附錄A譯文
非線性不確定系統(tǒng)汽車結構的優(yōu)化設計
閻浮
福特汽車公司，MD2115，SRL2122，Dearborn，MI48142，美國
KEMAL H.SAHIN
Hechshermer str.2/Geb.51,CPC系統(tǒng) GmbH,D-55131 Mainz，德國
摘要：隨著計算機應用的不斷發(fā)展，汽車結構設計恰當?shù)膽糜嬎銠C方法并給新車的開發(fā)帶來了更大的效率。大多數(shù)以虛擬為基礎的優(yōu)化方法的產生確定性最優(yōu)化沒有考慮到在模型虛擬和制造方面的多種影響。這種遺漏的主要原因是因為汽車結構設計的單一碰撞分析的計算時間即使用美國最先進的計算機也需要大量的時間。這就需要不確定性優(yōu)化方法的發(fā)展和執(zhí)行效率。在這篇文章中，一種包含元模型優(yōu)勢技術和非線性不確定性優(yōu)化方法的綜合的隨機優(yōu)化方法被提出以用于汽車的側面碰撞設計。非線性元模型用逐步回歸方法去代替昂貴的計算模型和應用BONUS來得到不確定性的優(yōu)化設計。汽車安全設計的基準問題曾經用來描述這種方法。這一案例研究的目的是維持和加強汽車側面碰撞測試實驗，盡量減少汽車重量。
關鍵詞：元模型，非線性規(guī)劃，不確定性優(yōu)化，隨機優(yōu)化，汽車側面碰撞
1. 簡介
汽車碰撞的計算機分析對于減少新產品的開發(fā)時間是一個有效的工具?，F(xiàn)在非線性有限元基礎碰撞分析代碼普遍應用與模擬汽車碰撞試驗例如，前懸的影響，邊緣的影響，內部前面影響，后懸影響。
數(shù)字優(yōu)化是有用的系統(tǒng)的工具對于自動選擇優(yōu)先設計參數(shù)。這種方法在汽車工業(yè)得到了廣泛應用并且取得了顯著效果。然而為了保證產品質量和產品使用性，在模型模擬，和制造上的不確定因素需要考慮。一種新的隨機優(yōu)化方法被稱作bonus由Sahin和Diwekar開發(fā)。Bonus用樣本估算目標和約束因素通過不確定因素。這種技術在優(yōu)化過程中通過重復衡量的方法減少了過度繁瑣計算的重擔。然而汽車碰撞分析是密集的計算，它通過用當前的計算機花費幾小時到幾天的時間來控制一個虛擬。因此工程師利用許多元模型及時被用來建立代理模型（也被叫做元模型或響應表面模型）去代替昂貴的計算模型以及時的方法去解決現(xiàn)實問題。本期刊提出了結合元模型和非線性系統(tǒng)的優(yōu)化設計的綜合方法進行汽車結構設計。
車輛側面碰撞的問題，是眾所周知的自動化工業(yè)的基準問題，被用來描述集成方法。這種方法被產業(yè)和學術研究者廣泛應用區(qū)描述各種在元模型上的新方法，可靠性基礎設計優(yōu)化，隨機優(yōu)化設計和多學科設計優(yōu)化。表面模型的全球反映產生于用逐步回歸耦合優(yōu)化超立方體樣本的設計實驗，該實驗被認為是這種研究的真正模型。傳統(tǒng)的Monte Carlo方法和BONUS是用來解決不確定性的優(yōu)化問題。通過Monte Carlo方法和BONUS的大量對比試驗出來這樣的結論，優(yōu)化過程是通用的也同樣能夠應用在其他工程領域。
接下來的部分簡要的介紹了綜合BONUS算法，第三部分介紹了汽車側面碰撞問題目的在于盡量減少汽車重量以維持和加強汽車側面碰撞測試實驗。第四部分提出了魯棒性基線和確定性優(yōu)化設計以及考慮到多種不確定性的隨機優(yōu)化設計的方法，即傳統(tǒng)的設計方法和BONUS算法。最后第五部分得出結論。
2. 一種綜合的BONUS算法
常用的隨機優(yōu)化方法包括兩種密集遞歸循環(huán)：（1）內部樣本循環(huán)，和（2）外部優(yōu)化循環(huán)。內部樣本循環(huán)普遍應用的方法是Monte Carlo技術，這種技術是從假象輸入分布中隨機進行樣本選擇來得到輸出分布和相關的統(tǒng)計特性，比如平均值，方差，或百分率。一種解決非線性規(guī)劃問題的外部優(yōu)化設計數(shù)字方法是序列二次規(guī)劃。隨著優(yōu)化過程和新設計變量的確定，不確定變量的改變導致新的輸出分布。在優(yōu)化迭代中，甚至是小的樣本數(shù)據(jù)，對模型的重復評價是顯著的瓶頸。
以有限元為基礎的整車結構碰撞模擬式汽車工業(yè)用于評價汽車碰撞性能常用的設計工具。對于大多數(shù)的應用中，為了解決問題及時的優(yōu)化和魯棒性分析用在元模型上，用不同的元模型方法以小數(shù)量的有限元模擬建立的。在衡量了一些元模型技術后，yang推薦使用第二多項式回歸模型和移動最小二乘回歸模型進行汽車安全性優(yōu)化。
在優(yōu)化過程中由Sahin和Diwekar開發(fā)的BONUS算法用來有效地估計隨機目標和約束職能。傳統(tǒng)的方法依賴于開發(fā)一個樣本循環(huán)和評估由輸入分布產生的每一個樣本循環(huán)。另外，BONUS算法是通過整個輸入空間對均勻分布參數(shù)運行模型首先產生基本分布的所有響應，然后在對輸出分布的概率進行密度估計的基礎上用衡量的方法對輸出分布進行估算。在Sahin和Diwekar的期刊中可以找到BONUS算法的具體闡釋。這種技術的有點事在每一次迭代中對新樣本模型通過性的評估是對隨機優(yōu)化的計算集中。對于優(yōu)化計算來說利用每一次設計變量在目標和約束職能上的小的增量和計算變量的無數(shù)的梯度擾動是至關重要的。另外一個優(yōu)勢是這種算法無需額外的昂貴的模型模擬便提供了開發(fā)完全設計空間的收斂概率。
圖一顯示了用傳統(tǒng)的Monte Carlo方法和新的綜合BONUS方法進行不確定性過程的優(yōu)化。首先，實驗技術設計是通過輸入空間產生統(tǒng)一樣本，接下來用有限元模型進行設計。第二，利用有限元模型模擬結果通過元模型技術建立元模型。第三，最優(yōu)化解決方案是通過從不同初始點開始的大量樣本用Monte Carlo方法得到的。同BONUS算法比較這種設計被認為是全面的真正的全面的解決方案。BONUS在最優(yōu)化設計中提出了魯棒評價，該評價開始與相同設置的不同初始點，一個對比得到了。最后得到了兩種算法的比較結果。
圖1. 在不確定性下利用傳統(tǒng)Monte Carlo方法和新的綜合BONUS方法優(yōu)化
3. 汽車側向碰撞設計問題
汽車的側向碰撞模型在圖2中列舉出來。系統(tǒng)模型包括一個整車有限元結構模型，一個有限元側向碰撞模擬模型，和有限元側面碰撞變形障礙模型。系統(tǒng)模型包括85941個外殼元素和96122個節(jié)點。在有限元模擬側面碰撞試驗中，障礙物有48.89千米每小時的初始速率和碰撞汽車結構。在一個原始的SGI2000的計算機上用RADIOSS軟件進行非線性有限元模擬需要20小時。設計的目標是盡量減少汽車重量以維持和加強側面碰撞性能。
對于汽車的側面保護，汽車設計需要滿足或者超過汽車市場對側面碰撞需要和指定的規(guī)定。兩個基本的側面碰撞保護規(guī)則是美國聯(lián)邦汽車安全標準214號和美國經濟委員會歐洲規(guī)則95號
圖2.汽車側面碰撞模型
在這項研究中，ECE側面碰撞試驗被應用。在側面碰撞的研究中的模擬響應時主公制。ECE側面碰撞規(guī)定中指定的碰撞模擬標準包括腹路粘性標準車身轉向和公共symphysis力。模擬響應必須滿足或超過ECE標準。其它側面碰撞設計的內容是在中點時的B-Pillar速率和前門的B-Pillar速率。
對于側面碰撞，厚度設計變量的增加在某種程度上可能會加強模擬實驗性能。然而，他也會增加汽車重量，緊接著會造成燃料經濟性上的欠缺。因此，必須尋找減輕重量和增加安全性能之間的平衡。這次研究的目標就是在減輕汽車重量的同時保證汽車模擬測試性能。表1列舉了ECE規(guī)則和基準模型的設計規(guī)則。因為本期刊的研究范圍是闡述綜合BONUS方法的好處所以注意那些數(shù)字變量和設計目標是illustrative。
應用于汽車側面碰撞試驗的九個設計變量被汽車工程師證明了。設計變量是厚度和重要部分的material properties。所有的厚度設計變量都是連續(xù)的在一定范圍內變化的x0是設計變量的基準。這兩種材料設計變量是分離的，并且是低碳鋼或者高碳鋼。在側面碰撞模型中假設這些變量是在這9個設計變量周圍獨立的正常分布的非確定性變量。兩個輔助的不確定分離變量需要高碳鋼和低碳鋼材料的代替，兩個額外的不確定因素是障礙高度和碰撞位置，他們也符合正常分布。不確定變量的標準分布列在表2中。
在這篇期刊中Gu建立的元模型用在了這一基本問題上。元模型技術在33個優(yōu)化超立方樣本上用二次方程式后退回歸的方法解決汽車側面碰撞問題，所有的這11個響應的元模型總結如下：
4. 隨機優(yōu)化設計
在工程設計中，確定優(yōu)化設計在降低系統(tǒng)設計費用和提高使用性能上得到了廣泛應用，然而在制造或工程模擬中實際上存在的不確定因此需要包括不確定性的隨機優(yōu)化設計。為了比較確定優(yōu)化設計和不確定優(yōu)化設計的表現(xiàn)，這一部分首先解決確定性優(yōu)化設計的問題，見表三。確定性優(yōu)化設計在不考慮不確定性因素的情況下通過基線設計提高了汽車側面碰撞測試性能同時減低了汽車重量。
汽車碰撞隨機優(yōu)化問題在2中得以確切的闡述：
可以注意到如果一個分布響應符合正常分布，一個特定限制的約束與百分之九十的可靠性是相同的。還可以了解到本文提出的這種方法可以很容易的通過改變目標變量去執(zhí)行魯棒設計以達到盡量減小響應的差異，比如重量。
基于曲面元模型，傳統(tǒng)的方法解決了隨機優(yōu)化的問題，Monte Carlo利用魯棒評定對大量的樣本進行了模擬。然后用開始于200個初始點的SQP尋找設計變量的優(yōu)化方法。表四列舉了用傳統(tǒng)方法進行基線魯棒評定的結果和確定性及隨機優(yōu)化設計。這一結果顯示了不確定因素對基線設計和確定優(yōu)化設計的影響。另一方面，隨機優(yōu)化設計提高了汽車側面碰撞性能并減小了汽車的重量。傳統(tǒng)方法中隨機優(yōu)化設計的應用獎拿來與BONUS算法中的優(yōu)化設計進行比較。因為BONUS得主要優(yōu)勢是在反復優(yōu)化中用衡量的方法估算目標函書和約束函數(shù)去代替模型模擬，這種方法成功的主要是對相應的真實價值的準確預測。為了證明用反復衡量的方法估算的準確性，在研究中用到了同一分布的200個獨立設計設置。為提供更全面的準確圖片，應用了三種不同的方法：絕對誤差平均值、絕對誤差分離標準、絕對誤差最大值。這些方法的方程式在方程式（3）（4）（5）準確的給出。
Yi代表50000次在元模型基礎上的Monte Carlo模擬得到的真實響應標準，另一字母代表相應的BONUS預測標準。ARAE代表從真實響應標準中分離出來的BONUS估算平均值。ARAE的標準值越小，BONUS估算越精確。
SRAE代表絕對誤差的延伸，對于證明ARAE的主要區(qū)別是很有用的。
即使在總體上ARAE的評定結果是精確的，在設計范圍內一個大的MRAE暗示一個大的誤差。因此應選擇小的MRAE值。
計算ARAE,SRAE和MRAE的過程包括四步。它們分別是：
第一步，在設計空間隨機生成200個相同分布的獨立設計。
第二步，根據(jù)它們的不確定性分布生成50000個MCS值，啟用元模型得到響應標準，然后計算每個響應的平均值和差值。
第三步，生成一定數(shù)量的HSS樣本，運用元模型得到基本分布的響應標準，并用BONUS中的衡量方法估算第一步中的200個設計中的每個響應的平均值和差值。
第四步，計算ARAE,SRAE和MRAE。
表5代表與Monte Carlo模擬的200個獨立設計的所有響應相比較下的BONUS估算中的ARAE,SRAE和MRAE值。通常，估算技術為真實響應標準提供真實預測。ARAE的生成趨勢是隨著HSS樣本數(shù)量的增多誤差減少。然而在一些情況下，為了增加HSS樣本的數(shù)量，ARAE標準值也略有增長，但是這些并不是十分重要，事實上SRAE標準值比兩個ARAE標準值的差值要大的多。有兩個比10%大得多的ARAE響應；它們因為這些約束的相互作用它們并不會產生負面的結果。這些至關重要的約束，像公共symphysis力量，低骨架轉向和B-Pillar速率顯示更好的精確性。令一個趨勢是隨著HSS樣本數(shù)量的增加SRAE標準值的減少，這意味著絕對誤差的擴大在縮減。甚至在設計中BONUS估算的整車性能是好的，依然會在一些設計空間的一些范圍中存在著困難。這可以從MRAE標準中看出來。通常HSS樣本數(shù)量的增加時有幫助的，然而，這增加了計算時間，這是沒有預料到的。
根據(jù)不同大量不同的HSS樣本數(shù)據(jù)用BONUS算法得到的結果見表六。多種優(yōu)化方式會出現(xiàn)在來自200個不同起始點的BONUS算法，表六僅僅列舉出了最好的方法。這些結果顯示：由于估算精確性的問題，樣本數(shù)量越少比如100和150個HSS點，用BONUS算法的優(yōu)化設計可能不會滿足5000個MCS點所有的約束條件。結果顯示了用300個HSS點，BONUS算法能得到預想的滿足所有約束條件并且有好的目標值的設計。當樣本的數(shù)量繼續(xù)增加由500增大到2000，和300個HSS點比起來BONUS算法的優(yōu)化方式很容易的就可以滿足所有約束上的限制，但是在目標值上有一點犧牲?？梢钥闯鰜碓诳紤]不確定性的情況下，BONUS算法的優(yōu)化設計比那些基線設計更加輕量化并且在汽車側面碰撞上有更好的測試性能。
5. 結論
一種新的包含有模型技術和BONUS的綜合隨機優(yōu)化方法成功的應用在汽車側面碰撞的基本問題上。結果闡述了綜合BONUS方法能夠在優(yōu)化循環(huán)中用元模型和近似技術代替模型模擬估算可能的約束和目標值，這就減少了計算量。結果也顯示了BONUS算法在變量不確定性的條件下盡量減小汽車重量方面是以中很有價值的工具。
此研究結論是在假想曲面元模型和FE模型有效和分布于不確定變量準確地情況下得到的，。然而，模型的有效性和不確定性的系統(tǒng)分析的超出了論文的研究范圍。
致謝
我要感謝Urmila Diwekar先生在BONUS算法上的指導和支持。接下來，我要感謝兩位審閱者提供的寶貴意見。最后我要感謝Sandia 國家實驗室在經濟上對BONUS算法的援助。
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