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2.2 圓心角、圓周角
2．2.1 圓心角
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 認(rèn)識(shí)圓心角
1．下面四個(gè)圖中的角，是圓心角的是(D)
A B C D
2．將一個(gè)圓分成四個(gè)扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為4∶4∶5∶7，則這四個(gè)扇形中，圓心角最大的是(D)
A．54 B．72 C．90 D．126
知識(shí)點(diǎn)2 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
3．下列說法中，正確的是(B)
A．等弦所對(duì)的弧相等
B．等弧所對(duì)的弦相等
C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等
D．弦相等所對(duì)的圓心角相等
4．如圖，在⊙O中，＝，∠AOB＝122，則∠AOC的度數(shù)為(A)
A．122 B．120 C．61 D．58
5．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，且AD＝BC，則AB與CD的大小關(guān)系為(B)
A．AB>CD B．AB＝CD
C．AB
CE＝AB，∴AB＜2CD，故選B.
14．如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)；
(2)連接AB，BC，CA，試確定△ABC的形狀．
解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA.
∴△ABC是等邊三角形．
15．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，過點(diǎn)A作AE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，DE，求證：BD＝DE.
證明：連接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.
∴∠BOD＝∠DOE.
∴BD＝DE.
16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB.求證：＝.
證明：連接OC，OD，
∵AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點(diǎn)，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠COM＝∠DON.
∴＝.
綜合題
17．如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？
(2)如果OE＝OF，那么與的大小有什么關(guān)系？為什么？
解：(1)OE＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)＝.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，
∴∠OEB＝∠OFD＝90.
∴點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．
∴BE＝DF.
∵AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD.
∴＝.
2.2.2 圓周角
第1課時(shí) 圓周角定理及其推論1
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 認(rèn)識(shí)圓周角
1．下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是(C)
知識(shí)點(diǎn)2 圓周角定理
2．(xx衢州)如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35，則∠AOB的度數(shù)是(B)
A．75 B．70 C．65 D．35
3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O.若∠A＝α，則∠OBC等于(D)
A．180－2α B．2α
C．90＋α D．90－α
4．如圖，將直角三角板60角的頂點(diǎn)放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)(與A，B不重合)，則∠APB＝30．
5．(xx廣東)在同圓中，已知弧AB所對(duì)的圓心角是100，則弧AB所對(duì)的圓周角是50．
知識(shí)點(diǎn)3 圓周角定理推論1
6．如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于點(diǎn)E，則∠ABD＝(A)
A．∠ACD B．∠ADB
C．∠AED D．∠ACB
7．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，∠ABC＝28，那么∠BAD＝(A)
A．28 B．42 C．56 D．84
8．(教材P52練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.若∠A＝30，∠APD＝70，則∠B等于(C)
A．30 B．35 C．40 D．50
9．如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60，則∠BDC的度數(shù)是(D)
A．60 B．45 C．35 D．30
10．如圖所示，弦AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)相等的角，它們是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝BC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，AD.求證：DB平分∠ADC.
證明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠BDC＝∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略弦所對(duì)的圓周角不唯一而致錯(cuò)
12．已知某個(gè)圓的弦長(zhǎng)等于它的半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為30或150．
中檔題
13．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別交⊙O于C，D兩點(diǎn)，已知和所對(duì)的圓心角分別為90和50，則∠P＝(D)
A．45 B．40 C．25 D．20
14．(xx菏澤)如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32，則∠OBA等于(D)
A．64 B．58 C．32 D．26
15．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正弦值等于．
16．如圖所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20，則∠ABO的度數(shù)為50．
17．(教材P52練習(xí)T3變式)如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點(diǎn)，已知∠AOB＝40，直徑CD∥AB，連接AC，則∠BAC＝35．
18．如圖，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，過C作CD∥AB與⊙O相交于D點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且滿足AD＝DE，連接BD與AE相交于點(diǎn)F.求證：△AFD∽△ABC.
證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD.
∵AD＝DE，∴＝.
∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴△AFD∽△ABC.
綜合題
19．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60.
(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
證明：(1)△ABC是等邊三角形．
在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是所對(duì)的圓周角，
∠ABC與∠APC是所對(duì)的圓周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠APC＝∠CPB＝60，
∴∠ABC＝∠BAC＝60.
∴△ABC為等邊三角形．
(2)在PC上截取PD＝AP，連接AD，
∵∠APC＝60，
∴△APD是等邊三角形．
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60，
即∠ADC＝120.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP.
∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
第2課時(shí) 圓周角定理推論2及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 圓周角定理推論2
1．(xx福建)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．則下列四個(gè)角中，一定與∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如圖，小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)量直徑的測(cè)量器，標(biāo)有刻度的尺子OA，OB在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直，在測(cè)直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個(gè)單位長(zhǎng)度，OF＝6個(gè)單位長(zhǎng)度，則圓的直徑為(B)
A．12個(gè)單位長(zhǎng)度 B．10個(gè)單位長(zhǎng)度
C．4個(gè)單位長(zhǎng)度 D．15個(gè)單位長(zhǎng)度
3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝40，則∠CAB的度數(shù)為(C)
A．20 B．40 C．50 D．70
4．如圖，CD是⊙O的直徑，已知∠1＝30，則∠2＝(C)
A．30 B．45 C．60 D．70
5．如圖，把直角三角形的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，則該圓玻璃鏡的半徑是(B)
A. cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠AOD＝130，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度數(shù)．
解：∵∠AOD＝130，
∴∠BOD＝50.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90.
∴∠A＝90－∠B＝40.
知識(shí)點(diǎn)2 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
7．如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠BAD＝105，則∠DCE的大小是(B)
A．115 B．105 C．100 D．95
8．(教材P55例4變式)(xx邵陽(yáng))如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120，則∠BOD的大小是(B)
A．80 B．120 C．100 D．90
9．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BCD＝110，則∠BAD＝70．
10．如圖，已知∠EAD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，并且BD＝DC.求證：AD平分∠EAC.
證明：∵∠EAD＋∠BAD＝180，∠DCB＋∠BAD＝180，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯(cuò)誤
11．如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110，則∠α＝140．
中檔題
12．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，則∠D等于(B)
A．60 B．120 C．140 D．150
13．如圖，AB為⊙O的直徑，關(guān)于角p，q，r，s之間的關(guān)系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180中，正確的是(A)
A．只有①和② B．只有①和③
C．只有②和③ D．①②③
14．(xx白銀)如圖，⊙A過點(diǎn)O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，點(diǎn)B是x軸下方⊙A上的一點(diǎn)，連接BO，BD，則∠OBD的度數(shù)是(B)
A．15 B．30 C．45 D．60
15．(xx北京)如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30，∠ACD＝50，則∠ADB＝70．
16．如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的平分線．
(1)求證：△ABD為等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45，BD＝6，求⊙O的半徑．
解：(1)證明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180，∠DCB＋∠BAD＝180，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45，
∴∠ECA＝∠ACB＝90.
∴∠BDA＝90.∴AB是直徑．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6.
∴⊙O的半徑為3.
17．(xx宜昌)如圖，在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C.
(1)求證：四邊形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圓和菱形ABFC的面積．
解：(1)證明：∵AB為半圓的直徑，
∴∠AEB＝90，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90)
∴平行四邊形ABFC是菱形．
(2)連接BD.
∵AD＝7，BE＝CE＝2，
設(shè)CD＝x，則AB＝AC＝7＋x.
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ADB＝90.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2.
∴(7＋x)2－72＝42－x2.
∴x1＝1或x2＝－8(舍去)．
∴S半圓＝π42＝8π.
∴BD＝.
∴S菱形ABFC＝8.
綜合題
18．如圖，在⊙O中，直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)(不與A，B重合)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.
(1)試猜想：△PCQ與△ACB具有何種關(guān)系？(不要求證明)
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC≌△PCB？并給出證明．
解：(1)△PCQ∽△ACB.
(2)當(dāng)為半圓時(shí)，
△ABC≌△PCB.
證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90.
∵為半圓，
∴CP是直徑．
∴∠PBC＝90，AB＝CP.
∵CB是公共邊，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．
2019屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 2.2 圓心角、圓周角練習(xí) （新版）湘教版.doc
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