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線性代數(shù)第四章,第四章線性方程組與向量組的線性相關(guān)性,本章教學(xué)內(nèi)容1消元法與線性方程組的相容性2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩矩陣的行秩與列秩4線性方程組解的結(jié)構(gòu),1消元法與線性方程組的相容性,本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.線性方程組的概念2.Cramer(克萊姆)法則3.用消元法解線性方程組,1消元法與線性方程組的相容性,1.線性方程組的概念n元線性方程組的一般形式為記：稱A為系數(shù)矩陣，x為未知列，b為常數(shù)列，則線性方程組可寫成矩陣形式Ax=b,1消元法與線性方程組的相容性,設(shè)n元線性方程組Ax=b，若A按列分塊為A=(?1,?2,…,?n)，則方程組可寫成向量形式?1x1+?2x2+…+?nxn=b若b=0,即Ax=0稱為齊次線性方程組若b≠0,即Ax=b稱為非齊次線性方程組若n維列向量?=(?1,?2,…,?n)T滿足A?=b，則稱x1=?1,x2=?2,…,xn=?n是Ax=b的一個(gè)解，并稱?是Ax=b的一個(gè)解向量，或說x=?是Ax=b的解。,1消元法與線性方程組的相容性,設(shè)n元線性方程組Ax=b，稱Ax=0為與它對應(yīng)的齊次線性方程組，若n維列向量?(≠0)滿足A?=0，則稱x=?是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)非零解，顯然x=0是Ax=0的一個(gè)解，稱它為Ax=0的零解，或當(dāng)然解，或平凡解。若線性方程組Ax=b有解，則稱它是相容的，否則稱它是不相容的。性質(zhì)齊次線性方程組是相容的。,1消元法與線性方程組的相容性,2.Cramer法則設(shè)n個(gè)方程的n元線性方程組Ax=b，若?A?≠0，則線性方程組Ax=b有惟一解其中Dj是以b代替A的第j列所得到的n階行列式。,1消元法與線性方程組的相容性,證Ax=b，#,1消元法與線性方程組的相容性,例1.1解線性方程組解,,,,,1消元法與線性方程組的相容性,Cramer法則對于線性方程組的求解有重要的理論意義。但是，它只能求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同、且其系數(shù)行列式的值不為零的線性方程組，隨著未知量個(gè)數(shù)的增加，計(jì)算變得十分困難.下面，我們來討論一般的線性方程組的解法。,1消元法與線性方程組的相容性,3.用消元法解線性方程組定義1.1若線性方程組A1x=b1的解都是線性方程組A2x=b2的解；反之，線性方程組A2x=b2的解都是線性方程組A1x=b1的解，則稱線性方程組A1x=b1與線性方程組A2x=b2同解。在中學(xué)，我們已經(jīng)知道(1)方程兩邊同乘一個(gè)非零常數(shù)，方程的解不變；(2)方程兩邊同乘一個(gè)常數(shù),然后加到另一個(gè)方程上，方程組的解也不變(即加減消元法)。因此，就有,1消元法與線性方程組的相容性,定理1?若(A1,b1)經(jīng)初等行變換化為(A2,b2)，則線性方程組A1x=b1與線性方程組A2x=b2同解。事實(shí)上，倍法變換相當(dāng)于第i個(gè)方程兩邊同乘一非零常數(shù)；消法變換相當(dāng)于加減消元法；換法變換相當(dāng)于交換兩個(gè)方程的次序，故線性方程組的解不變。定義(A,b)稱線性方程組Ax=b的增廣矩陣。,1消元法與線性方程組的相容性,用消元法解線性方程組的思想方法是：解線性方程組Ax=b(1)用初等行變換將增廣矩陣(A,b)化為最簡行階梯形矩陣(C,d)；(2)解方程組Cx=d，其解即是方程組Ax=b的解.,1消元法與線性方程組的相容性,例1.2用消元法解線性方程組解,,,,1消元法與線性方程組的相容性,于是方程組的解為,,R(A)=R(A,b)=3(未知量個(gè)數(shù))方程組有惟一解。,1消元法與線性方程組的相容性,例1?用消元法解線性方程組解,1消元法與線性方程組的相容性,原方程組可化為,此稱方程組的一般解(或通解),R(A)=R(A,b)=2<4(未知量個(gè)數(shù))方程組有無窮多組解,自由未知量個(gè)數(shù)=4-2=2.,,x3與x4可任意取值，稱為自由未知量,1消元法與線性方程組的相容性,例2?用消元法解線性方程組解,8,8,6,6,1,1消元法與線性方程組的相容性,原方程組可化為所以方程組無解.,1,矛盾方程組,R(A)≠R(A,b)方程組無解,,1消元法與線性方程組的相容性,由上述例題可知定理2?設(shè)n元線性方程組Ax=b，⑴R(A)=R(A,b)=n?方程組Ax=b有惟一解;⑵R(A)=R(A,b)t，它有非零解。,2向量組的線性相關(guān)性,推論2.5若向量組?1,?2,…,?s可由?1,?2,…,?t線性表示，?1,?2,…,?s線性無關(guān)，則有s≤t.推論2.6若向量組?1,?2,…,?s與?1,?2,…,?t等價(jià)，且都線性無關(guān)，則有s=t.,2向量組的線性相關(guān)性,本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.理解向量組的線性組合、線性表示、等價(jià)關(guān)系、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；2.熟悉向量組線性相關(guān)的有關(guān)定理，會判斷、證明向量組的線性無關(guān)(或線性相關(guān))。作業(yè)：習(xí)題4.2(A)第2,4,9題,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.向量組的秩2.矩陣的行秩與列秩,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,1.向量組的秩定義3.1若向量組?1,?2,…,?s的部分向量組的個(gè)數(shù)r稱為向量組?1,?2,…,?s的秩，記作R(?1,?2,…,?s).,極大線,性無關(guān)組，,簡稱極大無關(guān)組；,極大無關(guān)組所含向量,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,注⑴只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0；⑵定義3.1中的條件(2)??1,?2,…,?s的任意r+1個(gè)向量線性相關(guān);⑶?1,?2,…,?s線性無關(guān)?R(?1,?2,…,?s)=s;⑷?1,?2,…,?s線性相關(guān)?R(?1,?2,…,?s)0)⑹向量組的極大無關(guān)組未必惟一.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.1向量組與它的任一極大無關(guān)組等價(jià).證:推論3.1一向量組的任兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).推論3.2一向量組的秩是惟一確定的.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.2若向量組?1,?2,…,?s可由向量組?1,?2,…,?t線性表示，則R(?1,?2,…,?s)≤R(?1,?2,…,?t).證：,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.3等價(jià)的向量組有相同的秩。證：設(shè)?1,?2,…,?s)與?1,?2,…,?t等價(jià)，則?1,?2,…,?s可由?1,?2,…,?t線性表示，且?1,?2,…,?t可由?1,?2,…,?s線性表示，所以R(?1,?2,…,?s)≤R(?1,?2,…,?t)，且R(?1,?2,…,?t)≤R(?1,?2,…,?s)，故R(?1,?2,…,?s)=R(?1,?2,…,?t).#,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.1設(shè)向量組?1,?2,…,?s可由向量組?1,?2,…,?t線性表示，且R(?1,?2,…,?s)=R(?1,?2,…,?t)=r，試證：?1,?2,…,?s與?1,?2,…,?t等價(jià).證：,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,#,,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,2.矩陣的行秩與列秩定義矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩，矩陣A的列向量組的秩稱為A的列秩。例3.2設(shè)矩陣A的行向量組?1=(1,1,1)，?2=(0,1,2)，?3=(0,0,0)，顯然?1,?2線性無關(guān)，?1,?2,?3是線性相關(guān)，即?1,?2是?1,?2,?3是的極大無關(guān)組，故稱為A的行秩為2；,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.2設(shè)矩陣A的列向量組?1,?2線性無關(guān)，?3=2?2-?1,即?1,?2是?1,?2,?3是的極大無關(guān)組，故稱為A的列秩為2。這里A的行秩=A的列秩=R(A)=2,,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.4矩陣A的行秩=A的列秩=R(A).證：設(shè)R(A)=r，則A有r階子式Dr≠0，A中Dr所在的r個(gè)列向量線性無關(guān)；而A的任意r+1階子式Dr+1=0，則A中任意r+1個(gè)列向量線性相關(guān)，所以A的列秩=r.R(AT)=R(A)=r，則AT的列秩=r，即A的行秩=r.注：由此定理知，可用初等變換求向量組的秩及極大無關(guān)組。由定理3.4及第三章定理3.1可推知,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,設(shè)列向量組?1,?2,…,?n,則⑴⑵⑶⑷,,(證明自行完成),,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,若B為行階梯形矩陣，則⑴⑵⑶,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例3.3設(shè)矩陣求A的秩和A的列向量組?1,?2,?3,?4,?5的極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示。解,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,可知R(A)=3,?1,?2,?4是A的列向量組的極大無關(guān)組，?3=-?1-?2，?5=4?1+3?2-3?4.,,,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,例4設(shè)矩陣求A的行秩和A的行向量組的極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的行向量用極大無關(guān)組線性表示.解,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,所以A的行向量組?1,?2,?3的秩=2，?1,?2是A的行向量組?1,?2,?3的極大無關(guān)組，?3=?1-2?2.,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.5設(shè)A,B均為mn矩陣，則R(A+B)≤R(A)+R(B)證,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,定理3.6設(shè)A為mn矩陣，B為np矩陣，則R(AB)≤min{R(A),R(B)}證,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,#,3向量組的秩矩陣的行秩與列秩,本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念、向量組的秩的的概念、矩陣的行秩與列秩的概念，熟悉相關(guān)的定理。2.會求向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩，會用極大線性無關(guān)組線性表示向量組的其它向量，會討論證明向量組的秩的問題。作業(yè)：習(xí)題4.3(A)第2(2),3(1),4題。選做：習(xí)題4.3(A)第5,8題。習(xí)題4.3(B)第1,2,3題。,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),4線性方程組解的結(jié)構(gòu),1.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),性質(zhì)2證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定義4.1注⑴只有零解的齊次線性方程組無基礎(chǔ)解系；⑵Ax=0的基礎(chǔ)解系是Ax=0的解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。⑶,基礎(chǔ)解系。,亦稱結(jié)構(gòu)解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定理4.1n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)s=n-R(A)，且Ax=0的任意s個(gè)線性無關(guān)的解向量都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。(證明P102～P104，課外閱讀),4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.1求下列方程組的基礎(chǔ)解系解,,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為或,可見答案不惟一。,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.2證明對任意實(shí)矩陣A，R(ATA)=R(A).證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)3證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),性質(zhì)4證,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),定理4.2證由性質(zhì)1,2,4知,亦稱結(jié)構(gòu)解,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),#,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.3求解方程組解,,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),原方程組可化為注通解的表達(dá)式不惟一。用向量表示的通解亦稱結(jié)構(gòu)解.,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.4設(shè)?1,?2,?3是4元線性方程組Ax=b的解,且解方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含4-R(A)=1個(gè)向量，由性質(zhì)1,3知Ax=0有解向量,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),即,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),例4.5設(shè)4階方陣A=(?1,?2,?3,?4),其中?2,?3,?4線性無關(guān)，?1=2?2-4?4，如果?=?1+2?2+3?3+4?4，求線性方程組Ax=?的通解.解由?2,?3,?4線性無關(guān)，?1=2?2-4?4知R(A)=3,方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含4-R(A)=1個(gè)向量，由?1-2?2+4?4=0,得,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),則?是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，由?=?1+2?2+3?3+4?4，得則?0是方程組Ax=?的解，所以Ax=?的通解為x=k?+?0,(k為任意常數(shù)),,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),即,4線性方程組解的結(jié)構(gòu),本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.熟悉線性方程組的解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理,2.會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,會求線性方程組的結(jié)構(gòu)解；會用線性方程組的解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理解決有關(guān)的問題。作業(yè)：習(xí)題4.4(A)第1(1),5,6題。,,,