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第十一章現(xiàn)代信號處理技術(shù),這里只介紹時頻分析、高階譜分析、小波分析和獨立成分分析及其在生物醫(yī)學(xué)信號處理中的應(yīng)用第一節(jié)時頻分析(Time-FrequencyAnalysis)一、時頻分析的基本方法一般來說,時頻分析方法具有很強的能量聚集作用,不需知道信號頻率隨時間的確定關(guān)系,只要信噪比足夠高,通過時頻分析方法就可在時間——頻率平面上得到信號的時間頻率關(guān)系。時頻分析主要用來尋找信號的特征。時頻分析方法主要采用一些特殊的變換來突出信號的特征點,在非平穩(wěn)信號的處理中具有突出的優(yōu)越性。,二、短時傅立葉變換(ShortTimeFourierTransform,STFT),我們將一個信號的STFT定義如下:(11-1)其中h(t)是窗函數(shù).沿時間軸移動分析窗,我們可以得到兩維的時頻平面。STFT方法最大的優(yōu)點是容易實現(xiàn)。STFT分析實質(zhì)上是限制了時間窗長的Fourier分析.STFT只能選定一個固定的窗函數(shù),且STFT分析受限于不確定性原理,較長的窗可以改善頻域解但會使時域解變糟;而較短的窗盡管能得到好的時域解,頻域解卻會變得模糊。,三、Wigner-Ville分布(WVD),實際信號s(t)的Wigner-Ville分布定義為:(11-2)式中:x(t)為s(t)的解析信號。在Wigner-Ville分布中使用解析信號x(t)而不是原實際信號s(t)的優(yōu)點在于:第一,解析信號的處理中只采用頻譜正半部分,因此不存在由正頻率項和負頻率項產(chǎn)生的交叉項；第二,使用解析信號不需要過采樣,同時可避免不必要的畸變影響。,四、Choi-Williams分布(CWD),WD分布來源于廣義時頻分布，定義為：(11-3),通常,在處理幅度和頻率變化較大的信號時取較大的R(R>1)值;反之,則取較小R(R≤1)值。CWD滿足多數(shù)所希望的時頻特性,其抑制交叉項的能力還取決于被分析信號的時頻結(jié)構(gòu)。因此,實際應(yīng)用中需要綜合考慮。,五、Cone核分布(CKD)等,當核函數(shù)時，廣義時頻分布進一步變成Cone核分布：(11-4)式中，。,CKD具有較好的抑制橫向交叉項的能力,適合處理這樣的信號,即在一個小的范圍內(nèi)頻率分布是正值,而在此之外頻率分布是負值,參數(shù)R確定范圍的大小。,六、Hilbert變換與瞬時頻率,對任意時間序列x(t),可得到它的Hilbert變換:(11-5),定義瞬時頻率為:(11-6)定義了瞬時頻率,就可以得到信號各個時間點的頻率變化情況。比起傳統(tǒng)的小波分析等方法,這種計算頻率的方法不再受限于不確定性原理（還比如傅氏變換）。然而需要指出的是,瞬時頻率是時間的單值函數(shù),因而在任意給定時刻只有一個頻率值,也就是說它只能描述一種成份。對于單成份的信號,它才能夠給出比小波分析更為精確的時頻描述。,第二節(jié)高階譜分析,采用高階累計量方法處理生理信號，它的主要優(yōu)點有：①抑制加性有色噪聲；②辨識非最小相位系統(tǒng)；③抽取由于高斯性偏離引起的各種信息；④既包含幅度信息又包含相位信息。利用高階統(tǒng)計量進行頻譜分析，存在著經(jīng)典法和參數(shù)模型法。經(jīng)典法利用快速傅里葉變換及加窗技術(shù)進行譜估計，要求有較長的觀測數(shù)據(jù)，否則，估計的方差很大且分辨率低，根源還是傅立葉變換的缺點。針對這一情況，多采用基于三階累積量的非高斯AR模型法進行參數(shù)化雙譜估計。與功率譜分析比較，運用基于高階累計量的譜估計算法估計信號，消除了高斯噪聲的影響，使估計結(jié)果更準確，并且保留了信號的相位特性，提供更多的內(nèi)在信息。,第三節(jié)小波分析基礎(chǔ),小波分析包括小波變換到小波基的構(gòu)造以及小波的應(yīng)用一系列的知識，本節(jié)簡單地介紹一下小波分析的產(chǎn)生、發(fā)展、基本要素以及一維小波變換，連續(xù)小波變換等小波基礎(chǔ)。一、小波的引入小波分析是傅立葉分析最輝煌的繼承、總結(jié)和發(fā)展。1.Fourier變換1822年，F(xiàn)ourier正式出版推動世界科學(xué)研究進展的巨著——《熱的解析理論》（TheAnalyticTheoryofHeat）。由于這一理論成功地求解了困擾科學(xué)家150年之久的牛頓二體問題微分方程，因此Fourier分析成為幾乎每個研究領(lǐng)域科學(xué)工作者樂于使用的數(shù)學(xué)工具，尤其是理論科學(xué)家。目前，F(xiàn)ourier的思想和方法得到廣泛應(yīng)用。,2.Fourier分析的主要內(nèi)容,從本質(zhì)上講，F(xiàn)ourier變換就是一個棱鏡（Prism），它把一個信號函數(shù)分解為眾多的頻率成分，這些頻率又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)，這種變換是可逆的且保持能量不變。圖11-1傅立葉變換與棱鏡,二、小波分析的發(fā)展歷程,1.小波分析起源與追蹤1981年，Morlet仔細研究了Gabor變換方法，對Fourier變換與加窗Fourier變換的異同、特點及函數(shù)構(gòu)造做了創(chuàng)造性研究，首次提出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波。2.多分辨分析及Mallat算法的建立Mallat與Meyer創(chuàng)立多分辨分析和Mallat算法。3.Daubechies小波的提出Daubechies建立了著名的Daubechies小波，這種小波是目前應(yīng)用最廣泛的一種小波,不能用解析公式給出，只能通過迭代方法產(chǎn)生，是迭代過程的極限。,三、小波分析的基本思想、基本原理與基本方法,1小波分析的主要內(nèi)容小波基的構(gòu)造與選擇，快速小波算法,對小波變換本身的研究,對應(yīng)用場合的合理把握.定義函數(shù)ψ(t)是小波函數(shù)，如果它滿足（11-16）或者定義（11-16）對小波函數(shù)的要求非常寬松，只要具有一定振蕩性即某種頻率特性即可。這就為小波函數(shù)的選擇提供了十分廣闊的空間。小波函數(shù)ψ（t）的平移和伸縮{2-j/2ψ（2-jt-k）|j,k€Z}構(gòu)成L2（R）的一組正交小波基。,2小波函數(shù),3尺度函數(shù),定義函數(shù)是尺度函數(shù)，如果它滿足條件（Ⅰ）A，B為正常數(shù)。（Ⅱ）k∈Z，k≠0，m＝0，1，….，L－1。（III）尺度函數(shù)有兩個重要作用：（1）它給出分析的起始點；（2）它使得快速計算小波系數(shù)成為可能。,4小波包,不嚴格地講，小波包就是一個小波函數(shù)與一個擺動振蕩函數(shù)的乘積。小波包的嚴格數(shù)學(xué)定義如下:定義:設(shè)ψ（t）,ψ（t）分別為小波函數(shù)與尺度函數(shù)，g(n),h(n)分別為高通濾波器與低通濾波器系數(shù)，g(n)=（-1）nh（1-n），令(11-21)于是有(11-22)則由(11-23)定義的函數(shù)μn,n=2ι+1,ι=0,1,…稱為關(guān)于正交尺度函數(shù)μ0=的小波包。,四、一維小波分析,1小波變換小波變換指信號與局部化特性良好的小波函數(shù)的內(nèi)積，即。設(shè)信號，為母小波函數(shù)，。a是非零實數(shù)，b是實數(shù)。那么的小波變換為(11-24)如果為實函數(shù)，那么上式變成(11-25),2連續(xù)小波變換,假定、的窗函數(shù)的中心與半徑分別為，，則及其Fourier變換的窗函數(shù)中心與半徑分別為，，于是連續(xù)小波變換就形成了對時間t和頻率w能同時局部化的時間－頻率窗這就是著名的連續(xù)小波變換時間－頻率窗。正因為如此，小波可以在時頻（t，w）兩相精確定位，而被譽為數(shù)學(xué)的顯微鏡。,3離散小波變換,設(shè)信號取離散值，為有限能量信號，為母小波函數(shù)，，則離散式，那么離散小波變換為：(11-27),4一維Mallat算法,設(shè)尺度函數(shù)為，對應(yīng)的小波函數(shù)為，滿足尺度方程其中，同時可以構(gòu)造相應(yīng)的MRA系統(tǒng)。那么信號在尺度j下所平滑的信號為(11-29),在尺度j下的細節(jié)信號為(11-30)信號分解的過程是j＋1尺度到j(luò)尺度的逐步分解過程，即對信號從分辨率高到低的過程，具體是把分解為和，總結(jié)如下：(11-31),第五節(jié)獨立成分分析技術(shù),一、ICA的定義,假設(shè)我們獲得了n個線性混合信號：j=1~n（11-34）即：（11-35）混合向量x1，…，xn構(gòu)成矩陣X，s1，…，sn構(gòu)成矩陣S，混合矩陣A的元素是aji。那么（11-35）式可以寫成：（11-36）方程（11-36）的統(tǒng)計模式被稱為獨立成份分析或ICA模式，,圖11-5ICA混合模式圖11-6分離獨立成份模式,二、獨立性,數(shù)學(xué)上，獨立性可以由概率密度來解釋。令p(y1,y2)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，p(y1)為邊緣概率密度函數(shù)，那么：（11-38）同理可得p(y2)。變量y1和y2相互獨立，當且僅當滿足下式：（11-39）,四、ICA估計的原理,非高斯就是獨立的直觀地講估計ICA模型的關(guān)鍵就是非高斯性。2.峰度值（Kurtosis）經(jīng)典的測量非高斯性就是峰度值（kurtosis）或四階累積量。y的峰度值定義為：（11-43）3.負熵（Negentropy）和負熵近似（ApproximationsofNegentropy）負熵在某些簡單假設(shè)下熵就是隨機變量的編碼長度。離散隨機變量Y的熵H定義為：（11-46）ai是Y的可能值。,隨機向量y及其密度f(y)的微熵定義為：（11-47）信息理論的一個基本結(jié)論是：在所有相同方差下的隨機變量中，高斯變量有最大的熵。為了讓獲得的非高斯性測量一直為非負值（高斯變量為0），我們經(jīng)常采取對微熵的形式做一修改的辦法，稱為負熵。負熵J定義為：（11-48）ygauss是與y具有同樣協(xié)方差矩陣的高斯隨機變量?？梢娯撿匾恢狈秦摚斍覂H當y是高斯分布是為0。負熵的另一個有意義的特性是它對可逆線性變換無變化。,(2)負熵近似4互信息量最小化互信息量(3)互信息量定義的ICA既然互信息量是隨機變量獨立性的信息理論測量法，我們就可以用之作為尋找ICA變換的判句。,近似負熵的經(jīng)典方法是采用高階矩。,采用微熵的概念定義m（尺度）隨機變量的互信息量為：（11-53）互信息量是隨機變量間獨立的自然測量。事實上它等效于聯(lián)合密度f(y)和邊緣密度乘積之間的著名Kullback-Leibler分散。它為零，當且僅當變量統(tǒng)計獨立。,5極大似然估計,一個更常用的估計ICA模型的方法是極大似然估計，它與信息極大原理密切相關(guān)。(1)信息極大原理假設(shè)x是輸入，輸出的格式是，是一些非線性尺度函數(shù)，wi是神經(jīng)元的權(quán)向量。使輸出的熵最大化：（11-58）如果選擇得當，這個框架也能夠估計ICA模式?？梢宰C明網(wǎng)絡(luò)熵最大化或信息極大原理相當于極大似然估計。顯然極大似然估計ICA的原理就是求解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的最大熵，也是一個最優(yōu)化問題。(2)極大似然估計與互信息量的聯(lián)系,為了考察極大似然估計和互信息量間的聯(lián)系，考慮對數(shù)似然（方程11-57）的期望：（11-59）如果fi等于的實際分布（因為我們起先假設(shè)它為si的分布），上式左邊第一項等于，因此似然等于負的互信息量加一個額外的常數(shù)。實際應(yīng)用時，這種聯(lián)系更強烈。因為實際應(yīng)用中我們不知道獨立成份的分布。作為極大似然估計的一部分，用一個合理的方法估計的密度，并用它作為si的密度的近似，此時似然法和互信息對于所有的實際目的是等效的。,五、快速ICA算法,ICA預(yù)處理一些非常有用的預(yù)處理（1）中心化（centering）最基本的和必須的預(yù)處理是給x定中心.（2）白化（whitening）一個最普通的白化方法是用協(xié)方差矩陣特征值分解。由矩陣分析理論可知，必存在一個正交陣E使E{xxT}=EDET，E是E{xxT}的特征值的正交矩陣，D是E{xxT}的特征值構(gòu)成的對角陣。用下述的方法實現(xiàn)白化：,（11-61）,D-1/2是D中每一個元素開1/2次方，稱為白化陣，由它很容易證明（11-60）式。白化把混合矩陣A變成了一個新的矩陣，因為：（11-62）(3)進一步預(yù)處理（furtherpreprocessing）ICA獲取數(shù)據(jù)的成功嚴重地依賴于某些應(yīng)用相關(guān)的預(yù)處理步驟。2.快速ICA（theFastICA）FastICA算法的基本格式是：,同時可見白化減少了估計參數(shù)的個數(shù)。白化解決了ICA問題的一半。,a.選擇初始權(quán)向量w（可以隨機選擇），設(shè)置收斂誤差。b.計算。c.計算，即歸一化。d.判斷w的收斂性：是否大于或小于。如果小于則收斂，否則重復(fù)2，3，4步。e.收斂結(jié)果可能是-w或+w，又一次說明了獨立成份的強度不能唯一重構(gòu)。,