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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版 　　在日常生活中，人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子．如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的．而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)人走近鏡面，人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面；當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面，人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面．如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等(圖2-155)，這種現(xiàn)象叫作面對稱．如果我們只取一個側(cè)面，那么鏡面就可用一條直線來表示，人和人在鏡中的像可用一個平面圖形來表示，這樣，人、像與鏡就成了軸對稱，也叫直線對稱(圖2-155)． 　　如果實(shí)物是△ABC，那么它在鏡中的像就成了圖形△A′B′C′．直線l表示鏡，這時稱l為△ABC和△A′B′C′的對稱軸(圖2-156)．圖中，A與A′，B與B′，C與C′是對稱點(diǎn)．以對稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段AA′，BB′，CC′被對稱軸l垂直平分，因此，如果以直線l為折痕，把△ABC翻折過來，它必與△A′B′C′重合，所以成軸對稱的兩個圖形必全等． 　　例1 設(shè)圖形ABCDEF是半個蝴蝶形(圖2-157(a))，試以直線l為對稱軸，畫出整個蝴蝶來． 　　解 為了畫出整個蝴蝶，只需要畫出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對稱圖形就可以了．因?yàn)锳點(diǎn)、F點(diǎn)在直線l上，所以它們的對稱點(diǎn)分別和A，F(xiàn)是同一點(diǎn)，這樣，只要畫出B，C，D，E關(guān)于l的對稱點(diǎn)就行了．為此，先分別過B，C，D，E向l作垂線，設(shè)垂足分別為M，N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的延長線上取B′，C′，D′和E′點(diǎn)，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，E′Q=QE，最后連結(jié)AB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(圖 2-157(b))． 　　例2 設(shè)直線l1和直線l2平行，且l1和l2間的距離為a．如果線段AB在l1的右側(cè)，并設(shè)AB關(guān)于l1的對稱圖形是A′B′，而A′B′關(guān)于l2的對稱圖形是A″B″(圖2-158)，那么，線段AB和A″B″有什么關(guān)系？ 　　解 因?yàn)閘1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，當(dāng)然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2．我們知道：“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以 AA′A″∥BB′B″． ① 　　另一方面，因?yàn)锳P=PA′，A′P′=P′A″，所以 AA′A″＝2PP′=2a， 　　同理BB′B″=2a，所以 AA′A″=BB′B″． ② 　　通過例2，我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作了兩次軸對稱移動，那么相當(dāng)于這個圖形作了一次平行移動，平行移動的距離剛好是這兩個對稱軸間距離的2倍． 　　如果我們反復(fù)利用例2的原理，就可以做成帶形的花邊圖案．例如，我們把一張等寬的長紙條像圖2-159那樣折疊起來，并在上面用小刀刻出一個三角形的洞，然后再展開這張紙條，就會得到如圖2-160那樣的帶形圖案． 　 　　如果我們把圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成鏡子，A0看作實(shí)物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在鏡子中的像了．其實(shí)，圖中的A1是A0以m0為對稱軸作對稱移動的對稱圖形，也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的圖形．由此，怎樣看待A1和A2的關(guān)系以及A2和A0的關(guān)系呢？請同學(xué)們自己作出回答． 　　有了上面的知識，同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了．下面的圖2-161和圖2-162是兩個帶形圖案，你能看出它們是怎樣設(shè)計的嗎？ 　 　　如果我們把前面圖2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2等看作平行的鏡子，A0看作一個人，如果這個人在鏡子中m0和m-1之間反復(fù)映照，那么就會看到圖2-163的情況． 　　可以想象，在鏡子m0中的像A1，A2，A3，…，以及在鏡子m1中的像A-1，A-2，A-3，…是無限多的．還可以知道：A0在鏡m0中的像是A1，A1在鏡m-1中的像是A-2，A-2在鏡m0中的像是A3，…如此等等．因?yàn)锳0和A1，A1和A2是軸對稱移動，所以A0到A2是平行移動． 　　例3 設(shè)直線l1和直線l2相交，交點(diǎn)為O，其夾角為α．如果線段AB關(guān)于l1的軸對稱圖形是A′B′，而A′B′關(guān)于l2的軸對稱圖形是A″B″．試問AB和A″B″間有什么關(guān)系？(見圖2-164) 　　解 因?yàn)橐阎狝B關(guān)于l1的對稱圖形是A′B′，A′B′關(guān)于l2的對稱圖形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以 AB=A″B″，① 　　由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，所以 ∠AOA″＝2∠POP′＝2α． 　　同理∠BOB″=2∠POP′=2α，所以 　　∠AOA″＝∠BOB″＝2α． ② 　　由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作兩次對稱移動，那么相當(dāng)于這個圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角，作了一個旋轉(zhuǎn)移動，在旋轉(zhuǎn)移動下，圖形的大小不變． 　　例4 同學(xué)們小時候常常玩萬花筒，它是由三塊等寬、等長的玻璃片圍成的．為什么在萬花筒中會出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識揭開萬花筒的秘密． 　　解 萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的圖案，主要是利用了圖形的對稱和旋轉(zhuǎn)原理．為具體說明，給出的圖2-165為萬花筒中的一個圖案，它是用一個小圓、一個平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形． 　　為了清楚地說明上圖形成的原理，我們?nèi)〕鰣D形中的一部分(圖2-166)加以分析． 　　正△ABO以O(shè)B為對稱軸作軸對稱移動，就得到△CBO；△CBO以O(shè)C為對稱軸作軸對稱移動，就得到△CDO．經(jīng)過這樣兩個軸對稱移動，實(shí)際上相當(dāng)于△ABO以O(shè)為中心，以120為旋轉(zhuǎn)角，作了一個旋轉(zhuǎn)移動．這樣： 點(diǎn)A→點(diǎn)C，邊AO→邊CO， 點(diǎn)B→點(diǎn)D，邊AB→邊CD， 點(diǎn)O→點(diǎn)O，邊BO→邊DO． 　　在這樣旋轉(zhuǎn)移動下，△ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120．經(jīng)多次反復(fù)，就形成了圖2-165的綺麗景色．如果同學(xué)們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界！　　 練習(xí)二十九 　　1．設(shè)l1和l2是兩面平行相對的鏡子，如果把一個小球放在l1和l2之間(圖2-167)，試問： 　　(1)小球A在鏡l1中的像A′在什么位置？ 　　(2)小球A在鏡l1中的像A′在鏡l2中的像A″又在什么位置？分別畫在圖上； 　　(3)小球A和像A″之間的距離與l1和l2之間的距離有什么關(guān)系？ 　　2．圖2-168是萬花筒中的一個圖案，其中菱形FJKG變成菱形FDAC，如果看成經(jīng)過以F點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為x的旋轉(zhuǎn)移動得到的，那么x等于多少度？請從下面的四個答案中選出一個正確的答案來． 　　(A)60； 　　(B)120； 　　(C)180； 　　(D)以上答案都不對． 　　3．圖2-169是游樂園中的大型旋轉(zhuǎn)車的簡圖，游人坐在旋轉(zhuǎn)車的車斗中，任憑旋轉(zhuǎn)車不停地旋轉(zhuǎn)，但總是頭朝上，絕不會掉下來．試問車斗所作的移動是什么移動？請在下面答案中選一個正確的答案． 　　(A)旋轉(zhuǎn)； (B)對稱； 　　(C)平移； (D)以上答案都不對． 　　4．圖2-170表示一張長方形球臺，設(shè)P，Q為兩個球，若擊P球，使它碰CD邊后，反彈正好擊中Q球．試問P應(yīng)碰撞CD邊的哪一點(diǎn)？