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第四章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,本章簡(jiǎn)介本章討論李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。主要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義以及分析系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法;著重討論李雅普諾夫第二法及其在線性系統(tǒng)和3類非線性系統(tǒng)的應(yīng)用、李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造、,最后介紹李亞普諾夫穩(wěn)定性問(wèn)題的Matlab計(jì)算與程序設(shè)計(jì)。,目錄(1/1),目錄概述4.1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性4.2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性4.3利亞普諾夫判穩(wěn)第一方法4.4利亞普諾夫判穩(wěn)第二方法4.5利亞普諾夫判穩(wěn)方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用本章小結(jié),概述一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如,電壓自動(dòng)調(diào)解系統(tǒng)中保持電機(jī)電壓為恒定的能力;電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向?yàn)橐欢ǖ哪芰Φ取＞哂蟹€(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動(dòng)地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個(gè)系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。,也可以說(shuō),系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后,系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值)過(guò)渡過(guò)程的收斂性,用數(shù)學(xué)方法表示就是式中，?x(t)為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的變化量;?為任意小的規(guī)定量。如果系統(tǒng)在受到外擾后偏差量越來(lái)越大,顯然它不可能是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。,分析一個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關(guān)注的最重要問(wèn)題。對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，常利用經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。在經(jīng)典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產(chǎn)生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實(shí)用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)關(guān)系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性,未研究系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)。,再則，對(duì)于非線性或時(shí)變系統(tǒng),雖然通過(guò)一些系統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內(nèi)應(yīng)用,但是難以勝任一般系統(tǒng)。現(xiàn)代控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,大都存在非線性或時(shí)變因素,即使是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身,往往也需要根據(jù)性能指標(biāo)的要求而加以改變,才能適應(yīng)新的情況,保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\(yùn)行狀態(tài)。在解決這類復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí),最通常的方法是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性理論,即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。,實(shí)際上,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。經(jīng)典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性。內(nèi)部穩(wěn)定性：是關(guān)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。,早在1892年,俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)發(fā)表題為“運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題”的著名文獻(xiàn),建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究的一般理論。,百余年來(lái),李雅普諾夫理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學(xué)、力學(xué)、控制理論、機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。李雅普諾夫把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。,第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過(guò)討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點(diǎn))分布及穩(wěn)定性來(lái)討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這是一種較簡(jiǎn)捷的方法,與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為李雅普諾夫第一法。第二類方法不是通過(guò)解方程或求系統(tǒng)特征值來(lái)判別穩(wěn)定性,而是通過(guò)定義一個(gè)叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為李雅普諾夫第二法。,李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可用來(lái)分析線性定常系統(tǒng),而且也能用來(lái)研究時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng),離散時(shí)間系統(tǒng)、離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、邏輯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這正是其優(yōu)勢(shì)所在。,可是在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里,李雅普諾夫第二法并沒(méi)有引起研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的人們的重視,這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)討論系統(tǒng)輸入輸出間關(guān)系的經(jīng)典控制理論占有絕對(duì)地位。隨著狀態(tài)空間分析法引入動(dòng)態(tài)系統(tǒng)研究和現(xiàn)代控制理論的誕生,李雅普諾夫第二法又重新引起控制領(lǐng)域人們的注意,成為近40年來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的最主要方法,并得到了進(jìn)一步研究和發(fā)展。本章將詳細(xì)介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,李雅普諾夫第一法和第二法的理論及應(yīng)用。,本章需解決的問(wèn)題:動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性理論--李雅普諾夫穩(wěn)定性基本概念:平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性基本方法:李雅普諾夫第一法、李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法在線性定常系統(tǒng)的應(yīng)用--李雅普諾夫方程的求解,重點(diǎn)！,重點(diǎn)與難點(diǎn)！,經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù)，奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù)非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非線性系統(tǒng)),第一節(jié)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性,外部穩(wěn)定性：初始條件為零的線性系統(tǒng)，對(duì)任何有界的輸入作用下，若系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應(yīng)的輸出也是有界的，就稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱BIBO穩(wěn)定。,有界的輸入,,有界的輸出,BIBO穩(wěn)定,—該定義針對(duì)一般的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)的（線性、非線性的）,BIBO穩(wěn)定的意義：,單輸入單輸出系統(tǒng)：,,多輸入多輸出系統(tǒng)（r個(gè)輸入、m個(gè)輸出）：,,每個(gè)分量有界,特別指出,對(duì)于線性定常系統(tǒng)而言：外部穩(wěn)定的充分必要條件為其傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)位于S平面的左半邊,第二節(jié)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性,1李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定性是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)一個(gè)重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指標(biāo)。它反映的是系統(tǒng)的一種本質(zhì)特征。這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變,但可通過(guò)系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。這也是控制理論和控制工程的精髓。在經(jīng)典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產(chǎn)生有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問(wèn)題。從經(jīng)典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動(dòng)都無(wú)關(guān),而非線性系統(tǒng)則不然。,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的,我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。對(duì)于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所以只有對(duì)線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問(wèn)題。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論,不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。本節(jié)先討論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)--李雅普諾夫穩(wěn)定性定義。,本節(jié)主要討論李雅普諾夫意義下的各種穩(wěn)定性的定義和意義。本節(jié)主要問(wèn)題為:基本概念:平衡態(tài)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、大范圍漸近穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性基本方法:求解平衡態(tài)方法要掌握好李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,重要的是深刻掌握和理解李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的實(shí)質(zhì)和意義。在這里,空間想象力對(duì)理解李雅普諾夫穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)和意義非常有幫助。,下面將分別介紹如下李雅普諾夫穩(wěn)定性有關(guān)定義。平衡態(tài)狀態(tài)矢量范數(shù)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性大范圍漸近穩(wěn)定性不穩(wěn)定性平衡態(tài)穩(wěn)定性與輸入輸出穩(wěn)定性的關(guān)系,難點(diǎn),要理解!,1平衡態(tài)設(shè)我們所研究的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x,t)其中;對(duì)該非線性系統(tǒng),其平衡態(tài)的定義如下。,定義1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)x’=f(x,t)的平衡態(tài)是使f(x,t)?0的狀態(tài),并用xe來(lái)表示。即從定義可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)向量為零向量的點(diǎn)(狀態(tài))。由于導(dǎo)數(shù)表示的狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),如上圖所示。,李雅普諾夫穩(wěn)定性研究的平衡態(tài)附近(鄰域)的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題。若平衡態(tài)附近某充分小鄰域內(nèi)所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)最后都趨于該平衡態(tài),則稱該平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;若發(fā)散掉則稱為不穩(wěn)定的,若能維持在平衡態(tài)附近某個(gè)鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)變化則稱為穩(wěn)定的,如上圖所示。,顯然,對(duì)于線性定常系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當(dāng)矩陣A為非奇異時(shí),線性系統(tǒng)只有一個(gè)孤立的平衡態(tài)xe=0;而當(dāng)A為奇異時(shí),則存在無(wú)限多個(gè)平衡態(tài),且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài),而構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個(gè)子空間。對(duì)于非線性系統(tǒng),通?？捎幸粋€(gè)或幾個(gè)孤立平衡態(tài),它們分別為對(duì)應(yīng)于式f(x,t)?0的常值解。,例如,對(duì)于非線性系統(tǒng),其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組,的解,即下述狀態(tài)空間中的三個(gè)狀態(tài)為其孤立平衡態(tài)。,對(duì)于孤立平衡態(tài),總是可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。因此,不失一般性,為了便于分析,我們常把平衡態(tài)取為狀態(tài)空間的原點(diǎn)。值得指出的是，由于非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性具有局部性特點(diǎn),因此在討論穩(wěn)定性時(shí),通常還要確定平衡態(tài)的穩(wěn)定鄰域(區(qū)域)。,范數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為度量n維空間中的點(diǎn)之間的距離。對(duì)n維空間中任意兩點(diǎn)x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應(yīng)有各種具體范數(shù)的定義。在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為,其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。,二.狀態(tài)矢量范數(shù),狀態(tài)矢量范數(shù)：表示狀態(tài)向量與平衡狀態(tài)之間的距離,考慮n維狀態(tài)矢量,其范數(shù)定義為(平衡狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點(diǎn)),那么矢量x和y的距離定義為：,特別的,定義2(李雅普諾夫穩(wěn)定性)若狀態(tài)方程x’=f(x,t)所描述的系統(tǒng),對(duì)于任意的?>0和任意初始時(shí)刻t0,都對(duì)應(yīng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)?(?,t0)>0,使得對(duì)于任意位于平衡態(tài)xe的球域S(xe,?)的初始狀態(tài)x0,,當(dāng)從此初始狀態(tài)x0出發(fā)的狀態(tài)方程的解x都位于球域S(xe,?)內(nèi),則稱系統(tǒng)的平衡態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的,,三、Lypunov意義下穩(wěn)定性定義：,三、Lypunov意義下穩(wěn)定性定義：,——初始狀態(tài),——狀態(tài)軌跡,——平衡狀態(tài),那么稱平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下是漸近穩(wěn)定的。,如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個(gè)充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，當(dāng)時(shí)，收斂于，則稱為漸近穩(wěn)定。即,三、Lypunov意義下穩(wěn)定性定義：,——初始狀態(tài),——狀態(tài)軌跡,——平衡狀態(tài),如果對(duì)以任意有限狀態(tài)為初始狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡是有界的，并且,那么稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，或稱全局漸近穩(wěn)定的。,三、Lypunov意義下穩(wěn)定性定義：,——初始狀態(tài),——狀態(tài)軌跡,不管多大的，都找不到，使得由滿足不等式,——平衡狀態(tài),的任意初始狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡滿足不等式,那么稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,幾點(diǎn)說(shuō)明：,對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，只要分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性即可。,對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若有多個(gè)平衡狀態(tài)，要對(duì)各個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行分析。,穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定是兩個(gè)不同的概念。通常要求漸近穩(wěn)定。,對(duì)線性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么就是大范圍漸近穩(wěn)定的。,內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的關(guān)系：,若線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則一定是外部穩(wěn)定的；若線性定常系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，則不一定內(nèi)部穩(wěn)定的；若線性定常系統(tǒng)是能控能觀的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性等價(jià)。,