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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 全一冊(cè)學(xué)案 湘教版選修2-2 4．1.1　問(wèn)題探索——求自由落體的瞬時(shí)速度 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解并掌握平均速度的概念． 2．通過(guò)實(shí)例的分析，經(jīng)歷平均速度過(guò)渡到瞬時(shí)速度的過(guò)程． [知識(shí)鏈接] 1．一物體的位移s與時(shí)間t滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系s＝t2，則在時(shí)間段[1,2]內(nèi)的平均速度＝________. 答案?。剑?. 2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝t2＋3，則在時(shí)間(3,3＋d)中，相應(yīng)的平均速度等于________． 答案?。剑?＋d. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．伽利略通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的自由落體的下落距離s和時(shí)間t有近似的函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系是s＝4.9t2. 2．瞬時(shí)速度 (1)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度即指在時(shí)刻t0＋d，當(dāng)d趨于0時(shí)，時(shí)間段[t0，t0＋d]內(nèi)的平均速度． (2)若物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝f(t)，則物體在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)就是平均速度v(t，d)＝在d趨于0時(shí)的極限. 要點(diǎn)一　求平均速度 例1　已知一物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的方程為s＝gt2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求： (1)物體在t0到t0＋d這段時(shí)間內(nèi)的平均速度. (2)物體在t＝10 s到t＝10.1 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度． 解　(1)s(t0＋d)－s(t0)＝g(t0＋d)2－gt ＝gt0d＋gd2， 在t0到 t0＋d這段時(shí)間內(nèi)，物體平均速度為 v(t0，d)＝＝gt0＋gd. (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s， 平均速度為10g＋g0.1＝10.05g(m/s)． 規(guī)律方法　物體的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)，則從t＝t1到t＝t2的平均速度是v(t，d)＝. 跟蹤演練1　已知物體運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝2t2＋2t(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求： (1)物體在運(yùn)動(dòng)前3 s內(nèi)的平均速度； (2)物體在2 s到3 s內(nèi)的平均速度． 解　(1)物體在前3 s內(nèi)的位移為： s(3)－s(0)＝232＋23－0＝24(m)，故前3 s內(nèi)的平均速度為＝＝8(m/s)． (2)物體在2 s到3 s內(nèi)的位移為 s(3)－s(2)＝24－(222＋22)＝12(m)． 故物體在2 s到3 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為＝12(m/s)． 要點(diǎn)二　求瞬時(shí)速度 例2　已知一物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，s＝gt2(位移單位：m，時(shí)間單位：s， g＝9.8 m/s2)． (1)計(jì)算t從3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段時(shí)間內(nèi)平均速度； (2)求t＝3 s時(shí)的瞬時(shí)速度． 解　(1)當(dāng)t在區(qū)間[3,3.1]時(shí)，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝g3.12－g32＝2.989(m)， 1＝＝＝29.89(m/s)． 同理，當(dāng)t在區(qū)間[3,3.01]時(shí)，2＝29.449(m/s)， 當(dāng)t在區(qū)間[3,3.001]時(shí)，3＝29.404 9(m/s)． (2)物體在[3,3＋d]上的平均速度是： ＝＝g(6＋d) 當(dāng)d→0時(shí)，上式表達(dá)式值為3g，即物體在3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3g＝29.4(m/s)． 規(guī)律方法　平均速度即位移增量與時(shí)間增量之比 ，而瞬時(shí)速度為平均速度在d→0時(shí)的極限值，二者有本質(zhì)區(qū)別． 跟蹤演練2　槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看作勻加速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是5.0105 m/s2，槍彈從槍口中射出時(shí)所用的時(shí)間為1.610－3 s，求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度． 解　運(yùn)動(dòng)方程為s＝at2. v(t，d)＝ ＝＝ad＋at. 當(dāng)d趨于0時(shí)，ad＋at的極限為at. a＝5.0105 m/s2，t＝1.610－3 s， ∴槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為51051.610－3 m/s， 即800 m/s. 1．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1,1＋d]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為 (　　) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案　D 解析　v(1，d)＝＝－＝－2d－4. 2．已知物體位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為s＝f(t)．下列敘述正確的是(　　) A．在時(shí)間段[t0，t0＋d]內(nèi)的平均速度即是在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度 B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，這四個(gè)時(shí)刻的速度都與t＝1時(shí)刻的速度相等 C．在時(shí)間段[t0－d，t0]與[t0，t0＋d](d>0)內(nèi)當(dāng)d趨于0時(shí)，兩時(shí)間段的平均速度相等 D．以上三種說(shuō)法都不正確 答案　C 解析　兩時(shí)間段的平均速度都是在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 3．已知s＝gt2，從3秒到3.1秒的平均速度＝________. 答案　3.05g 解析?。剑?.05g. 4．如果質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程是s＝2t2－2，則在時(shí)間段[2,2＋d]內(nèi)的平均速度是________． 答案　8＋2d 解析　v(2，d)＝＝8＋2d. 1．平均速度與瞬時(shí)速度的區(qū)別與聯(lián)系 平均速度是運(yùn)動(dòng)物體在某一段時(shí)間內(nèi)位移的平均值，即用時(shí)間除位移得到，而瞬時(shí)速度是物體在某一時(shí)間點(diǎn)的速度，當(dāng)時(shí)間段越來(lái)越小的過(guò)程中，平均速度就越來(lái)越接近一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是瞬時(shí)速度，可以說(shuō)，瞬時(shí)速度是平均速度在時(shí)間間隔無(wú)限趨于0時(shí)的“飛躍”． 2．求瞬時(shí)速度的一般步驟 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為s＝f(t)，則求物體在t時(shí)刻瞬時(shí)速度的步驟為： (1)從t到t＋d這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為，其中f(t＋d)－f(t)稱(chēng)為位移的增量； (2)對(duì)上式化簡(jiǎn)，并令d趨于0，得到極限數(shù)值即為物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程s＝f(t)，在計(jì)算從t到t＋d這段時(shí)間內(nèi)的平均速度時(shí)，其中時(shí)間的增量d(　　) A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案　D 2．一物體運(yùn)動(dòng)的方程是s＝2t2，則從2 s到(2＋d) s這段時(shí)間內(nèi)位移的增量為 (　　) A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2 D．4d＋2d2 答案　C 解析　Δs＝2(2＋d)2－222＝8d＋2d2. 3．一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝3＋t2，則在時(shí)間段[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(　　) A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案　D 解析?。剑?.1. 4．一木塊沿某一斜面自由下滑，測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的方程為 s＝t2，則t＝2時(shí)，此木塊水平方向的瞬時(shí)速度為(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析?。剑剑→(Δt→0)． 5．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝2t2＋1，則從t＝1到t＝1＋d時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)距離對(duì)時(shí)間的變化率為_(kāi)_______． 答案　4＋2d 解析?。剑?＋2d. 6．已知某個(gè)物體走過(guò)的路程s(單位：m)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)：s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1； (2)t＝2到t＝2.01； (3)t＝2到t＝2.001. 則三個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度分別為_(kāi)_______，________，________，估計(jì)該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______． 答案?。?.1 m/s?。?.01 m/s?。?.001 m/s －4 m/s 7．某汽車(chē)的緊急剎車(chē)裝置在遇到特別情況時(shí)，需在2 s內(nèi)完成剎車(chē)，其位移 (單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為： s(t)＝－3t3＋t2＋20，求： (1)開(kāi)始剎車(chē)后1 s內(nèi)的平均速度； (2)剎車(chē)1 s到2 s之間的平均速度； (3)剎車(chē)1 s時(shí)的瞬時(shí)速度． 解　(1)剎車(chē)后1 s內(nèi)平均速度 1＝＝ ＝－2(m/s)． (2)剎車(chē)后1 s到2 s內(nèi)的平均速度為： 2＝ ＝ ＝－18(m/s)． (3)從t＝1 s到t＝(1＋d)s內(nèi)平均速度為： 3＝ ＝ ＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0) 即t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為－7 m/s. 二、能力提升 8．質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2t2－2，則在時(shí)間段[2,2＋Δt]內(nèi)的平均速度為(　　) A．8＋2Δt B．4＋2Δt C．7＋2Δt D．－8＋2Δt 答案　A 解析?。剑?＋2Δt. 9．自由落體運(yùn)動(dòng)的物體下降的距離h和時(shí)間t的關(guān)系式為h＝gt2，則從t＝0到t＝1時(shí)間段內(nèi)的平均速度為_(kāi)_______，在t＝1到t＝1＋Δt時(shí)間段內(nèi)的平均速度為_(kāi)_______，在t＝1時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______． 答案　g　g＋gΔt　g 解析?。絞. ＝g＋gΔt. 當(dāng)Δt→0時(shí)，g＋gΔt→g. 10．自由落體運(yùn)動(dòng)的物體下降距離h和時(shí)間t的關(guān)系式為h＝gt2，t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為19.6，則g＝________. 答案　9.8 解析?。?g＋gΔt. 當(dāng)Δt→0時(shí)，2g＋gΔt→2g. ∴2g＝19.6，g＝9.8. 11．求函數(shù)s＝2t2＋t在區(qū)間[2,2＋d]內(nèi)的平均速度． 解　∵Δs＝2(2＋d)2＋(2＋d)－(222＋2)＝9d＋2d2， ∴平均速度為＝9＋2d. 12．甲、乙二人平時(shí)跑步路程與時(shí)間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖①、②所示．問(wèn)： (1)甲、乙二人平時(shí)跑步哪一個(gè)跑得快？ (2)甲、乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時(shí)，誰(shuí)跑得快(設(shè)Δs為s的增量)? 解　(1)由題圖①在(0，t]時(shí)間段內(nèi)，甲、乙跑過(guò)的路程s甲Δs甲，所以>即快到終點(diǎn)時(shí)，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快． 三、探究與創(chuàng)新 13．質(zhì)量為10 kg的物體按照s(t)＝3t2＋t＋4的規(guī)律做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后4秒時(shí)物體的動(dòng)能． 解?。? ＝3Δt＋25， 當(dāng)Δt→0時(shí)，3Δt＋25→25. 即4秒時(shí)刻的瞬時(shí)速度為25. ∴物質(zhì)的動(dòng)能為mv2＝10252＝3 125(J) 4．1.2　問(wèn)題探索——求作拋物線(xiàn)的切線(xiàn) [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 理解并掌握如何求拋物線(xiàn)的切線(xiàn)． [知識(shí)鏈接] 1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0＋d時(shí)，函數(shù)的改變量Δy為_(kāi)_______． 答案　f(x0＋d)－f(x0) 2．函數(shù)y＝x2在x＝1處的切線(xiàn)斜率k＝________. 答案?。剑?＋Δx→2(Δx→0)． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 　求曲線(xiàn)上點(diǎn)P處切線(xiàn)斜率的方法 設(shè)P(u，f(u))是函數(shù)y＝f(x)的曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)，則求點(diǎn)P處切線(xiàn)斜率的方法是： (1)在曲線(xiàn)上取不同于P的點(diǎn)Q(u＋d，f(u＋d))，計(jì)算直線(xiàn)PQ的斜率k(u，d)＝. (2)在所求得的PQ的斜率的表達(dá)式k(u，d)中，讓d趨于0，如果k(u，d)趨于確定的數(shù)值k(u)，則k(u)就是曲線(xiàn)在P處的切線(xiàn)斜率. 要點(diǎn)一　有關(guān)曲線(xiàn)的割線(xiàn)斜率的探索 例1　點(diǎn)P(3,9)為拋物線(xiàn)y＝x2上的一點(diǎn)，A1(1,1)，A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)為拋物線(xiàn)上另外四點(diǎn)． (1)分別求割線(xiàn)PA1，PA2，PA4，PA5的斜率； (2)若A(x0，x)為曲線(xiàn)y＝x2上異于P的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A逐漸向P趨近時(shí)，說(shuō)明割線(xiàn)斜率的變化情況． 解　(1)kPA1＝＝4，kPA2＝＝5， kPA4＝＝7，kPA5＝＝＝8. (2)當(dāng)A沿曲線(xiàn)趨近于P點(diǎn)時(shí)，x0的值趨近于3，不妨設(shè)x0＝3＋d(d≠0)，當(dāng)x0→3時(shí)，d→0， 則kPA＝＝x0＋3＝(3＋d)＋3＝6＋d， 當(dāng)d→0時(shí)，kPA→6，表明隨A點(diǎn)無(wú)限趨近于P，割線(xiàn)PA的斜率無(wú)限趨近于6. 規(guī)律方法 割線(xiàn)向切線(xiàn)逼近的過(guò)程是從有限到無(wú)限的過(guò)程，也是d趨于0的過(guò)程，這一過(guò)程實(shí)現(xiàn)了從割線(xiàn)到切線(xiàn)質(zhì)的飛躍． 跟蹤演練1　已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)為函數(shù)y＝x3曲線(xiàn)上兩不同點(diǎn)． (1)當(dāng)x1＝1，x2＝2時(shí)，求kAB； (2)求當(dāng)x1＝x0，x2＝x0＋d時(shí)，A、B兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率kAB. 解　(1)kAB＝＝＝7. (2)kAB＝ ＝ ＝ ＝3x＋3x0d＋d2. 要點(diǎn)二　有關(guān)切線(xiàn)方程的探索 例2　已知曲線(xiàn)方程為y＝f(x)＝x3＋2x，求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(1,3)處的切線(xiàn)方程． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋21) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 則k(1，d)＝＝5＋3d＋d2， 當(dāng)d→0時(shí)，k(1)＝5， 則切線(xiàn)方程為y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0. 規(guī)律方法 求曲線(xiàn)上點(diǎn)(x0，y0)處切線(xiàn)方程的步驟： (1)求割線(xiàn)斜率；(2)求切線(xiàn)斜率；(3)求切線(xiàn)方程． 跟蹤演練2　求y＝f(x)＝x2－1在x＝1處的切線(xiàn)斜率及切線(xiàn)方程． 解　f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋2d， ＝d＋2→2(d→0)， 即在x＝1處切線(xiàn)斜率為2. ∵f(1)＝0， ∴切線(xiàn)方程為y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 要點(diǎn)三　求切點(diǎn)坐標(biāo) 例3　在曲線(xiàn)y＝4x2上求一點(diǎn)P使得曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)分別滿(mǎn)足下列條件： (1)平行于直線(xiàn)y＝x＋1； (2)垂直于直線(xiàn)2x－16y＋1＝0； (3)傾斜角為135. 解　設(shè)f(x)＝4x2且P點(diǎn)坐標(biāo)為(u，f(u))．在曲線(xiàn)上取另一點(diǎn)Q(u＋d，f(u＋d))，計(jì)算直線(xiàn)PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝8u＋4d. 在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于8u，所以P點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為8u. (1)因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)y＝x＋1平行，所以8u＝1. ∴u＝，f(u)＝. 即P(，)． (2)因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)2x－16y＋1＝0垂直， 所以8u(－)＝－1， ∴8u＝－1. ∴u＝－1，f(u)＝4，即P(－1,4)． (3)因?yàn)榍芯€(xiàn)傾斜角為135，所以8u＝tan 135＝－1， u＝－，f(u)＝， 即P(－，)． 規(guī)律方法　解答此類(lèi)題目，切點(diǎn)橫坐標(biāo)是關(guān)鍵信息，因?yàn)榍芯€(xiàn)斜率與之密切相關(guān)．同時(shí)應(yīng)注意解析幾何知識(shí)的應(yīng)用，特別是直線(xiàn)平行、垂直、傾斜角與斜率關(guān)系等知識(shí)． 跟蹤演練3　在拋物線(xiàn)y＝x2上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝4x－5的距離最?。? 解　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(u，f(u))，在拋物線(xiàn)上另取一點(diǎn)Q(u＋d，f(u＋d))． 直線(xiàn)PQ的斜率 k(u，d)＝ ＝＝2u＋d， 在所求得的斜率表達(dá)式中讓d趨于0，表達(dá)式趨于2u, 所求過(guò)P點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為2u，當(dāng)過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝4x－5平行時(shí)，P點(diǎn)到直線(xiàn)y＝4x－5的距離最小， 所以2u＝4，u＝2. ∵P點(diǎn)在拋物線(xiàn)y＝x2上，∴f(u)＝4， ∴所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4). 1．一物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)到圓周A處時(shí)(　　) A．運(yùn)動(dòng)方向指向圓心O B．運(yùn)動(dòng)方向所在直線(xiàn)與OA垂直 C．速度與在圓周其他點(diǎn)處相同 D．不確定 答案　B 2．若已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上的一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1＋d,1＋Δy)，則等于(　　) A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案　C 解析?。剑?＋2d. 3．過(guò)曲線(xiàn)y＝2x上兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______． 答案　1 解析　由平均變化率的幾何意義知，k＝＝1. 4．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋x的圖象上一點(diǎn)(－1，－2)及鄰近一點(diǎn)(－1＋d，－2＋Δy)，則＝________. 解析　Δy＝f(－1＋d)－f(－1) ＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d. ∴＝＝－d＋3. 答案?。璬＋3 1．求曲線(xiàn)y＝f(x)上一點(diǎn)(x0，y0)處切線(xiàn)斜率的步驟 (1)作差求函數(shù)值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)． (2)化簡(jiǎn)，用x0與d表示化簡(jiǎn)結(jié)果． (3)令d→0，求的極限即所求切線(xiàn)的斜率． 2．過(guò)某點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程 要正確區(qū)分曲線(xiàn)“在點(diǎn)(u，v)處的切線(xiàn)方程”和“過(guò)點(diǎn)(u，v)的切線(xiàn)方程”．前者以點(diǎn)(u，v)為切點(diǎn)，后者點(diǎn)可能在曲線(xiàn)上，也可能不在曲線(xiàn)上，即使在曲線(xiàn)上，也不一定是切點(diǎn)． 3．曲線(xiàn)的割線(xiàn)與切線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系 曲線(xiàn)的割線(xiàn)的斜率反映了曲線(xiàn)在這一區(qū)間上上升或下降的變化趨勢(shì)，刻畫(huà)了曲線(xiàn)在這一區(qū)間升降的程度，而曲線(xiàn)的切線(xiàn)是割線(xiàn)與曲線(xiàn)的一交點(diǎn)向另一交點(diǎn)逼近時(shí)的一種極限狀態(tài)，它實(shí)現(xiàn)了由割線(xiàn)向切線(xiàn)質(zhì)的飛躍． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．已知曲線(xiàn)y＝2x2上一點(diǎn)A(1,2)，則A處的切線(xiàn)斜率等于(　　) A．2 B．4 C．6＋6d＋2d2 D．6 答案　B 2．已知曲線(xiàn)y＝x2－2上的一點(diǎn)P(1，－)，則過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的傾斜角為(　　) A．30 B．45 C．135 D．165 答案　B 3．如果曲線(xiàn)y＝2x2＋x＋10的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝5x＋3平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 (　　) A．(－1，－8) B．(1,13) C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1) 答案　B 4．曲線(xiàn)y＝在點(diǎn)P(3,1)處的切線(xiàn)斜率為(　　) A．－ B．0 C. D．1 答案　C 解析　 ＝＝. 當(dāng)Δx→0時(shí)，→. 5．若曲線(xiàn)y＝x2＋1在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的斜率為2，則曲線(xiàn)上該切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(1,2) 6．曲線(xiàn)y＝x2＋2在點(diǎn)P(1,3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 答案　2x－y＋1＝0 解析?。溅＋2， 當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx＋2→2. 所以曲線(xiàn)y＝x2＋2在點(diǎn)P(1,3)處的切線(xiàn)斜率為2，其方程為y－3＝2(x－1)． 即為2x－y＋1＝0. 7．拋物線(xiàn)y＝x2在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋4＝0平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及切線(xiàn)方程． 解　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)， ＝＝d＋2x0， d→0時(shí)，d＋2x0→2x0. 拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為2x0， 由于切線(xiàn)平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1， 即P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)， 切線(xiàn)方程為y－1＝2(x－1)，即為2x－y－1＝0. 二、能力提升 8．曲線(xiàn)y＝－在點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析?。剑?， 當(dāng)Δx→0時(shí)，→1. 曲線(xiàn)y＝－在點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)的斜率為1，切線(xiàn)方程為y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2. 9．曲線(xiàn)f(x)＝x2＋3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______． 答案　7 解析　 ＝＝Δx＋7， 當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx＋7→7， 所以，f(x)在A處的切線(xiàn)的斜率為7. 10．曲線(xiàn)f(x)＝x2＋3x在點(diǎn)A處的切線(xiàn)的斜率為7，則A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(2,10) 解析　設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x＋3x0)， 則 ＝ ＝Δx＋(2x0＋3)， 當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3， ∴2x0＋3＝7，∴x0＝2. x＋3x0＝10.A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,10)． 11．已知拋物線(xiàn)y＝x2＋1，求過(guò)點(diǎn)P(0,0)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程． 解　設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的切點(diǎn)為Q(x0，x＋1)． 則＝Δx＋2x0. Δx→0時(shí)，Δx＋2x0→2x0. ∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1. 即切點(diǎn)為(1,2)或(－1,2)． 所以，過(guò)P(0,0)的切線(xiàn)方程為y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0. 三、探究與創(chuàng)新 12．直線(xiàn)l：y＝x＋a(a≠0)和曲線(xiàn)C：y＝x3－x2＋1相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及a的值． 解　設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)， ＝ ＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)． 故曲線(xiàn)上點(diǎn)A處切線(xiàn)斜率為3x－2x0，∴3x－2x0＝1， ∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得 或代入直線(xiàn)l， 當(dāng)時(shí)，a＝0(舍去)，當(dāng)時(shí)，a＝， 即切點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，a＝. 4．1.3　導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)的方法． 2．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義． [知識(shí)鏈接] 　曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))的切線(xiàn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 答　函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)的曲線(xiàn)必有切線(xiàn)，且導(dǎo)數(shù)值是該切線(xiàn)的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線(xiàn)在點(diǎn)x0處有切線(xiàn)，而函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如f(x)＝在x＝0處有切線(xiàn)，但它不可導(dǎo)．即若曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，但有切線(xiàn)，則切線(xiàn)與x軸垂直．若f′(x0)存在，且f′(x0)>0，則切線(xiàn)與x軸正向夾角為銳角；f′(x0)<0，切線(xiàn)與x軸正向夾角為鈍角；f′(x0)＝0，切線(xiàn)與x軸平行． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．函數(shù)在自變量的某個(gè)區(qū)間上的平均變化率 函數(shù)f(x)在x＝u處步長(zhǎng)為d的差分為f(u＋d)－f(u)，差商為，它表示函數(shù)在自變量的某個(gè)區(qū)間上的平均變化率，它反映了自變量在某個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)值變化的總體的快慢． 2．導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)區(qū)間上有定義，如果比值在d趨于0時(shí)(d≠0)趨于確定的極限值，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)或微商，記作f′(x0)，上述定義可簡(jiǎn)述為→f′(x0)(d→0)． 當(dāng)x0是f(x)的定義區(qū)間中的任意一點(diǎn)，所以也可以就是x，而f′(x)也是x的函數(shù)，叫作f(x)的導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)． 有時(shí)也可記作f′(x)＝ . 3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(xiàn)的斜率. 要點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念 例1　設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)可導(dǎo)，則當(dāng)d趨于0時(shí)，趨于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　C 解析　原式＝，當(dāng)d趨于0時(shí)，趨于f′(1)． 故原式趨于f′(1)，故選C. 規(guī)律方法　在利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值時(shí)，往往采用湊項(xiàng)的方法湊成定義的形式再解決． 跟蹤演練1　已知f(x)在x∈R時(shí)處處可導(dǎo)，若f′(1)＝1，則d→0時(shí)，的值為(　　) A. B．2 C．f′(2) D．f′() 答案　B 要點(diǎn)二　求函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 例2　已知f(x)＝，求f′(1)． 解?。剑剑?， 由于d→0時(shí)，→－1，故f′(1)＝－1. 規(guī)律方法　差分式化成分子和分母極限都在的情形(但分母極限不能為0)，如果分母極限為0，則從分母中分離出導(dǎo)致分母趨于0的因式，與分子約分消去，便可得出正確結(jié)論． 跟蹤演練2　已知f(x)＝(x>0)，求f′(1)． 解?。剑剑?， 當(dāng)d→0時(shí)，→，故f′(1)＝. 要點(diǎn)三　求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 例3　求函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，并求f′(2)． 解　＝＝－＝. 當(dāng)d→0時(shí)，－趨于－＝－. 即f′(x)＝－.∴f′(2)＝－1. 規(guī)律方法　求某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)，可先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再賦值求解f′(x0)． 跟蹤演練3　求函數(shù)f(x)＝x＋的導(dǎo)函數(shù)f′(x)及f′(1)． 解　 ＝ ＝＝1－， 當(dāng)d→0時(shí)，1－→1－， ∴f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－＝0. 要點(diǎn)四　利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程 例4　已知曲線(xiàn)C：y＝x2， (1)求曲線(xiàn)C在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程， (2)求過(guò)點(diǎn)(1,0)且與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)的方程． 解　(1)＝＝2x＋d. 當(dāng)d→0時(shí)，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2， ∴曲線(xiàn)y＝x2在(1,1)處的切線(xiàn)方程為 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)點(diǎn)(1,0)不在曲線(xiàn)y＝x2上． 設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)其切點(diǎn)為(x0，x)， 則切點(diǎn)處的斜率為2x0.切線(xiàn)方程為y－x＝2x0(x－x0) (*) 又因?yàn)榇饲芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0)． ∴－x＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2， 代入(*)式得過(guò)點(diǎn)(1,0)與曲線(xiàn) C：y＝x2相切的直線(xiàn)方程為y＝0或4x－y－4＝0. 規(guī)律方法　本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線(xiàn)方程的知識(shí)，若求某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，此點(diǎn)即為切點(diǎn)，否則除求過(guò)二次曲線(xiàn)上的點(diǎn)的切線(xiàn)方程外，不論點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上，均需設(shè)出切點(diǎn)． 跟蹤演練4　求曲線(xiàn)f(x)＝在點(diǎn)(－2，－1)處的切線(xiàn)的方程． 解　由于點(diǎn)(－2，－1)恰好在曲線(xiàn)f(x)＝上， 所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(－2，－1)處的切線(xiàn)的斜率就等于函數(shù)f(x)＝在點(diǎn)(－2，－1)處的導(dǎo)數(shù)． 而f′(－2)＝ ＝ ＝＝－， 故曲線(xiàn)在點(diǎn)(－2，－1)處的切線(xiàn)方程為y＋1＝－(x＋2)， 整理得x＋2y＋4＝0. 1．f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則 (　　) A．與x0、h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無(wú)關(guān) C．僅與h有關(guān)，而與x0無(wú)關(guān) D．與x0、h均無(wú)關(guān) 答案　B 2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列選項(xiàng)正確的是(　　) A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0 C．f′(x0)＝2x0 D．f′(x0)＝d＋2x0 答案　C 3．已知函數(shù)y＝f(x)圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)f′(xB) B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)． 3．已知曲線(xiàn)y＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析　在點(diǎn)A處的切線(xiàn)的斜率即為曲線(xiàn)y＝2x2在x＝2時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)定義可求y′＝4x，∴f′(2)＝8. 答案　C 4．已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為3，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 答案　A 解析　分別求四個(gè)選項(xiàng)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1. 5．拋物線(xiàn)y＝x2＋x＋2上點(diǎn)(1,4)處的切線(xiàn)的斜率是________，該切線(xiàn)方程為_(kāi)___________． 答案　3　3x－y＋1＝0 解析　Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li ＝ (3＋d)＝3. ∴切線(xiàn)的方程為y－4＝3(x－1)， 即3x－y＋1＝0. 6．若曲線(xiàn)y＝x2－1的一條切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y＝4x－3，則這條切線(xiàn)方程為_(kāi)___________． 答案　4x－y－5＝0 解析　∵f′(x)＝＝ ＝＝ (2x＋d)＝2x. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由題意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲線(xiàn)方程得y0＝3，故該切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,3)且斜率為4.所以這條切線(xiàn)方程為y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0. 7．求曲線(xiàn)y＝x3在點(diǎn)(3,27)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積． 解　∵f′(3)＝ ＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27， ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)(3,27)處的切線(xiàn)方程為y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0. 此切線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(0，－54)． ∴切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝254＝54. 二、能力提升 8．曲線(xiàn)y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案　A 解析　 ＝－Δx2＋3. Δx→0時(shí)，－Δx2＋3→3. ∴f′(1)＝3.即曲線(xiàn)在(1,2)處的切線(xiàn)斜率為3. 所以切線(xiàn)方程為y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 9．函數(shù)y＝f(x)圖象在M(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. 答案　3 解析　由已知切點(diǎn)在切線(xiàn)上． ∴f(1)＝1＋2＝. 切線(xiàn)的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3. 10．若曲線(xiàn)y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線(xiàn)方程為x－y＋1＝0，則a，b的值分別為_(kāi)_______，________. 答案　1　1 解析　∵點(diǎn)(0，b)在切線(xiàn)x－y＋1＝0上， ∴－b＋1＝0，b＝1. 又＝＝a＋Δx， ∴f′(0)＝a＝1. 11．已知曲線(xiàn)y＝x3＋1，求過(guò)點(diǎn)P(1,2)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程． 解　設(shè)切點(diǎn)為A(x0，y0)，則y0＝x＋1. ＝＝ Δx2＋3x0Δx＋3x. ∴f′(x0)＝3x，切線(xiàn)的斜率為k＝3x. 點(diǎn)(1,2)在切線(xiàn)上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－. 當(dāng)x0＝1時(shí)，切線(xiàn)方程為3x－y－1＝0， 當(dāng)x0＝－時(shí)，切線(xiàn)方程為3x－4y＋5＝0. 所以，所求切線(xiàn)方程為3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0. 12．求拋物線(xiàn)y＝x2的過(guò)點(diǎn)P(，6)的切線(xiàn)方程． 解　由已知得，＝2x＋d， ∴當(dāng)d→0時(shí)，2x＋d→2x， 即y′＝2x， 設(shè)此切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)(x0，x)， 又因?yàn)榇饲芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(，6)和點(diǎn)(x0，x)， 其斜率應(yīng)滿(mǎn)足＝2x0， 由此x0應(yīng)滿(mǎn)足x－5x0＋6＝0. 解得x0＝2或3. 即切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y＝x2上的點(diǎn)(2,4)，(3,9)． 所以切線(xiàn)方程分別為y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化簡(jiǎn)得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0， 此即是所求的切線(xiàn)方程． 三、探究與創(chuàng)新 13．求垂直于直線(xiàn)2x－6y＋1＝0并且與曲線(xiàn)y＝x3＋3x2－5相切的直線(xiàn)方程． 解　設(shè)切點(diǎn)為P(a，b)，函數(shù)y＝x3＋3x2－5的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋6x.故切線(xiàn)的斜率 k＝y(tǒng)′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即 P(－1，－3)．故所求直線(xiàn)方程為y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0. 4．2　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 4．2.1　幾個(gè)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4．2.2　一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解各個(gè)公式的證明過(guò)程，進(jìn)一步理解運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)的方法． 2．掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式． 3．靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． [知識(shí)鏈接] 　在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡(jiǎn)單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類(lèi)比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)？ 答　(1)計(jì)算，并化簡(jiǎn)； (2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，趨近于哪個(gè)定值； (3)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 　常見(jiàn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： (1)(c)′＝0(c為常數(shù)函數(shù))； (2)(xα)′＝αxα－1(α≠0)； (3)(ex)′＝ex； (4)(ax)′＝ax(ln_a)(a>0，a≠1)； (5)(ln x)′＝(x>0)； (6)(logax)′＝(a>0，a≠1，x>0)； (7)(sin x)′＝cos_x； (8)(cos x)′＝－sin x； (9)(tan x)′＝； (10)(cot x)′＝－. 要點(diǎn)一 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2 011；(2)y＝；(3)y＝. 解　(1)y′＝(x2 011)′＝2 011x2 011－1＝2 011x2 010. (2)y′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4＝－. (3)y′＝＝. 規(guī)律方法　對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如y＝可以寫(xiě)成y＝x－4，y＝＝等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，以免在求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤． 跟蹤演練1　求曲線(xiàn)y＝在點(diǎn)P(27，)處的切線(xiàn)斜率． 解　∵y＝＝，∴， ∴y′|x＝27＝－＝－＝－， 故所求切線(xiàn)的斜率k＝－. 要點(diǎn)二　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x. 解　(1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝′＝＝； (5)y′＝(log3x)′＝. 規(guī)律方法　求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法： (1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜； (2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式． 跟蹤演練2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4) . 解　(1)y′＝8x7； (2)y′＝xln ＝－xln 2； (3)∵y＝x＝，∴y′＝； (4) y′＝＝－. 要點(diǎn)三　利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程 例3　(1)求過(guò)曲線(xiàn)y＝sin x上點(diǎn)P且與過(guò)這點(diǎn)的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程． 解　∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率是： ＝cos＝. ∴過(guò)點(diǎn)P且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為－， 故所求的直線(xiàn)方程為y－＝－， 即2x＋y－－＝0. 規(guī)律方法　導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率；相互垂直的直線(xiàn)斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵． 跟蹤演練3　已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線(xiàn)y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線(xiàn)PQ平行的曲線(xiàn)y＝x2的切線(xiàn)方程．解　∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ的斜率為k＝＝1，而切線(xiàn)平行于PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切點(diǎn)為M. ∴所求的切線(xiàn)方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 1．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝(　　) A．0 B．2x C．6 D．9 答案　C 解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函數(shù)f(x)＝，則f′(3)等于(　　) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3．設(shè)正弦曲線(xiàn)y＝sin x上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線(xiàn)為直線(xiàn)l，則直線(xiàn)l的傾斜角的范圍是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈∪. 4．曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_(kāi)_______． 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1. ∴S△＝1＝e2. 1．利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸． 2．有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo)． 如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．對(duì)于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號(hào)的變化． 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①y＝ln 2，則y′＝；②y＝，則y′|x＝3＝－；③y＝2x，則y′＝2xln 2； ④y＝log2x，則y′＝. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析?、賧＝ln 2為常數(shù)，所以y′＝0.①錯(cuò)．②③④正確． 2．過(guò)曲線(xiàn)y＝上一點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝，故選B. 3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線(xiàn)有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝，即在點(diǎn)和點(diǎn)處有斜率為1的切線(xiàn)． 5．曲線(xiàn)y＝在點(diǎn)M(3,3)處的切線(xiàn)方程是________． 答案　x＋y－6＝0 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1， ∴過(guò)點(diǎn)(3,3)的斜率為－1的切線(xiàn)方程為： y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0. 6．若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________. 答案　64 解析　 ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率， ∴切線(xiàn)方程為． 令x＝0得；令y＝0得x＝3a. ∵該切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝3a＝18，∴a＝64. 7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ； (4)y＝log2x2－log2x. 解　(1)y′＝′＝＝. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. 二、能力提升 8．已知直線(xiàn)y＝kx是曲線(xiàn)y＝ex的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則 ∴ex0＝ex0x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲線(xiàn)y＝ln x在x＝a處的切線(xiàn)傾斜角為，則a＝______. 答案　1 解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1. 10．點(diǎn)P是曲線(xiàn)y＝ex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x的最小距離為_(kāi)_______． 答案　 解析　根據(jù)題意設(shè)平行于直線(xiàn)y＝x的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率為1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得距離為. 11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求適合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值． 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z. 12．已知拋物線(xiàn)y＝x2，直線(xiàn)x－y－2＝0，求拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離． 解　根據(jù)題意可知與直線(xiàn)x－y－2＝0平行的拋物線(xiàn)y＝x2的切線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線(xiàn)x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為， 切點(diǎn)到直線(xiàn)x－y－2＝0的距離 d＝＝， 所以?huà)佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)x－y－2＝0的最短距離為. 三、探究與創(chuàng)新 13．設(shè)f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，試求f2 014(x)． 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期為4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x. 4．2.3　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則． 2．理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 3．了解復(fù)合函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 4．能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(僅限于形如f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù))． [知識(shí)鏈接] 　前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來(lái)比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會(huì)求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？ 答　利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)(cf(x))′＝cf′(x)； (2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)； (3)(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)； (4)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5)()′＝－(f(x)≠0)； (6)()′＝(f(x)≠0)． 2．一般地，若y＝f(u)，u＝g(x)，則y′x＝fu′ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的積. 要點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解　(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (3)函數(shù)y＝3x－lg x是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x)＝lg x的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－. 規(guī)律方法　本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問(wèn)題，求導(dǎo)過(guò)程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)． 跟蹤演練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝exln x；(4)y＝lg x－. 解　(1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝＋exln x； (4)y′＝＋. 要點(diǎn)二　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝sin4＋cos4； 解　(1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(ln u)′(x＋2)′＝1＝. (2)∵y＝sin4＋cos4 ＝2－2sin2cos2 ＝1－sin2＝1－＝＋cos x， ∴y′＝－sin x. 規(guī)律方法　應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面： (1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)． (2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)． (3)一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層層地求導(dǎo)． (4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體． (5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后，就不必再寫(xiě)中間步驟． 跟蹤演練2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝e2x＋1； (2)y＝(－2)2. 解　(1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4， ∴y′＝x′－(4)′＋4′ ＝1－4＝1－. 法二　令u＝－2， 則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝2(－2)(－2)′＝ 2(－2)＝1－. 要點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 例3　求過(guò)點(diǎn)(1，－1)與曲線(xiàn)f(x)＝x3－2x相切的直線(xiàn)方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線(xiàn)斜率為 k＝f′(x0)＝3x－2 故切線(xiàn)方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)① ∵(x0，y0)在曲線(xiàn)上，∴y0＝x－2x0② 又∵(1，－1)在切線(xiàn)上， ∴將②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x－2x0) ＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 故所求的切線(xiàn)方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)． 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 規(guī)律方法　(1，－1)雖然在曲線(xiàn)上，但是經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解． 跟蹤演練3　已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求t＝3 s時(shí)物體的瞬時(shí)速度． 解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2， ∴s′(t)＝－＋2＋4t， ∴s′(3)＝－＋＋12＝， 即物體在t＝3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 m/s. 1．下列結(jié)論不正確的是(　　) A．若y＝3，則y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，則y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，則y′＝cos x＋sin x 答案　D 解析　利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項(xiàng)，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　y′＝′＝ ＝. 3．曲線(xiàn)y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線(xiàn)方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案　A 解析　∵y′＝＝， ∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝＝2， ∴切線(xiàn)方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 4．直線(xiàn)y＝x＋b是曲線(xiàn)y＝ln x(x>0)的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b＝________. 答案　ln 2－1 解析　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， ∵ y′＝，∴＝， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確