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第 1 頁 中文提要 在數(shù)學(xué)中 ,圖形也像文字那樣具有記錄作用 ,而且比文字更形象 ,所以有助于學(xué)生探索解題路徑 ,有利于形象記憶 ,又可交流思想 。本 文主要討論圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用與研究，經(jīng)反復(fù)閱讀中學(xué)數(shù)學(xué)教材， 參考教育心理學(xué)，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等文獻(xiàn)，將研究分為 (一 )圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)中如何應(yīng)用 ， (二 )在圖形教學(xué)中， 應(yīng) 注意 什么 ， (三 )認(rèn)真抓好圖形入門教學(xué) ， (四 )如何解圖形綜合題 ， (五 )圖形的應(yīng)用給學(xué)生帶來怎樣的影響五個(gè)方面進(jìn)行探討，在研究中發(fā)現(xiàn)圖形領(lǐng)域的教學(xué) 向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中真正理解 和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法 ，發(fā)現(xiàn)了圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性。 通過本次課題的研究加深了對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材和學(xué)生在學(xué)習(xí)中的心理的了解。 第 2 頁 n as a so it to is to of on in in to of is a) of in of in (b) in a of (e) of of to to in to to to in of to he of to of in 第 3 頁 關(guān)鍵詞： 圖形 中學(xué)數(shù)學(xué) 心理 影響 應(yīng)用 (一 )引言 在數(shù)學(xué)中 ,圖形也像文字那樣具有記錄作用 ,而且比文字更形象 ,所以有助于學(xué)生探索解題路徑 ,有利于形象記憶 ,又可交流思想 ,因此我們把圖形作語言來使用 ,圖 形語言用得好 ,將大大有利于我們的幾何學(xué)習(xí) ,真正起到事半功倍的作用 . (二 )圖形在中學(xué)數(shù)學(xué) 中如何 應(yīng)用 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中 ,圖形主要應(yīng)用于幾何，幾何一直是大多數(shù)學(xué)生的難題，對(duì) 于幾何，我們要善于歸納總結(jié)，熟悉常見的特征圖形。舉個(gè)例子， 如圖 ,已知 A， B， C 三點(diǎn)共線，分別以 邊向外作等邊 △等邊 △如果再?zèng)]有其他附加條件，那么你能從這個(gè)圖形中找到哪些結(jié)論？如果我們通過很多習(xí)題能夠總結(jié)出：一般情況下題目中如果有兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等邊三角形就必然會(huì)出現(xiàn)一對(duì)旋轉(zhuǎn)式的全等三角形的結(jié)論，這樣我們很容易得 出 △在這對(duì)全等三角形的基礎(chǔ)上我們還會(huì)得出 △△等邊三角形， C 等主要結(jié)論，這些結(jié)論也會(huì)成為解決其它問題的橋梁。 還有相似三角形中的兩種基本圖形，就是我們熟知的 A 字形和 8 字形， 在幾何的學(xué)習(xí)中這樣典型的圖形很多，要善于總結(jié)。 慮問題全面也是學(xué)好幾何至關(guān)重要的一點(diǎn)。在幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到分兩種或多種情況來解的問題，那么我們?cè)趺茨芨玫慕鉀Q這部分問題呢？這要靠平時(shí)的點(diǎn)滴積累，對(duì)比較常見的分情況考慮的問題要熟悉。例如 說到等腰三角形的角要考慮是頂角還是底角，說到等腰三角形的邊要考慮是底還是腰，說到過一點(diǎn)作直線和圓相交，要考慮點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系， 相交、相切、相離， 所以要畫出三種圖形。在幾何教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到多媒體教學(xué)，這讓學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)印象更加深刻，使學(xué)生知其然，又知其所以然。運(yùn)用多媒體可以將教學(xué)中涉及的事物形象、過程等全部內(nèi)容再現(xiàn)于課堂，使教學(xué)過程形象生動(dòng)，使難以覺察的東西清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生的感覺能力可 第 4 頁 及的范圍之內(nèi)。例如：在教學(xué) “ 角的認(rèn)識(shí) ” 這一課時(shí)，教學(xué)生如何畫角是一個(gè)重要內(nèi)容。我們可以先用多媒體演示畫角的步驟和基 本方法，由于用多媒體演示，手段新穎，學(xué)生的注意力集中，給學(xué)生留下的表象深刻。演示結(jié)束后，教師再到黑板上示范畫角， 并且把步驟講解清楚 ， 最后讓學(xué)生獨(dú)立畫角。這樣的教學(xué)過程設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的心理需求，使學(xué)生對(duì)畫角方法清楚明了，教學(xué)效果好。 (三 )在圖形教學(xué)中， 應(yīng) 注意 什么 要注意以下幾點(diǎn) : 第一，高度重視圖形導(dǎo)言課的教學(xué)，精心設(shè)計(jì)并以極大的熱情講好導(dǎo)言課，使學(xué)生產(chǎn)生一種要學(xué)好有關(guān)圖形知識(shí)的良好愿望．這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣起奠基作用． 第二，要善于挖掘教材的實(shí)質(zhì)，聯(lián)系學(xué)生感興趣的生活原型，使抽象的圖形知識(shí)變得直觀具體形 象，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲． 第三，配合教學(xué)內(nèi)容介紹中外數(shù)學(xué)家在圖形 研究 方面的成就，使他們把圖形學(xué)習(xí)與崇高的理想結(jié)合起來，以此激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使興趣化為主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力． (四 )認(rèn)真抓好圖形入門教學(xué) 圖形入門教學(xué)，就內(nèi)容而言，一般指平面幾何的基本概念、相交線與平行線和三角形這三章．現(xiàn)行中學(xué)教材的這三章內(nèi)容已涉及概念、命題、推理論證、作圖等圖形教學(xué)的基本問題．這些內(nèi)容既是入門教學(xué)的重點(diǎn)又是難點(diǎn)．形成圖形入門難的主要原因是： １． 學(xué)科內(nèi)容發(fā)生了由數(shù)到形．由計(jì)算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng) ； ２． 圖形入門概念多，而學(xué)生開始又不能正確理解和掌握?qǐng)D形語言 。 為解 決圖形入門教學(xué)的問題，人們已作了許多有益的探討，取得了一定成效 。 充分重視圖形入門教學(xué)，根據(jù)教材內(nèi)容與學(xué)生的實(shí)際制訂出整體計(jì)劃及具體措施，是解決入門難的前提；選用符合圖形認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法，適當(dāng)放慢進(jìn)度，分散難點(diǎn)，逐步提高要求是入門階段總的教學(xué)原則；注重 圖形語言訓(xùn)練與數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是搞好圖形入門教學(xué)的有效途徑 。 還需指出的是，眾多的概念作為圖形知識(shí)的基 礎(chǔ)是入門教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn) 。 教學(xué)中，鑒于圖形的抽象性，切忌采用就概念講概念的填鴨 式教學(xué)，而應(yīng)設(shè)法借助生活實(shí)例或直觀教具的演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、溝通概念與圖形、感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)的聯(lián)系 。 特別應(yīng)注意從概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程中為學(xué)生提供思維情境，讓學(xué)生通過由具體 到抽象、由特殊到一般這樣一個(gè)和諧的教學(xué)情境，理解和掌握?qǐng)D形概念 。 (五 )如何解圖形綜合題 華羅庚先生曾指出 :善于 "退 ",足夠地 "退 ",退到最原始又不失重要性的地方 ,是學(xué)習(xí) 第 5 頁 數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。 在教學(xué)生如何解圖形綜合題時(shí) ， 常采取如下步驟 : 1、 題讀三遍 第 (1)遍 :粗讀。將整條題目先對(duì)照?qǐng)D形全讀下來 ,大概了解題意。 第 (2)遍 :細(xì)讀。將題目中認(rèn)為對(duì)解題有用的條件用筆勾畫出來。 第 (3)遍 :精讀。結(jié)合圖形以及題目中的條件進(jìn)行分析、思考 ， 尋找解題的方法。 2、 畫圖解意 對(duì)于一些不易解決的問題 ， 按題目中條件自己畫圖 ， 在畫圖過程可避免看原圖時(shí)的繁瑣雜亂 ， 而得出原圖中不易看出的結(jié)論 ， 分析所得結(jié)論與題目中所證結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)。有些必要的條件可在圖中用粗線條或彩色線條描出來。 3、 分題畫圖 在解綜合題時(shí) ， 有時(shí)常因圖中其它條件干擾 ,使解題帶來障礙 ， 如一題多問 ， 最好一問一圖 ， 不必要的條件在圖形中可省。這樣畫出來的圖形更簡(jiǎn)單 ， 更清晰。 復(fù)雜的題目 ,都由一些基本題組成的 ,教師要把學(xué)生的主要精力引導(dǎo)到對(duì)基本題的 "聽懂、記懂、記住、用活 "上 ， 聽懂 ， 即把握例題的主要因素及聯(lián)系 ， 能用自己的語言準(zhǔn)確清晰復(fù)述。記住 ， 即要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上 ， 用巧妙的方法記憶基本內(nèi)容 ； 用活 ， 就是能將基本題用于不同的問題情境或采取不同方式運(yùn)用。 像這樣處理圖形 ， 不僅可以幫助學(xué)生形成圖形意識(shí) ， 而且促進(jìn)學(xué)生在解決問題中探究思考能力 ， 培養(yǎng)學(xué)生從不同角度、運(yùn)用不同方式解決問題 ， 降低思考的難度 ， 有利于學(xué)生思維的激活。 (六 )圖形 的應(yīng)用給學(xué)生帶來怎樣的影響 一 . 學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)中簡(jiǎn)單圖形的美，使學(xué)生感到學(xué)習(xí) “ 有味 ” 。 1. 優(yōu)美的圖形總帶給人們美的享受。 利用數(shù)學(xué)中圖形的美，培養(yǎng)學(xué)生的興趣。優(yōu)美的圖形或圖案，給我們提供了生動(dòng)的視覺形象，給我們帶來美的感受，它能把學(xué)生引導(dǎo)到學(xué)習(xí)的情景中去，更能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣和強(qiáng)烈的探索欲望，所以，在教學(xué)過程中，遇到優(yōu)美的圖案和圖片，要恰倒好處的利用，讓它們真正為教育教學(xué)服務(wù)，起到吸引學(xué)生注意，引導(dǎo)學(xué)生興趣的目的。如華東師大版初一數(shù)學(xué)（上）第一章 六題：請(qǐng)以給定的圖形（兩個(gè)圓、兩個(gè)三角形、兩條平行線）為構(gòu)件，構(gòu)思獨(dú)特且有意義的圖形，并寫一兩句詼諧的解說詞。在教學(xué)中我讓學(xué)生先個(gè)人設(shè)計(jì)，發(fā)揮想象，并相互交流，然后對(duì)全班同 學(xué)中的優(yōu)秀作品展示并評(píng)獎(jiǎng)。如 “ 戰(zhàn)車 ” 、 “ 風(fēng)箏 ” 、 “ 夕陽夾山 ” 、 “ 倒影入溪 ” 等許多構(gòu)思巧妙、意義豐富的圖形加上詼諧的解說詞，讓同學(xué)們體會(huì)到成功的樂趣。為用簡(jiǎn)單的幾種幾何圖形也能 構(gòu)成美麗的圖案而感到驚奇，從而大大提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2. 圖形的對(duì)稱性、統(tǒng)一性 第 6 頁 對(duì)稱圖形的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅僅是獲得了知識(shí)，還獲得了美的享受，提高了分析問題的能力?？陀^世界中存在著許許多多的對(duì)稱圖形，它們讓我們感受到數(shù)學(xué)世界的美好。很多的對(duì)稱圖形是前人或現(xiàn)在的人們創(chuàng)造出來的，其中的精品可以說是人類智慧的結(jié)晶，這些圖形裝點(diǎn)著我們生活的 方方面面，不僅使我們的審美水平和創(chuàng)造力得到了提高，還使我們多了一條解決問題的思路，對(duì)于一些題目，從對(duì)稱的角度去思考，可以使問題得到巧妙的解答。數(shù)學(xué)的對(duì)稱性、統(tǒng)一性既有利于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又使學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有趣。比如在教學(xué)華師版初一數(shù)學(xué)（下）等腰三角形一節(jié)中 “ 等腰三角形三線合一 ” 性質(zhì)時(shí)，在等腰三角形的三線（頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線）中，知其一可說明另二。學(xué)生掌握這一定理也就容易多了。又如在平行四邊形一章中，幾種四邊形之間既有區(qū)別，又有著必然的聯(lián)系。學(xué)生認(rèn)識(shí)從一般的四邊形到平行四邊形到矩 形、菱形、正方形之間的變化過程，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)幾種圖形，減輕學(xué)習(xí)中的負(fù)擔(dān)有很重要的作用，同時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所有平行四邊形間的變化過程、掌握這一類圖形間的區(qū)別與聯(lián)系，也感到了學(xué)習(xí)樂趣。 二 . 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 創(chuàng)新能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要表現(xiàn)對(duì)已解決問題尋求新的解法。 “ 學(xué)起于思，思源于疑 ” ，學(xué)生探索知識(shí)的思維過程總是從問題開始，又在解決問題中得到發(fā)展和創(chuàng)新。 教學(xué)過程中學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情境下，自己動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、動(dòng)口表達(dá)，探索未知領(lǐng)域，尋找客觀真理，成為發(fā)現(xiàn)者，要讓學(xué)生自始至終地參與這一探索過程 ，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新能力。如在球的體積教學(xué)中，我利用課余時(shí)間將學(xué)生分為三組，要求第一組每人做半徑為 10 厘米的半球；第二組每人做半徑為 10 厘米、高 10 厘米的圓錐；第三組每人做半徑為 10 厘米、高 10 厘米的圓柱。每組出一人又組成許多小組，各小組分別將圓錐放入圓柱中，然后用半球裝滿土倒入圓柱中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，半球的體積等于圓柱與圓錐體積之差。球的體積公式的推導(dǎo)過程，集公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及割補(bǔ)轉(zhuǎn)換方法之大成，就是這些思想方法靈活運(yùn)用的完美范例。教學(xué)中再次通過展現(xiàn)體積問題解決的思路分析，形 成系統(tǒng)的條理的體積公式的推導(dǎo)線索，把這些思想方法明確地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，學(xué)生從中領(lǐng)悟到當(dāng)初數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思維過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力。 三 . 利用動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力 運(yùn)動(dòng)變化的東西，新鮮有趣的事物容易引起學(xué)生的注意。在教學(xué)中充分發(fā)揮多媒體“ 動(dòng) ” 的特長，變靜的 “ 說 ” 為動(dòng)的 “ 演 ” ，啟迪學(xué)生思維。 將傳統(tǒng)教學(xué)過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計(jì)算機(jī)加工成文字、圖形、影像等資料，并進(jìn)行一些必要的處理如動(dòng)畫 )，將這些資料組織起來。在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，多媒體 的動(dòng)態(tài)變化可以將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，把運(yùn)動(dòng)和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，加深對(duì)知識(shí)的理解，因而可以做到更高密度的知識(shí)傳授，大大提高課堂利 第 7 頁 用率。 例如，對(duì)于三角形 “ 三線合一 ” 的教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)因較難展現(xiàn)其發(fā)現(xiàn)過程，從而造成學(xué)生對(duì)其不好理解。利用多媒體，可以在屏幕上作出斜三角形 其角 A 的平分線、 后用鼠標(biāo)在屏幕上隨意拖動(dòng)點(diǎn) A，利用軟件功能，此時(shí)三角形 “ 三線 ” 在保持依存關(guān)系的前提下隨之發(fā)生變化。在移動(dòng)的過程中，學(xué)生會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)存在這樣的點(diǎn) A，使得角平分線、垂直平分線和中 線三線重合。再如，對(duì)于圓周率的概念的教學(xué)，利用 π ，可以對(duì)圓周進(jìn)行展開，同時(shí)跟蹤測(cè)量圓周長和圓半徑，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓周長與圓半徑的比是一個(gè)定值。由于實(shí)驗(yàn)中圓可以隨意變化，學(xué)生很容易接受 π 的存在。 四 . 培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力 通過教具模型創(chuàng)設(shè)情境 情境案例 :橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 材料 1:地球圍繞著太陽旋轉(zhuǎn) ; 材料 2:“ 神舟六號(hào) ” 飛船升空錄像 . 師 :引導(dǎo)學(xué)生觀察軌道 . 生 :觀察動(dòng)畫 ,指出地球與 “ 神六 ” 的運(yùn)行軌道 . 引入課題 :橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 . 動(dòng)手實(shí)驗(yàn) : ① 取一定長的細(xì)繩 ,把它的兩個(gè)端點(diǎn)固定在黑板的同一點(diǎn)處 ,套上鉛筆 ,拉緊繩子 ,旋轉(zhuǎn)一周 ,會(huì)得到什么圖形 ? ② 把繩子的兩個(gè)端點(diǎn)拉開一段距離 ,再套上鉛筆旋轉(zhuǎn) ,又會(huì)得到什么圖形 ? ③ 繼續(xù)拉遠(yuǎn)兩個(gè)端點(diǎn)的距離 ,直到把繩子拉直 ,又會(huì)得到什么圖形 ? 實(shí)驗(yàn) ① 教師演示 ,學(xué)生觀察思考 、 ③, 各小組學(xué)生利用手中工具在圖板上進(jìn)行實(shí)驗(yàn) . 多媒體展示 :橢圓形成過程 描述橢圓的定義 . 設(shè)計(jì)意圖 :利用學(xué)生熟知的地理規(guī)律 :地球圍繞太陽轉(zhuǎn)引入 ,讓學(xué)生感到親切自然 ;通過 “ 神六 ” 的升 空錄像 ,讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí) ,激發(fā)學(xué)生的興趣 ,培養(yǎng)愛國思想 讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐 ,體驗(yàn)橢圓的形成過程 ,加深對(duì)橢圓定義的理解 考、討論 ,概括出橢圓的定義 ,讓學(xué)生全程參與概念的探究過程 ,加深理解 ,提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力 。 五 . 培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力 結(jié)合平時(shí)的作業(yè)，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)，自己發(fā)現(xiàn)問題、挖掘問題、解決問題。這就要求教師適當(dāng)設(shè)計(jì)一些開放性的練習(xí)。例如教師可設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)內(nèi)容：把校園內(nèi)的一塊長 100 米，寬 60 米的長方形的空白地段設(shè)計(jì)成一個(gè)花園 ，其中要有 第 8 頁 圓形、方形、菱形等面積不等的花池、草坪。要求：（ 1）花池、草坪、道路所占面積的比例適中；（ 2）圖案美觀。這樣的研究性教學(xué)打破了人為編制的應(yīng)用題進(jìn)行機(jī)械解題訓(xùn)練的模式，使學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)、應(yīng)用在實(shí)際問題中，既達(dá)到了綜合訓(xùn)練的目標(biāo)，又能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。 （七 ）結(jié)束 圖形領(lǐng)域的教學(xué)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、基本的數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)可以獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 第 9 頁 參考文獻(xiàn)： [1]邵瑞珍，皮連生．教育心理學(xué) [M]．上海：上海教育出版社， 1988． [2]李士琦． 學(xué)教育心理 [M]．北京：高等教育出版社． [3]《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》［ M］，北京師范大學(xué)出版社， 2002 [4] 綦春霞《數(shù)學(xué)課程論與數(shù)學(xué)課程教材改革》［Ｊ］，北京師范大學(xué)出版社， 2001 [5] 章建躍 朱文芳《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)》［Ｊ］，北京教育出版社， 2001