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大學(xué)物理,第四章 動(dòng)量和角動(dòng)量,本章主要內(nèi)容：,1. 動(dòng)量定理及守恒定律,2. 角動(dòng)量定理及守恒定律,3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,4. 碰撞,一、動(dòng) 量,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,度量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的量,動(dòng) 量,,,與質(zhì)量和速度有關(guān)的狀態(tài)量,,1、瞬時(shí)性 2、矢量性 3、相對(duì)性,在直角坐標(biāo)系中,在國(guó)際單位制（SI）千克·米/秒（kg·m/s）,二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理(動(dòng)量的變化與作用量的關(guān)系）,由牛頓第二定律：,表示力的時(shí)間累積，叫時(shí)間d t 內(nèi)合外力 的沖量。,1）微分形式：,2）積分形式：,若為恒力：,,1、 沖量(impulse),力對(duì)時(shí)間的積累產(chǎn)生的效果是什么呢 ？,沖量是力對(duì)時(shí)間的積累。,2、動(dòng)量定理,1）微分形式：,由 得：,在一個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。,2）積分形式：,對(duì)上式積分，,1、反映了過(guò)程量與狀態(tài)量的關(guān)系。,3、只適用于慣性系。,從動(dòng)量定理可以知道，在相等的沖量作用下，不同質(zhì)量的物體，其速度變化是不相同的，但它們的動(dòng)量的變化卻是一樣的，所以從過(guò)程角度來(lái)看，動(dòng)量比速度能更恰當(dāng)?shù)胤从沉宋矬w的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，一般描述物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)參量，用動(dòng)量比用速度更確切些。動(dòng)量和位矢是描述物體機(jī)械狀態(tài)的狀態(tài)參量。,3、動(dòng)量定理分量形式,即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動(dòng)量在該方向上分量的增量。,在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為∶,在低速運(yùn)動(dòng)情況下，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是恒量，動(dòng)量定理可寫(xiě)為,,,1) 沖力 : 碰撞過(guò)程中物體間相互作用時(shí)間極短，相互作用力 很大，而且往往隨時(shí)間變化，這種力通常稱為沖力。,若沖力很大, 其它外力可忽略時(shí), 則：,若其它外力不可忽略時(shí), 則 是合外力的平均。,2) 平均沖力 : 沖力對(duì)碰撞時(shí)間的平均值。,即：,4、動(dòng)量定理的應(yīng)用 增大、減小沖力作用,例題4-1 人在跳躍時(shí)都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。 若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會(huì)發(fā)生什么情況？,解 設(shè)人的質(zhì)量為M，從高h(yuǎn) 處跳向地面，落地的速率為v0 ，與地面碰撞的時(shí)間為t ，重心下移了s 。,由動(dòng)量定理得：,設(shè)人落地后作勻減速運(yùn)動(dòng)到靜止，則：,設(shè)人從 2m 處跳下，重心下移 1cm，則：,可能發(fā)生骨折。,,,設(shè)人的體重為70 kg，此時(shí)平均沖力：,例4-2 質(zhì)量為m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，接觸時(shí)間為10-3s。求∶1)地板對(duì)球的平均沖力 2)沖力的沖量和重力的沖量。,中的F 實(shí)為合外力，除沖力外 還有重力。,即∶,2)沖力的沖量：,重力的沖量：,外力的沖量可忽略,,由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：,n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：,— 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程,即：,即∶質(zhì)點(diǎn)系所受合外力等于系統(tǒng)總動(dòng)量的變化率。,,三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程,1、微分形式：,動(dòng)量定理的微分式,它表明∶在一個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于 系統(tǒng)在同一時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。,2 、積分形式：,由 得：,對(duì)上式積分，,動(dòng)量定理的積分式,即：,四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：,內(nèi)力可以改變一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但對(duì)系統(tǒng)總動(dòng)量 的改變無(wú)貢獻(xiàn)。,3 、動(dòng)量定理分量形式,即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動(dòng)量 在該方向上分量的增量。,在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為∶,解 選取車(chē)廂和車(chē)廂里的煤 m 和即將落入車(chē)廂的煤 d m 為研究的系統(tǒng)。取水平向右為正。,t 時(shí)刻系統(tǒng)的水平總動(dòng)量：,t + dt 時(shí)刻系統(tǒng)的水平總動(dòng)量:,dt 時(shí)間內(nèi)水平總動(dòng)量的增量：,由動(dòng)量定理得：,例題4-3 一輛裝煤車(chē)以v = 3m/s 的速率從煤斗下面通過(guò)，每秒落入車(chē)廂的煤為⊿m = 500kg。如果使車(chē)廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車(chē)廂？ （摩擦忽略不計(jì)),一、動(dòng)量守恒定律,對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，由,知，當(dāng),時(shí),——?jiǎng)恿渴睾愣?應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)應(yīng)注意∶,①,系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.并不意味著每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量不變，,在內(nèi)力的作用下，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)一般均不斷改變著其動(dòng)量。但總的動(dòng)量和保持不變，即內(nèi)力不改變總動(dòng)量，這一結(jié)論與內(nèi)力的性質(zhì)無(wú)關(guān)。,② 若外力與內(nèi)力相比較小得多時(shí)，可認(rèn)為近似滿足動(dòng)量守恒條件。例如碰撞、打擊、爆炸等現(xiàn)象中重力和摩擦力等可忽略不計(jì)。,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量就保持不變。,不受外力。,外力矢量和為零,③ 動(dòng)量守恒定律由牛頓定律導(dǎo)出，但它比牛頓定律應(yīng)用的范圍更廣泛。不僅適用于宏觀現(xiàn)象而且適用于微觀現(xiàn)象。,④ 動(dòng)量和力是矢量，可沿坐標(biāo)軸分解，當(dāng)沿某坐標(biāo)方向所受合外力為零時(shí)，總動(dòng)量沿該方向的分量守恒。,⑤ 動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。,例題4-4 質(zhì)量為M，仰角為α的炮車(chē)發(fā)射了一枚質(zhì)量為m的炮彈，炮彈發(fā)射時(shí)相對(duì)炮身的速率為u，不計(jì)摩擦，求∶(1)炮彈出口時(shí)炮車(chē)的速率；(２)發(fā)射炮彈過(guò)程中，炮車(chē)移動(dòng)的距離(炮身長(zhǎng)為L(zhǎng))。,解(１)選炮車(chē)和炮彈為系統(tǒng),地面為參考系,系統(tǒng)所受合外力為N,mg,Mg都沿豎直方向，水平方向合外力為零，系統(tǒng)總動(dòng)量x分量守恒。設(shè)炮彈出口時(shí)相對(duì)于地面的水平速度為vx,,炮身的反沖速度為v’x,對(duì)地面參考系有,由相對(duì)速度的概念可得,得,負(fù)號(hào)表示炮車(chē)反沖速度與x軸正向相反。,（２）若以u(píng)(t)表示炮彈在發(fā)射過(guò)程中任一時(shí)刻炮彈相對(duì)炮車(chē)的速率，則此時(shí)炮車(chē)相對(duì)地面的速率,設(shè)炮彈經(jīng)t1s出口，在t1s內(nèi)炮車(chē)沿水平方向移動(dòng)了,解得,負(fù)號(hào)表示炮身沿x軸負(fù)向后退。,例題4-5：光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊A,B的質(zhì)量均為m,彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，其一端固定在O點(diǎn)，另一端與滑塊A接觸，開(kāi)始時(shí)滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑塊A脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上升，升到C點(diǎn)與軌道脫離，O’C與豎直方向成α＝60°，求彈簧被壓縮的距離x.,解：①設(shè)滑塊A離開(kāi)彈簧時(shí)速度為v,在彈簧恢復(fù)原形的過(guò)程中機(jī)械能守恒,②A脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速度，A靜止，B以初速v沿圓環(huán)軌道上升。,③B在圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,當(dāng)滑塊B沿半圓環(huán)軌道上升到C點(diǎn)時(shí)，滿足,,（4）,,（1）、（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解可得,例題4-5如圖，兩個(gè)帶理想彈簧緩沖器的小車(chē)A和B，質(zhì)量分別為m1和m2．B不動(dòng)，A以速度 與B碰撞，如已知兩車(chē)的緩沖彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，在不計(jì)摩擦的情況下，求兩車(chē)相對(duì)靜止時(shí)，其間的作用力為多大？（彈簧質(zhì)量略而不計(jì)）,解：兩小車(chē)碰撞為彈性碰撞，在碰撞過(guò)程中當(dāng)兩小車(chē)相對(duì)靜止時(shí)，兩車(chē)速度相等。,在碰撞過(guò)程中，以兩車(chē)和彈簧為 系統(tǒng)，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒。,x1、x2分別為相對(duì)靜止時(shí)兩彈簧的壓縮量．由牛頓第三定律,相對(duì)靜止時(shí)兩車(chē)間的相互作用力,一、質(zhì)心,質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況可能是各不相同的，很復(fù)雜的，為了簡(jiǎn)潔描述質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，引入質(zhì)量中心(簡(jiǎn)稱質(zhì)心：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心)的概念。,N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)∶,位矢分別為,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為∶,取質(zhì)量為,并與質(zhì)點(diǎn)系具有相同動(dòng)量的質(zhì)點(diǎn)C,其位矢為,,其速度為,，則有,C稱為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，,稱為質(zhì)心的位矢。,可以證明：質(zhì)心相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，即質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系本身是一個(gè)特定的位置。,,引入質(zhì)心后，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量表示式一樣簡(jiǎn)潔。得質(zhì)心C的坐標(biāo),對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系∶,(1)幾何形狀對(duì)稱的均勻物體，質(zhì)心就是幾何對(duì)稱中心。 (2)有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上，但有明確的物理意義。 (3)重心是重力合力的作用點(diǎn)，尺寸不大的物體，質(zhì)心與重心重合。,二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度。由于,———質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量乘上質(zhì)心的加速度,說(shuō)明∶,①質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只由質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力決定，內(nèi)力對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生影響。,時(shí)，,④質(zhì)點(diǎn)系受的合外力在某個(gè)方向?yàn)榱銜r(shí)， 在該方向的投影等于恒矢量，該方向動(dòng)量守恒。,②質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理不能描述各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)應(yīng)是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的疊加。,③質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)由于內(nèi)力和外力的作用，其運(yùn)動(dòng)情況可能很復(fù)雜，但質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可能很簡(jiǎn)單。,例題4-6 一長(zhǎng)為L(zhǎng)，密度分布不均勻的細(xì)棒，其質(zhì)量線密度 λ=λ0x/L .λ0為常量，x從輕端算起，求其質(zhì)心。,解∶取坐標(biāo)原點(diǎn)與輕端相重合，x軸沿棒長(zhǎng)方向，如圖，取質(zhì)元,x,例題4-7 質(zhì)量分別為m1和m2的兩質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì) 點(diǎn)系，質(zhì)心處于靜止?fàn)顟B(tài)。質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)以 半徑r1，速率v1繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn) m2的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,,解 如圖所示，取質(zhì)心為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，可得 兩質(zhì)點(diǎn)的位矢滿足如下方程,,,由于質(zhì)心靜止，所以質(zhì)心的動(dòng)量為零，即,,,,即動(dòng)量的大小為,如何描述質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)？,SI 中 ： kg·m 2 / s,的方向：用右手螺旋法則確定。,b）、相對(duì)性(1)參考系不同，矢徑不同，動(dòng)量不同，角動(dòng)量也不同。(2)原點(diǎn)O選取的不同，則位置矢量不同，角動(dòng)量也不同。 ——質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量,1. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,C）、 的直角坐標(biāo)系中的分量式,1、做圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) m 對(duì)圓心O 的角動(dòng)量,,方向： 與 同向，垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面， 與質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞向成右手螺旋關(guān)系,結(jié)論：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量是恒量。,方向：由右手螺旋定則確定。,質(zhì)點(diǎn)對(duì)O’點(diǎn)的角動(dòng)量為：,3）若O 取在直線上，則：,質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)。,t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：,2、作直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,1）若物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)同一參考點(diǎn)O，則,2）對(duì)不同的參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)有不同的恒定角動(dòng)量．,大小：,t2 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：,！參考點(diǎn)不能選擇在直線上,2、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：,系統(tǒng)的角動(dòng)量等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量之和：,二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,將角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：,定義：作用于質(zhì)點(diǎn)上的合外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩,2、在直角坐標(biāo)系中,方向：由右手螺旋定則確定。,4、作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力矩等于合外力的力矩。,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。,力矩滿足疊加原理：作用于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的各個(gè)力的力矩的矢量和（合力矩）等于各個(gè)力的合力的力矩。,和 是對(duì)同一慣性系中同一參考點(diǎn)而言的,3、相對(duì)性：依賴于參考點(diǎn)O 的選擇。,（1）、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量微分形式,（2）、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理積分形式,角動(dòng)量定理∶質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的角沖量。,力矩對(duì)時(shí)間的積累產(chǎn)生的效應(yīng)是角動(dòng)量的變化。,,例題4-8 質(zhì)量為m、線長(zhǎng)為l 的單擺，可繞點(diǎn)O 在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: ①擺線與水平線成θ角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn)O 的角動(dòng)量； ② 擺球到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，角速度的大小。,解 ①任意位置時(shí)受力為：重力；張力。,由角動(dòng)量定理：,瞬時(shí)角動(dòng)量：,,重力對(duì)O 點(diǎn)的力矩為：,方向：垂直于紙面向里。,張力對(duì)O 點(diǎn)的力矩為零。,,,,,,,,,,,,,,,三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：,作用力和反作用力對(duì)同一點(diǎn)力矩的矢量和等于零。,系統(tǒng)的角動(dòng)量等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的角動(dòng)量之和：,方向：垂直板面向外，大小：,方向：垂直板面向里，大?。?作用力與反作用力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的矢量和為零。,2、積分形式：,質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。,1、微分形式：,只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)， 內(nèi)力矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，但不影響系統(tǒng)的 總角動(dòng)量。,質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間變化率 — 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理。,一、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律,若質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩,若對(duì)某一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。 ———質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律,例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)地球的角動(dòng)量守恒。,1、有心力， 與位矢 在同一直線上，從而 。,2、當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力矩對(duì)某一方向的分量為零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿此方向的分量守恒。,并不等于：,注意：,解 如圖，行星在太陽(yáng)引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，Δt時(shí)間內(nèi)行星徑矢掃過(guò)的面積,由于行星只受有心力作用，其角動(dòng)量守恒,例題4-9 利用角動(dòng)量守恒定律證明開(kāi)普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的徑矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積(面積速度)是常量。,面積速度:,,例題4-10 我國(guó)在1971年發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星在以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行．已知衛(wèi)星近地點(diǎn)的高度h1=226km，遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度h2=1823km，衛(wèi)星經(jīng)過(guò)近地點(diǎn)時(shí)的速率v1=8.13km/s，試求衛(wèi)星通過(guò)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速率和衛(wèi)星運(yùn)行周期 （地球半徑R=6.37×103km）．,解 衛(wèi)星軌道如圖所示．由于衛(wèi)星所受地球引力為有心力，所以衛(wèi)星對(duì)地球中心的角動(dòng)量守恒．,,在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，位矢的大小為,若坐標(biāo)原點(diǎn)取在地心，則衛(wèi)星在軌道的近地點(diǎn)時(shí)，位矢的大小為,,設(shè)衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速率為v1,且近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度與該處的徑矢垂直，故由角動(dòng)量守恒定律可得,,,故有,設(shè)橢圓軌道的面積為S，衛(wèi)星的面積速度為dS/dt，則衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期,,a、b分別為橢圓軌道的長(zhǎng)半軸和短半軸，分別為,,,可得,例題補(bǔ) 用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)， 其半徑為r0 ，角速度為 ?，F(xiàn)通過(guò)圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r 時(shí)小球的角速度。,解 選取平面上繩穿過(guò)的小孔O為原點(diǎn)。,所以小球?qū) 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。,因?yàn)槔K對(duì)小球的的拉力 沿繩指向小孔，則力 對(duì)O 點(diǎn)的力矩：,二、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律：,— 角動(dòng)量守恒定律,1、角動(dòng)量守恒的條件是合外力矩等于零。合外力為零不一定 合外力矩等于零。,3、系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量可交換。,4、適用于慣性系，也可適用于微觀現(xiàn)象。,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩對(duì)某參考點(diǎn)為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)該參考點(diǎn)守恒。,例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。,2、分量形式的角動(dòng)量守恒定律仍然成立。,三、力偶 力偶矩,大小相等、方向相反、不在同一條直線上的一對(duì)力稱為力偶。,合力矩：,例題4-11 兩人質(zhì)量相等,位于同一高度，各由繩子一端開(kāi)始爬繩， 繩子與輪的質(zhì)量不計(jì)，軸無(wú)摩擦。他們哪個(gè)先達(dá)頂？,解 選兩人及輪為系統(tǒng)，O 為參考點(diǎn)，取垂直板面向外為正。,系統(tǒng)所受外力如圖。,產(chǎn)生力矩的只有重力。,,,,即兩人同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。,由角動(dòng)量定理：,法二: ( 角動(dòng)量守恒 ),1、若其中一個(gè)人不動(dòng)，外力矩情況依然，內(nèi)力矩對(duì)角動(dòng)量 無(wú)貢獻(xiàn)，因而角動(dòng)量守恒。,即輕者先到達(dá)。,2、若m1≠m2，則,系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動(dòng)量守恒。,解 取三個(gè)小球和細(xì)桿組成的系統(tǒng)，O點(diǎn)為參考點(diǎn)，各質(zhì)點(diǎn)受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，對(duì)O點(diǎn)的力矩的矢量和為零。O點(diǎn)對(duì)細(xì)桿的作用力對(duì)點(diǎn)的力矩為零．系統(tǒng)所受的合外力矩為零．所以，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒．,,,,解∶ 取小球與地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。,由角動(dòng)量守恒得,聯(lián)立解得,例題4-13 質(zhì)量為m的小球A,以速度v0沿質(zhì)量為M半徑為R的地球表面切向水平向右飛出，地軸OO’與v0平行，小球A的運(yùn)動(dòng)軌道與軸OO’相交于點(diǎn)C,OC=3R,若不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求小球A在點(diǎn)C的速度與OO’軸之間的夾角θ。,一、碰撞及其分類(lèi),3、碰撞分類(lèi)∶ 彈性碰撞──碰撞后形變消失，無(wú)機(jī)械能損失； 非彈性碰撞──碰撞后，形變不能恢復(fù)。—部分機(jī)械能變成熱能； 完全非彈性碰撞──碰撞后粘在一起，不再分開(kāi)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能損失最大。,二、正碰,1.碰撞定律 兩個(gè)小球相互碰撞，如果碰后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和碰前的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或?qū)π呐鲎病?牛頓認(rèn)為∶碰撞后的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料決定，即,e 稱為恢復(fù)系數(shù),,當(dāng)e =0 時(shí)為完全非彈性碰撞,,時(shí) 非彈性碰撞.,動(dòng)量守恒∶,2. 一維正碰,和碰撞定律,,聯(lián)立解得,,,當(dāng)e =0 時(shí)為完全非彈性碰撞,當(dāng)e =1 時(shí)為彈性碰撞,正碰中質(zhì)量相等的兩個(gè)小球在彈性碰撞中彼此交換速度。 一個(gè)質(zhì)量很小的物體與一個(gè)質(zhì)量很大的靜止物體相碰，質(zhì)量小的 物體改變運(yùn)動(dòng)方向，而質(zhì)量大的靜止物體幾乎保持不動(dòng)。,表示碰后兩物體以同一速度運(yùn)動(dòng)，并不分開(kāi)。,3.碰撞過(guò)程中動(dòng)能的損失,,,,三、斜碰（二維碰撞）,系統(tǒng)的動(dòng)量守恒,,y方向上有,,,,x方向上（按正碰）有,與一維碰撞一樣，二維碰撞也分為彈性碰撞和非彈性碰撞。 對(duì)于彈性碰撞仍然遵守機(jī)械能守恒定律。,例題4-15 質(zhì)量分別為m和m′的兩個(gè)小球，系于等 長(zhǎng)線上，構(gòu)成連于同一懸掛點(diǎn)的單擺，如圖所示。 將m拉至h高處，由靜止釋放。在下列情況下，求 兩球上升的高度。（1）碰撞是完全彈性的； （2）碰撞是完全非彈性的。,,解 （1）碰撞前小球m的速度 ，由于碰撞是完全彈性的， 所以滿足動(dòng)量守恒，并且碰撞前后動(dòng)能相等。設(shè)兩小球碰撞后的速 度分別為v和v′，則有,,,可解得,,上升的高度分別為H和H′,,,（2）完全非彈性碰撞，設(shè)兩球的共同速度為u，由動(dòng)量守恒定律可得,,,,二球上升的高度為,例題4-16： 熱中子被靜止氦核散射。氦核M,熱中子m,且M/m=4,散射為彈性碰撞。中子的散射角θ＝111°，求中子在散射過(guò)程中損失了多少能量？,解：系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,化簡(jiǎn)得,三式聯(lián)立得,散射后與散射前中子動(dòng)能之比為,所以動(dòng)能損失了50%。,一、對(duì)稱性與守恒定律：,1、對(duì)稱性——對(duì)某種幾何形體施行某種操作，使它的形狀和位置都不顯現(xiàn)任何可覺(jué)察的變化。稱這種形體具有幾何對(duì)稱性。雪花、昆蟲(chóng)、晶體……。,舉例：球體通過(guò)任意中心軸的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,若球體上加記號(hào)“·”，不再具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，稱為“對(duì)稱性破缺”。,2、物理學(xué)中的對(duì)稱性:,系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài) → 另一個(gè)狀態(tài)——變換或操作。 一個(gè)變換使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)→ 另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，稱該系統(tǒng)對(duì)這一變換(操作)是對(duì)稱的。 這個(gè)變換(操作)叫該系統(tǒng)的一個(gè)對(duì)稱操作。,物理學(xué)中兩類(lèi)不同性質(zhì)的對(duì)稱性：,(1)系統(tǒng)或某具體事物的對(duì)稱性(例如,兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)具有軸對(duì)稱),(2)物理規(guī)律的對(duì)稱性——經(jīng)一定的變換(操作),物理規(guī)律的 形式保持不變。 例如:牛頓定律經(jīng)伽利略變換具有形式不變性,稱為具有對(duì)稱性。,3、物理定律的對(duì)稱性,研究物理定律在某種操作下的不變性。,1） 、物理定律時(shí)間平移不變性 物理定律對(duì)時(shí)間的均勻性。不改變實(shí)驗(yàn)條件的情況下，今天與明天應(yīng)得到相同的結(jié)果。,2） 、物理定律空間平移不變性 空間具有對(duì)稱性。不同地點(diǎn)做實(shí)驗(yàn)，應(yīng)得到相同的結(jié)果。,4） 、物理定律鏡像不變性 空間左右對(duì)稱。例如：鏡像鐘、鏡像電動(dòng)機(jī)，遵守相同 的規(guī)律。,5） 、物理定律的慣性系變換不變性 慣性系之間是完全對(duì)稱的。低速下，牛頓定律在 伽利略變換下具有形式不變性； 高速下，在洛 倫茲變化下，牛頓定律不具有形式不變性，故需 將它改造為相對(duì)論力學(xué)規(guī)律。,3） 、物理定律空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性,物理定律的對(duì)稱性可用一種否定形式來(lái)敘述：,我們不可能通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)來(lái)確定我們所處的時(shí)間的絕對(duì)值，空間的絕對(duì)位置，空間的絕對(duì)方向，空間絕對(duì)的左或絕對(duì)的右，所在參考系的絕對(duì)的速度。,物理定律的對(duì)稱性——反映時(shí)空特性。,守恒定律與物理規(guī)律在一定變換(操作)下的不變性密切相連。,諾特定理(1918)：如果物理規(guī)律在某一個(gè)不明顯依賴時(shí)間的變換下具有不變性，必然有一個(gè)守恒定律存在。,諾特定理的意義：,二、時(shí)空對(duì)稱性與三大守恒定律,它對(duì)某一個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律在某一個(gè)變化下的形式不變性與守恒定律的存在聯(lián)系起來(lái)了。而且指出：若運(yùn)動(dòng)規(guī)律在某一個(gè)變換群中所有變換都具有不變性,則:守恒定律數(shù)=變換群中變換數(shù)。,1 、空間平移不變性與動(dòng)量守恒,,,,,,,,,,在這樣的條件下，粒子1 和粒子2所受到的力分別為：,兩個(gè)粒子體系的總動(dòng)量不隨時(shí)間改變,2.空間的各向同性與角動(dòng)量守恒定律,B粒子固定,A粒子沿B的圓弧運(yùn)動(dòng),相對(duì)勢(shì)能的改變?yōu)?而上述操作不改變相對(duì)勢(shì)能,兩粒子的相互作用力沿兩者的連線，與角動(dòng)量守恒是等價(jià)的。,時(shí)間的均勻性——能量守恒定律,粒子之間的相互作用可用相互作用勢(shì)能表示，時(shí)間的均勻性意味著這種相互作用勢(shì)能只與兩粒子之間的相對(duì)位置有關(guān)，而不應(yīng)隨時(shí)間的平移而改變。在這種情況下系統(tǒng)的能量總是守恒的,運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)空間原點(diǎn)選擇的平移不變性決定了動(dòng)量守恒；運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)空間轉(zhuǎn)動(dòng)的不變性決定了角動(dòng)量守恒；運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)時(shí)間原點(diǎn)選擇的平移不變性決定了能量守恒。,3. 時(shí)間均勻性與能量守恒,如果系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)與計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱這個(gè)系統(tǒng)具有 時(shí)間平移不變性或時(shí)間均勻性。從微觀角度看，在所有的系統(tǒng)中， 粒子與粒子之間的相互作用可用相互作用勢(shì)能來(lái)表示，時(shí)間均勻 性意味著這種相互作用勢(shì)能只與兩粒子之間的相對(duì)位置有關(guān)，而 不應(yīng)隨時(shí)間的平移而改變，在這種情況下，系統(tǒng)的總能量是守恒的。,