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1,第五章解線性方程組的直接方法,計算方法,——矩陣三角分解法,2,本講內(nèi)容,一般線性方程組LU分解與PLU分解,對稱正定線性方程組平方根法－－Cholesky分解,對角占優(yōu)三對角線性方程組追趕法,3,LU分解,矩陣的LU(Doolittle)分解,矩陣的LDR分解,克洛脫(Crout)分解,4,計算LU分解,利用矩陣乘法直接計算LU分解,L?U=A,?比較等式兩邊的第一行得：,u1j=a1j,比較等式兩邊的第一列得：,?比較等式兩邊的第二行得：,比較等式兩邊的第二列得：,(j=1,…,n),(i=2,…,n),(j=2,…,n),(i=3,…,n),5,計算LU分解,第k步：此時U的前k-1行和L的前k-1列已經(jīng)求出,直到第n步，便可求出矩陣L和U的所有元素。,6,LU分解算法,算法：(LU分解),Matlab程序參見：ex51.m,,,乘除法運算量：(n3-n)/3,為了節(jié)省存儲空間，通常用A的絕對下三角部分來存放L(對角線元素無需存儲)，用A的上三角部分來存放U,7,PLU分解,矩陣的PLU分解,Matlab程序：上機練習(xí),8,Cholesky分解,對稱正定矩陣的三角分解－－Cholesky分解,定理：設(shè)A是對稱矩陣，若A的所有順序主子式都不為0，則A可唯一分解為其中L為單位下三角陣，D為對角矩陣,A=LDLT,定理：（Cholesky分解）若A對稱正定，則A可唯一分解為其中L為下三角實矩陣，且對角元素都大于0,A=LLT,9,計算Cholesky分解,Cholesky分解的計算,直接比較等式兩邊的元素,計算公式,10,Cholesky分解算法,算法：(Cholesky分解),11,平方根法,A對稱正定,算法：(解對稱正定線性方程組的平方根法),12,改進的Cholesky分解,計算公式,改進的Cholesky分解,13,改進的Cholesky分解,forj=1tonend,i=j+1,…,n,算法：(改進的Cholesky分解),優(yōu)點：避免開方運算,14,改進的平方根法,A對稱正定,算法：(解對稱正定線性方程組的改進的平方根法),15,追趕法,對角占優(yōu)的三對角矩陣的LU分解,計算公式,,i=2,3,…,n-1,,16,,追趕法,A三對角矩陣（對角占優(yōu)）,算法：(追趕法),運算量：5n-4,