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5.1線性微分方程組解的存在唯一性定理,Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,?掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系。?理解線性微分方程組解的存在唯一性定理。?熟練掌握解的逐次逼近序列的構(gòu)造方法。,本節(jié)要求/Requirements/,5.1.1記號與定義/SymbolandDefinition/,一階微分方程組,初值條件,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,一階線性微分方程組,…(5.1),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,……….(5.2),……(5.3),………….(5.4),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,,,可定義矩陣與向量函數(shù),在區(qū)間,連續(xù):,連續(xù)。,在區(qū)間,可微:,可微。,在區(qū)間,可積:,可積。,在區(qū)間,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,上的連續(xù)維向量，方程組,上連續(xù)且滿足,定義1,設(shè),是區(qū)間,上的連續(xù),矩陣，,是區(qū)間,………….(5.4),在某區(qū)間,的解就是向量,在區(qū)間,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,定義2,初值問題(CauchyProblem),………….(5.5),的解就是方程組(5.4)在包含,使得,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,例1驗證向量,是初值問題,在區(qū)間,上的解。,解,因此是給定初值問題的解。,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1.2n階線性微分方程與一階線性微分方程組等價,例1,令,解,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,,滿足,,,解,構(gòu)造向量,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,,解,,滿足,,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,令,,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,………(5.6),,等價,………(5.7),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,,,例2,令,,將初值問題,化為與之等價的一階方程組的初值問題。,解,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,例3,將下列方程組化為高階方程,解,注意：不是所有方程組都可化為高階方程,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1.3存在唯一性定理,初值問題(CauchyProblem),………….(5.5),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,定理1,f(t)是n維列向量，,上連續(xù)，則對于區(qū)間,上的任何數(shù),及任一常數(shù)向量,方程組(5.5)存在唯一解,定義于整個區(qū)間,上，且滿足初始條件,如果,矩陣，,它們都在區(qū)間,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,現(xiàn)取,，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列：,向量函數(shù),稱為(5.4)的第k次近似解。,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,例4,求方程組的初值問題,的二次近似解。,解,令,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,5.1.4簡單方程組的消元法,例5求解方程組,解,關(guān)鍵：保留一個未知函數(shù)，消掉另一個未知函數(shù),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,方程組的解為,,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,例6求解方程組,解：,保留一個未知函數(shù)x，消掉另一個未知函數(shù)y,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,,另外，由,,方程組的解為,,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,練習(xí)：,2求方程組的初值問題,的二次近似解。,1P.1842(b),5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,作業(yè)：P.184第2(c),3題。,3求下列方程組的解,5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs,