.74 3 D.114 11.[2017泉州四校聯(lián)考] O為空間中任意一點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)不共線,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四點(diǎn)共面,則實(shí)數(shù)t=　　　　. 12.設(shè)A1,A2,A3,A4,A5是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn),則使∑k=15MAk=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為　　　　. 13.[2017北京西城區(qū)模擬] 如圖K44-4所示,正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng),則DCAP的取值范圍是　　　　. 圖K44-4 14.(10分)如圖K44-5所示,在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC - O1A1B1C1中,E,F分別是棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. (1)寫(xiě)出點(diǎn)E,F的坐標(biāo); (2)求證:A1F⊥C1E; (3)若A1,E,F,C1四點(diǎn)共面,求證:A1F=12A1C1+A1E. 圖K44-5 15.(13分)如圖K44-6所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn).計(jì)算: (1)EFBA; (2)EG的長(zhǎng); (3)異面直線AG與CE所成角的余弦值. 圖K44-6 難點(diǎn)突破 16.(12分)如圖K44-7所示,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,CD是AB邊上的高,E,F分別是AC和BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A - DC - B. (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由. (2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?如果存在,求出BPBC的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖K44-7 課時(shí)作業(yè)(四十五)　第45講　第1課時(shí)　空間角的求法 基礎(chǔ)熱身 1.如圖K45-1所示,已知正方體ABCD - A1B1C1D1,E,F分別是A1C1和AD1的中點(diǎn),則EF和CD所成的角是 (　　) A.30 B.45 C.60 D.90 圖K45-1 2.[2018河北棗強(qiáng)中學(xué)月考] 已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-12,則l與α所成的角為 (　　) A.30 B.60 C.120 D.150 3.[2017鄭州模擬] 過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的銳二面角為 (　　) A.30 B.45 C.60 D.90 4.已知直三棱柱ABC - A1B1C1,∠ACB=90,CA=CB=CC1,D為B1C1的中點(diǎn),則異面直線BD和A1C所成角的余弦值為　　　　. 5.在長(zhǎng)方體ABCD - A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為　　　　. 能力提升 6.[2017東營(yíng)質(zhì)檢] 已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA+λOB與OB的夾角為120,則λ的值為 (　　) A.66 B.66 C.-66 D.6 7.如圖K45-2所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是 (　　) A.30 B.45 C.60 D.90 圖K45-2 8.[2017邯鄲一模] 如圖K45-3,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2,AC=2,過(guò)BC的中點(diǎn)D作平面ACB1的垂線,交平面ACC1A1于點(diǎn)E,則BE與平面ABB1A1所成角的正切值為 (　　) A.55 B.510 C.1010 D.105 圖K45-3 9.[2017浙江五校聯(lián)考] 如圖K45-4所示,在四棱錐P - ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,PA=PB,O為AB的中點(diǎn),OD⊥PC,若PD與平面PAB所成的角為30,則二面角D - PC - B的余弦值是 (　　) 圖K45-4 A.33 B.-33 C.13 D.-13 10.[2017珠海模擬] 在正方體ABCD - A1B1C1D1中,O是BD的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段B1D1上,直線OP與平面A1BD所成的角為α,則sin α的取值范圍是 (　　) A.23,33 B.13,12 C.34,33 D.14,13 11.[2017衡陽(yáng)二聯(lián)] 如圖K45-5所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1C1∩B1D1=E,直線AC與直線DE所成的角為α,直線DE與平面BCC1B1所成的角為β,則cos(α-β)=　　　　. 圖K45-5 12.如圖K45-6所示,四棱錐P - ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).設(shè)二面角D - AE - C為60,AP=1,AD=3,則三棱錐E - ACD的體積為　　　　. 圖K45-6 13.如圖K45-7,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cos θ的最大值為　　　　. 圖K45-7 14.(10分)[2017南通一模] 如圖K45-8所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD - A1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=λBB1(λ≠0). (1)若λ=12,求AP與AQ所成角的余弦值; (2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45,求實(shí)數(shù)λ的值. 圖K45-8 15.(13分)[2017泉州質(zhì)檢] 如圖K45-9所示,在三棱錐A - BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,∠CBD=60,BD=2BC=4,點(diǎn)E在CD上,DE=2EC. (1)求證:AC⊥BE; (2)若二面角E - BA - D的余弦值為155,求三棱錐A - BCD的體積. 圖K45-9 難點(diǎn)突破 16.(12分)[2017河南六市二聯(lián)] 如圖K45-10所示,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A,B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=14. (1)證明:平面ADE⊥平面ACD; (2)當(dāng)三棱錐C - ADE的體積最大時(shí),求二面角D - AE - B的余弦值的絕對(duì)值. 圖K45-10 課時(shí)作業(yè)(四十五)　第45講　第2課時(shí)　空間向量的應(yīng)用 基礎(chǔ)熱身 1.(12分)[2017郴州三模] 如圖K45-11所示,C是以AB為直徑的圓上異于A,B的點(diǎn),平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分別是PC,PB的中點(diǎn),記平面AEF與平面ABC的交線為直線l. (1)求證:直線l⊥平面PAC. (2)直線l上是否存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AEF,直線EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖K45-11 2.(12分)[2017北京豐臺(tái)區(qū)一模] 如圖K45-12①所示,平面五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90,AB=2,CD=1,△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形.現(xiàn)將△ADE沿AD折起,得到四棱錐E - ABCD(如圖②),且DE⊥AB. (1)求證:平面ADE⊥平面ABCD. (2)求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大小. (3)在棱AE上是否存在點(diǎn)F,使得DF∥平面BCE?若存在,求EFEA的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖K45-12 能力提升 3.(12分)[2017濮陽(yáng)一模] 如圖K45-13所示,四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90,DC=2AB=2,DA=3. (1)線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使平面PBC⊥平面PDE?若存在,請(qǐng)求出BECE的值,并進(jìn)行證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)若PD=3,線段PC上有一點(diǎn)F,且PC=3PF,求直線AF與平面PBC所成角的正弦值. 圖K45-13 4.(12分)[2017天津河西區(qū)一模] 如圖K45-14所示,在四棱錐P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,四邊形ABCD滿足AB⊥AD,BC∥AD,BC=4,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),且BEEC=λ. (1)求證:DM∥平面PAB. (2)求證:平面ADM⊥平面PBC. (3)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得二面角P - DE - B的余弦值為23?若存在,試求出實(shí)數(shù)λ的值;若不存在,說(shuō)明理由. 圖K45-14 5.(12分)[2017玉溪民族中學(xué)模擬] 直三棱柱ABC -A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E,F分別是CC1,BC的中點(diǎn), 且AE⊥A1B1, (1)證明: AB⊥平面A1ACC1. (2)棱A1B1上是否存在一點(diǎn)D,使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為1414?若存在,說(shuō)明點(diǎn)D的位置;若不存在,說(shuō)明理由. 圖K45-15 難點(diǎn)突破 6.(12分)[2017北京昌平區(qū)二模] 如圖K45-16所示,三棱柱ABC - A1B1C1中,BC垂直于正方形A1ACC1所在平面,AC=2,BC=1,D為AC中點(diǎn),E為線段BC1上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外),平面AB1E與BD交于點(diǎn)F. (1)若E不是BC1的中點(diǎn),求證:AB1∥EF. (2)若E是BC1的中點(diǎn),求AE與平面BC1D所成角的正弦值. (3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)E,使得A1E⊥CE?若存在,求出BEEC1的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖K45-16  課時(shí)作業(yè)(四十) 1.D　[解析] 由題圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐,其中平面ACD⊥平面BCD,該三棱錐的側(cè)視圖可能為等腰三角形,故選D. 2.C　[解析] 此幾何體為一個(gè)組合體,上面部分為一個(gè)圓錐,下面部分為一個(gè)半球.故此幾何體的表面積為S=4π212+1222π1=4π,故選C. 3.B　[解析] 由正視圖和側(cè)視圖可知,AC=4,PC=4,AB=BC=22+(23)2=4,則PB=PC2+BC2=42+42=42,故選B. 4.12π　[解析] 由三視圖知,該組合體為正方體內(nèi)接于球,正方體的棱長(zhǎng)為2,設(shè)球的半徑為R,則2R=23,即R=3,則該球的表面積S=4πR2=4π3=12π. 5.113　[解析] 由三視圖可知該幾何體是三棱柱割去一個(gè)三棱錐后剩下的部分(如圖),則該幾何體的體積為12222-1312112=4-13=113. 6.A　[解析] 由所給的正方體的直觀圖知,△PAC在該正方體上、下底面上的射影是①中圖形,△PAC在該正方體前、后、左、右側(cè)面上的射影是④中圖形,故選A. 7.C　[解析] 由題意知,該幾何體是由一個(gè)半圓柱與一個(gè)半球組成的組合體,其中半圓柱的底面半徑為1,高為4,半球的半徑為1,則該幾何體的體積為1243π13+12π124=83π,故選C. 8.D　[解析] 由三視圖得,該幾何體是正方體挖去一個(gè)半圓錐后剩余的部分,故該幾何體的體積V=23-1213π122=8-π3,故選D. 9.C　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是由半圓柱與三棱柱組成的,則該幾何體的體積V=12π123+12223=6+32π. 10.C　[解析] 由俯視圖的直觀圖可得該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,由正視圖與側(cè)視圖可得該幾何體是高為6的三棱錐(如圖所示的三棱錐P - ABC),其中PC⊥底面ABC,∴該幾何體的表面積S=3442+21246+12462+(23)2=24+123,故選C. 11.11+22　[解析] 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)直四棱柱,上、下底面為直角梯形,直角梯形斜腰長(zhǎng)為12+12=2,則底面周長(zhǎng)為4+2,故側(cè)面積為2(4+2)=8+22,又兩底面的面積和為2121(1+2)=3,所以該幾何體的表面積為8+22+3=11+22. 12.16π　[解析] 邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的外接圓的半徑r=1,則球O的半徑R=rcos60=2,則球O的表面積S=4πR2=16π. 13.83　[解析] 根據(jù)題意,三棱錐P-ABC為鱉臑,且PA⊥平面ABC,PA=AB=2,如圖所示,可得∠PAB=∠PAC=∠ABC=∠PBC=90.易知PC為外接球的直徑,設(shè)外接球的半徑為R.又該鱉臑的外接球的表面積為24π,則R2=24π4π=6,則BC=(26)2-(22)2=4,則該鱉臑的體積為1312242=83. 14.解:分別過(guò)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,則原幾何體被分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱. 易知三棱錐的高為12,直三棱柱的高為1, AG= 12-122=32, 取AD的中點(diǎn)M,連接MG,則MG=22, ∴S△AGD=12122=24, ∴V多面體ABCDEF=241+2132412=23. 15.解:(1)直觀圖如圖所示. (2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)三棱柱后剩余的部分,且該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的34,∴該幾何體的體積V=34121=32(m3). 在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,則四邊形AA1EB是正方形, AA1=BE=1. 在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1, ∴BB1=2, ∴該幾何體的表面積 S=S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形AA1D1D=1+21+212(1+2)1+12+1=7+2(m2), ∴該幾何體的表面積為(7+2)m2,體積為32 m3. 16.A　[解析] 用排除法.首先截線不可能是直線,排除B中圖形;又圓柱被平面截開(kāi)所得的截面是橢圓,而側(cè)面展開(kāi)圖為平面圖,不可能是圓或橢圓,排除C,D中的圖形.故選A. 17.16π　[解析] 因?yàn)榭傆蠸圓=S環(huán),所以半橢球體的體積為V圓柱-V圓錐=πb2a-13πb2a=23πb2a.又2a=6,2b=4,即a=3,b=2,所以橢球體的體積V=43πb2a=43π223=16π. 加練一課(五) 1.A　[解析] 由題意易知,球心在正四棱錐的高上,設(shè)球的半徑為R,則(4-R)2+(2)2=R2,解得R=94,所以該球的表面積為4π942=814π,故選A. 2.B　[解析] 由三視圖可得該幾何體為三棱柱,能得到的最大球?yàn)槿庵膬?nèi)切球,球的半徑為正視圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑r.由切線長(zhǎng)的性質(zhì),得(8-r)+(6-r)=62+82,得r=2,故選B. 3.C　[解析] 三棱錐B - ACD中,△ABC和△ACD是有公共斜邊AC的直角三角形,取AC的中點(diǎn)O,則有OB=OA=OC=OD,∴O為三棱錐B - ACD的外接球的球心,外接球半徑R=OA=1,則三棱錐B - ACD的外接球的表面積是4πR2=4π,故選C. 4.C　[解析] 由正視圖知,三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為1.易知外接球的球心O在上、下底面兩個(gè)三角形中心連線的中點(diǎn)上,連接球心和任意一個(gè)頂點(diǎn)的線段長(zhǎng)即為球O的半徑,則R2=122+2332=1912(其中R為球O的半徑),則球O的表面積S=4πR2=4π1912=193π,故選C. 5.B　[解析] 將四面體A - BCD補(bǔ)形成正三棱柱,則其外接球的球心為上、下底面的中心連線的中點(diǎn).易得△BCD的外接圓半徑為3,所以外接球球O的半徑R=(3)2+AB22=2,所以球O的表面積S=4πR2=16π,故選B. 6.C　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是以俯視圖為底面,一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐,如圖中三棱錐A - BCD所示,設(shè)該幾何體外接球的球心為O.由勾股定理可得CD=12+(3)2=2,tan∠CBD=33,即∠CBD=30.由正弦定理可得△BCD的外接圓直徑2r=2sin30=4.設(shè)球O的半徑為R,易知O為AD的中點(diǎn),則由勾股定理得4R2=AB2+4r2=32,所以該幾何體的外接球的表面積S=4πR2=32π,故選C. 7.C　[解析] 由已知條件可得球心O在EF上,設(shè)球O的半徑為R,OF=x,則OE=4-x,得x2+22=R2,(4-x)2+42=R2,解得x=72,R=652,故選C. 8.C　[解析] 由三視圖可知該幾何體為一個(gè)正四棱柱,底面正方形邊長(zhǎng)為22,側(cè)棱長(zhǎng)為3,外接球球心為上、下底面中心連線的中點(diǎn),外接球半徑R=22+322=52,則該幾何體的外接球的表面積S=4π522=25π,故選C. 9.A　[解析] 如圖所示,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形.設(shè)正方形ABCD的中心為O,連接OP,OA,易知底面正方形ABCD外接圓的半徑是22,即AO=22,則PO=1-12=22,∴四棱錐的外接球半徑為22,∴四棱錐的外接球的體積為43π223=2π3,故選A. 10.12　[解析] 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,外接球的半徑為R.因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)就是正方體的外接球的直徑,所以2R=3a.由正方體外接球的表面積為6π,得3πa2=6π,即a2=2,故該正方體的表面積S=6a2=12. 11.12π　[解析] ∵E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,又EF⊥DE,∴AC⊥DE,取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO.∵ 三棱錐A -BCD為正三棱錐,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴BD⊥平面AOC,又AC?平面AOC,∴AC⊥BD,又DE∩BD=D,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AB.同理可知,正三棱錐以A為頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩互相垂直.∵EF=1,∴AC=AB=AD=2,即側(cè)棱長(zhǎng)均為2.將正三棱錐補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為2的正方體,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球的直徑,因此外接球半徑R=232=3,所以球O的表面積為4πR2=12π. 12.33π　[解析] 將三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為9+16+4=29,∴外接球的半徑為292,∴外接球的表面積為29π.易知△ABC的內(nèi)切圓的半徑為343+4+5=1,∴該三棱柱內(nèi)切球的表面積為4π,∴該三棱柱內(nèi)切球的表面積與外接球的表面積的和為29π+4π=33π. 13.1　[解析] 直角三角形ABC的斜邊CB為△ABC所在截面圓的直徑,則該截面圓的半徑r=2.由球O的表面積為12π,可得球O的半徑R=3,所以球心O到平面ABC的距離d=R2-r2=1. 14.π　[解析] 作出正方體的截面B1CD1,各邊與球O相切于點(diǎn)E,F,G,則E,F,G分別是B1C,B1D1,CD1的中點(diǎn),連接EF,EG,FG.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以B1C=B1D1=CD1=2,所以EF=FG=EG=1.易得截面圓的半徑為33,圓錐的母線長(zhǎng)為AE=(2)2+12=3,所以以A為頂點(diǎn),以平面B1CD1被球O所截的圓面為底面的圓錐的側(cè)面積S=π333=π. 15.52π　[解析] 如圖①,取BD的中點(diǎn)E,連接AE,CE,則BD⊥AE,BD⊥CE,得BD⊥平面ACE,則三棱錐A - BCD的體積V=13S△ACEBD=2723,得S△ACE=2743,又易得AE=CE=33,所以sin∠AEC=32,則∠AEC=60.由BD⊥平面ACE,得平面ACE⊥平面BCD,則三棱錐A - BCD的外接球的球心O在平面ACE內(nèi),如圖②.因?yàn)锳E=CE,所以O(shè)E垂直平分AC,設(shè)O1為△BCD的外接圓的圓心,則O1O⊥CE,且CO1=2O1E=23,∴O1O=O1Etan 30=1,∴OC=CO12+O1O2=13,即三棱錐A - BCD的外接球的半徑為13,故三棱錐A - BCD的外接球的表面積S=4π(13)2=52π. 16.8(5-26)π　43π(6-2)3　[解析] 如圖,球O是正三棱錐P - ABC的內(nèi)切球,球心O到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑R.設(shè)PH是正三棱錐的高,即PH=1.設(shè)E是BC邊的中點(diǎn),則H在AE上.∵△ABC的邊長(zhǎng)為26,∴HE=3626=2,∴PE=3,∴S△PAB=S△PAC=S△PBC=12BCPE=32,S△ABC=34(26)2=63.由等體積法可知,VP - ABC=VO - PAB+VO - PAC+VO - PBC+VO - ABC,∴13631=1332R3+1363R,得R=2323+32=6-2,∴S球=4πR2=4π(6-2)2=8(5-26)π,V球=43πR3=43π(6-2)3. 課時(shí)作業(yè)(四十一) 1.A　[解析] 因?yàn)橹本€a和直線b相交,所以直線a與直線b有一個(gè)公共點(diǎn),而直線a,b分別在平面α,β內(nèi),所以平面α與β必有公共點(diǎn),從而平面α與β相交;反之,若平面α與β相交,則直線a與直線b可能相交、平行或異面.故選A. 2.D　[解析] 因?yàn)橹本€a與平面α,β的位置關(guān)系不確定,所以直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面,故選D. 3.A　[解析] (1)若四個(gè)公共點(diǎn)不在同一直線上,則這兩平面重合;若四個(gè)公共點(diǎn)在同一直線上,則這兩平面相交.(2)兩條異面直線不能確定一個(gè)平面.(3)若M∈α,M∈β