《2019屆九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 1.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) (新版)湘教版.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 1.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) (新版)湘教版.doc(24頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
第1課時(shí) 二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象與性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點(diǎn)1 二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象
1.下列各點(diǎn)在二次函數(shù)y=4x2圖象上的點(diǎn)是(C)
A.(2,2) B.(4,1)
C.(1,4) D.(-1,-4)
2.二次函數(shù)y=3x2的圖象是(B)
A B
C D
3.(教材P6例1變式)畫二次函數(shù)y=2x2的圖象.
解:列表:
x
…
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
…
y=2x2
…
8
2
0.5
0
0.5
2
8
…
描點(diǎn)、連線,圖象如圖所示.
知識點(diǎn)2 二次函數(shù)y=ax2(a>0)的性質(zhì)
4.二次函數(shù)y=x2的圖象的開口方向是(A)
A.向上 B.向下
C.向左 D.向右
5.對于函數(shù)y=x2,下列結(jié)論正確的是(D)
A.當(dāng)x取任何實(shí)數(shù)時(shí),y的值總是正數(shù)
B.y的值隨x的增大而增大
C.y的值隨x的增大而減小
D.圖象關(guān)于y軸對稱
6.(教材P7練習(xí)T2變式)在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出y=x2、y=2x2、y=x2的圖象,它們的共同特點(diǎn)是(D)
A.都是關(guān)于x軸對稱,拋物線開口向上
B.都是關(guān)于原點(diǎn)對稱,頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
C.都是關(guān)于y軸對稱,拋物線開口向下
D.都是關(guān)于y軸對稱,頂點(diǎn)都是原點(diǎn)
7.二次函數(shù)y=x2的圖象開口向上,對稱軸是y軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0).
8.(xx廣州)已知二次函數(shù)y=x2,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大.(填“增大”或“減小”)
9.畫二次函數(shù)y=x2的圖象,并回答下列問題:
(1)當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)值y是多少?
(2)當(dāng)y=6時(shí),x的值是多少?
(3)當(dāng)x取何值時(shí),y有最小值,最小值是多少?
(4)當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大怎樣變化?當(dāng)x<0時(shí)呢?
解:如圖:
(1)當(dāng)x=6時(shí),y=62=54.
(2)當(dāng)y=6時(shí),x2=6,解得x=2.
(3)當(dāng)x=0時(shí),y有最小值,最小值是0.
(4)當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大;
當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小.
易錯點(diǎn) 求區(qū)間內(nèi)最值時(shí)忽視對稱軸位置
10.當(dāng)-1≤x≤2時(shí),二次函數(shù)y=x2的最大值是4,最小值是0.
中檔題
11.已知二次函數(shù)y=mx(m2+1)的圖象經(jīng)過第一、二象限,則m=(A)
A.1 B.-1
C.1 D.2
12.已知點(diǎn)A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在二次函數(shù)y=2x2的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是(D)
A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1
C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1
13.如圖所示,在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出①y=3x2;②y=x2;③y=x2的圖象,則從里到外的二次函數(shù)的圖象對應(yīng)的函數(shù)依次是(B)
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.②①③
14.函數(shù)y=mx2的圖象如圖所示,則m>0;在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸右側(cè),y隨x的增大而增大;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),是拋物線的最低點(diǎn);函數(shù)在x=0時(shí),有最小值,為0.
15.已知函數(shù)y=(m+2)xm2+m-4是關(guān)于x的二次函數(shù).
(1)求滿足條件的m值;
(2)m為何值時(shí),二次函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)?求出這個(gè)最低點(diǎn),這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí),y隨x的增大而增大?
解:(1)m=2或m=-3.
(2)當(dāng)m=2時(shí),二次函數(shù)的圖象有最低點(diǎn),這個(gè)最低點(diǎn)為(0,0),且當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大.
16.已知正方形的周長為C cm,面積為S cm2,請寫出S與C之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.
解:由題意,得S=C2(C>0).
列表:
C
2
4
6
8
…
S=C2
1
4
…
描點(diǎn)、連線,圖象如圖所示.
綜合題
17.已知點(diǎn)A(2,a)在二次函數(shù)y=x2的圖象上.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△OAP是等腰三角形?若存在,寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)∵點(diǎn)A(2,a)在二次函數(shù)y=x2的圖象上,
∴a=22=4.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4).
(2)分下列3種情況:
①當(dāng)OA=OP時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo):P1(-2,0),P2(2,0);
②當(dāng)OA=AP,點(diǎn)P的坐標(biāo):(4,0);
③當(dāng)OP=AP時(shí),如圖,過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E.在△AEP′中,AE2+P′E2=AP′2,設(shè)AP′=x,則42+(x-2)2=x2.解得x=5.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0).
綜上所述,使△OAP是等腰三角形的點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),(4,0),(5,0).
第2課時(shí) 二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象與性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點(diǎn)1 二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象
1.如圖所示的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式可能是(B)
A.y=x2
B.y=-x2
C.y=3x
D.y=-
2.函數(shù)y=-2x2,當(dāng)x>0時(shí)圖象位于(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(教材P9例2變式)畫二次函數(shù)y=-x2的圖象.
解:列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
描點(diǎn)、連線,如圖所示:
知識點(diǎn)2 二次函數(shù)y=ax2(a<0)的性質(zhì)
4.拋物線y=-3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(D)
A.(-3,0) B.(-2,0)
C.(-1,0) D.(0,0)
5.二次函數(shù)y=-x2的最大值是(D)
A.x=- B.x=0
C.y=- D.y=0
6.若函數(shù)y=-4x2的函數(shù)值y隨x的增大而減少,則自變量x的取值范圍是(A)
A.x>0 B.x<0
C.x>4 D.x<-4
7.拋物線y=-2x2不具有的性質(zhì)是(D)
A.開口向下
B.對稱軸是y軸
C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小
D.對應(yīng)的函數(shù)有最小值
8.兩條拋物線y=4x2與y=-4x2在同一平面直角坐標(biāo)系中,下列說法不正確的是(D)
A.頂點(diǎn)坐標(biāo)相同 B.對稱軸相同
C.開口方向相反 D.都有最小值
9.二次函數(shù)y=(2m+1)x2的圖象開口向下,則m的取值范圍是m<-.
10.填寫下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及最值.
拋物線
開口方向
對稱軸
頂點(diǎn)
坐標(biāo)
最值
y=x2
向上
y軸
(0,0)
最小值0
y=-x2
向下
y軸
(0,0)
最大值0
y=x2
向上
y軸
(0,0)
最小值0
y=-x2
向下
y軸
(0,0)
最大值0
中檔題
11.下列說法錯誤的是(C)
A.二次函數(shù)y=3x2中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大
B.二次函數(shù)y=-6x2中,當(dāng)x=0時(shí),y有最大值0
C.拋物線y=ax2(a≠0)中,a越大圖象開口越小,a越小圖象開口越大
D.不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),拋物線y=ax2(a≠0)的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)
12.拋物線y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性質(zhì)是(B)
A.開口向下
B.對稱軸是y軸
C.都有最低點(diǎn)
D.y隨x的增大而減小
13.已知點(diǎn)A(-1,y1),B(-,y2),C(-2,y3)在函數(shù)y=-x2的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是(A)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3
14.函數(shù)y=與y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(D)
15.已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-3).
(1)求a的值;
(2)當(dāng)x=3時(shí),求y的值;
(3)說出此二次函數(shù)的三條性質(zhì).
解:(1)∵拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)(1,-3),
∴a1=-3.∴a=-3.
(2)把x=3代入拋物線y=-3x2,得
y=-332=-27.
(3)拋物線的開口向下;坐標(biāo)原點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn);當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而減??;拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x=0時(shí),y有最大值,是y=0等.
16.已知拋物線y=kxk2+k,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小.
(1)求k的值;
(2)作出函數(shù)的圖象.
解:(1)∵拋物線y=kxk2+k中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,
∴解得k=-2.
∴函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x2.
(2)列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-2x2
…
-8
-2
0
-2
-8
…
描點(diǎn)、連線,畫出函數(shù)圖象如圖所示.
綜合題
17.已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx-2的圖象相交于A,B兩點(diǎn),如圖所示,其中A(-1,-1),求△OAB的面積.
解:∵點(diǎn)A(-1,-1)在拋物線y=ax2(a≠0)上,也在直線y=kx-2上,
∴-1=a(-1)2,-1=k(-1)-2.
解得a=-1,k=-1.
∴兩函數(shù)的表達(dá)式分別為y=-x2,y=-x-2.
由解得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-4).
∵y=-x-2與y軸交于點(diǎn)G,則G(0,-2).
∴S△OAB=S△OAG+S△OBG=(1+2)2=3.
第3課時(shí) 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2(a≠0)的圖象與性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點(diǎn)1 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2(a≠0)的圖象的平移
1.如果將拋物線y=x2向右平移1個(gè)單位長度,那么所得的拋物線的表達(dá)式是(C)
A.y=x2-1 B.y=x2+1
C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2
2.將拋物線y=x2平移得到拋物線y=(x+2)2,則這個(gè)平移過程正確的是(A)
A.向左平移2個(gè)單位長度
B.向右平移2個(gè)單位長度
C.向上平移2個(gè)單位長度
D.向下平移2個(gè)單位長度
知識點(diǎn)2 畫二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2(a≠0)的圖象
3.(教材P12練習(xí)T2變式)已知二次函數(shù)y=-(x+1)2.
(1)完成下表;
x
…
-7
-5
-3
-1
1
3
5
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(2)在下面的坐標(biāo)系中描點(diǎn),畫出該二次函數(shù)的圖象.
解:(1)如表.
(2)如圖所示.
知識點(diǎn)3 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2(a≠0)的圖象與性質(zhì)
4.對稱軸是x=1的二次函數(shù)是(D)
A.y=x2 B.y=-2x2
C.y=(x+1)2 D.y=(x-1)2
5.在函數(shù)y=(x+1)2中,y隨x的增大而減小,則x的取值范圍是(C)
A.x>-1 B.x>1
C.x<-1 D.x<1
6.在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=a(x-2)2(a≠0)的圖象可能是(D)
7.對于拋物線y=(x+4)2,下列結(jié)論:①拋物線的開口向上;②對稱軸為直線x=4;③頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0);④x>-4時(shí),y隨x的增大而減小.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(教材P12練習(xí)T1變式)(1)拋物線y=3(x-1)2的開口向上,對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0);
(2)拋物線y=-3(x-1)2的開口向下,對稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).
9.拋物線y=-(x+3)2,當(dāng)x<-3時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而減小.
10.如果二次函數(shù)y=a(x+3)2有最大值,那么a<0,當(dāng)x=-3時(shí),函數(shù)的最大值是0.
11.已知拋物線y=2x2和y=2(x-1)2,請至少寫出兩條它們的共同特征.
解:答案不唯一,如:開口方向相同,開口大小相同,頂點(diǎn)均在x軸上等.
易錯點(diǎn) 二次函數(shù)增減性相關(guān)的易錯
12.已知二次函數(shù)y=2(x-h(huán))2,當(dāng)x>3時(shí),y隨x的增大而增大,則h的取值范圍為h≤3.
中檔題
13.拋物線y=-3(x+1)2不經(jīng)過的象限是(A)
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第二、三象限
14.在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=a(x+c)2的圖象大致為(B)
15.(xx濰坊)已知二次函數(shù)y=-(x-h(huán))2(h為常數(shù)),當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí),與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,則h的值為(B)
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
16.已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三點(diǎn)都在二次函數(shù)y=-2(x+2)2的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為y3
1時(shí),隨著x值的增大,y值逐漸增大;
當(dāng)x<1時(shí),隨著x值的增大,y值逐漸減?。?
(4)這個(gè)函數(shù)有最小值,最小值是0,這時(shí)x=1.
19.已知點(diǎn)P(m,a)是拋物線y=a(x-1)2上的點(diǎn),且點(diǎn)P在第一象限內(nèi).
(1)求m的值;
(2)過點(diǎn)P作PQ∥x軸交拋物線y=a(x-1)2于點(diǎn)Q,若a的值為3,試求點(diǎn)P,點(diǎn)Q及原點(diǎn)O圍成的三角形的面積.
解:(1)∵點(diǎn)P(m,a)是拋物線y=a(x-1)2上的點(diǎn),∴a=a(m-1)2.解得m=2或m=0.
∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi),∴m=2.
(2)∵a的值為3,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=3(x-1)2.
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=3(x-1)2=3.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).
∵PQ∥x軸交拋物線y=a(x-1)2于點(diǎn)Q,
∴3=3(x-1)2.解得x=2或x=0.
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,3).∴PQ=2.
∴S△PQO=32=3.
綜合題
20.已知一條拋物線y=a(x-h(huán))2的頂點(diǎn)與拋物線y=-(x-2)2的頂點(diǎn)相同,且與直線y=3x-13的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)把這條拋物線向右平移4個(gè)單位長度后,求所得的拋物線的表達(dá)式.
解:(1)由題意可知:A(3,-4).
∵拋物線y=a(x-h(huán))2的頂點(diǎn)與拋物線y=-(x-2)2的頂點(diǎn)相同,
∴h=2.
由題意,把點(diǎn)A的坐標(biāo)(3,-4)代入y=a(x-2)2,得-4=a(3-2)2.
∴a=-4.
∴這條拋物線的表達(dá)式為y=-4(x-2)2.
(2)把拋物線y=-4(x-2)2向右平移4個(gè)單位長度后,得到的拋物線的表達(dá)式為y=-4(x-6)2.
第4課時(shí) 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點(diǎn)1 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象的平移
1.將拋物線y=x2向左平移2個(gè)單位長度,再向下平移3個(gè)單位長度,得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(A)
A.y=(x+2)2-3 B.y=(x+2)2+3
C.y=(x-2)2+3 D.y=(x-2)2-3
2.拋物線y=-3(x-2)2-3可以由拋物線y=-3x2+1平移得到,則下列平移過程正確的是(C)
A.先向左平移4個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度
B.先向左平移2個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度
C.先向右平移2個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度
D.先向右平移4個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度
知識點(diǎn)2 二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)
3.二次函數(shù)y=(x+2)2-1的圖象大致為(D)
4.(xx岳陽)拋物線y=3(x-2)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(C)
A.(-2,5) B.(-2,-5)
C.(2,5) D.(2,-5)
5.拋物線y=-(x+2)2-5的圖象上有兩點(diǎn)A(-4,y1),B(-3,y2),則y1,y2的大小關(guān)系是(C)
A.y1>y2 B.y1=y(tǒng)2
C.y1<y2 D.不能確定
6.二次函數(shù)y=2(x-3)2-4的最小值為-4.
7.寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo):
拋物線
開口方向
對稱軸
頂點(diǎn)坐標(biāo)
y=-4(x+3)2+5
向下
直線x=-3
(-3,5)
y=3(x+1)2-2
向上
直線x=-1
(-1,-2)
y=(x-5)2-7
向上
直線x=5
(5,-7)
y=-2(x-2)2+6
向下
直線x=2
(2,6)
知識點(diǎn)3 畫二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k(a≠0)的圖象
8.(教材P14例4變式)畫出函數(shù)y=(x-1)2-1的圖象.
解:列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=(x-1)2-1
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
描點(diǎn)并連線:
知識點(diǎn)4 利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的表達(dá)式
9.(教材P15練習(xí)T3變式)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(1,-4),且過點(diǎn)B(3,0).求該二次函數(shù)的表達(dá)式.
解:∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(1,-4),
∴設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)2-4.
把點(diǎn)B(3,0)代入二次函數(shù)表達(dá)式,得
0=4a-4,解得a=1.
∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
易錯點(diǎn) 將圖象平移與坐標(biāo)軸平移混淆
10.在平面直角坐標(biāo)系中,若拋物線y=3x2不動,而把x軸、y軸分別向上、向右平移1個(gè)單位長度,則在新的平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=3(x+1)2-1.
中檔題
11.二次函數(shù)的圖象如圖,則它的表達(dá)式正確的是(C)
A.y=-(x+2)2+2
B.y=-(x-2)2+2
C.y=-2(x-1)2+2
D.y=-2(x+1)2+2
12.二次函數(shù)y=a(x-m)2+n(a≠0)的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(B)
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
13.在同一平面直角坐標(biāo)系中,如果兩個(gè)二次函數(shù)y1=a(x+h1)2+k1與y2=a(x+h2)2+k2的圖象的形狀相同,并且對稱軸關(guān)于y軸對稱,那么我們稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“夢函數(shù)”,如二次函數(shù)y=(x+1)2-3與y=(x-1)2+1互為“夢函數(shù)”,請你寫出二次函數(shù)y=2(x-3)2-1的一個(gè)夢函數(shù)答案不唯一,如y=2(x+3)2+2.
14.已知二次函數(shù)y=2(x-3)2-8.
(1)寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而增大?當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而減小?
(3)當(dāng)x取何值時(shí),函數(shù)有最大值或最小值?并求出這個(gè)最大值或最小值;
(4)函數(shù)圖象可由函數(shù)y=2x2的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到?
解:(1)拋物線開口向上,對稱軸是直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,-8).
(2)當(dāng)x>3時(shí),y隨x的增大而增大;
當(dāng)x<3時(shí),y隨x的增大而減?。?
(3)當(dāng)x=3時(shí),y有最小值,最小值是-8.
(4)該函數(shù)圖象可由y=2x2的圖象先向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移8個(gè)單位長度得到.
15.如圖,已知拋物線C1:y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.
(1)由圖象可知,拋物線C1的開口向上,當(dāng)x>-2時(shí),y隨x的增大而增大;
(2)求a的值;
(3)拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱,將拋物線C2向右平移,平移后的拋物線記為C3,拋物線C3的頂點(diǎn)為M,當(dāng)點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱時(shí),求拋物線C3的表達(dá)式.
解:(2)∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn),橫坐標(biāo)是1,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).
∴當(dāng)x=1時(shí),0=a(1+2)2-5.∴a=.
(3)設(shè)拋物線C3表達(dá)式為y=a′(x-h(huán))2+k,∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對稱,且C3為C2向右平移得到,∴a′=-.∵點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)O中心對稱,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-5),∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,5).∴拋物線C3的表達(dá)式為y=-(x-2)2+5=-x2+x+.
綜合題
16.如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(1,4),拋物線與y軸交于點(diǎn)B(0,3),與x軸交于C,D兩點(diǎn).點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn).
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng)PA+PB的值最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
∴設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a(x-1)2+4.
由于拋物線過點(diǎn)B(0,3),
∴3=a(0-1)2+4.
解得a=-1.
∴拋物線的表達(dá)式為
y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3.
(2)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E(0,-3),連接AE交x軸于點(diǎn)P,連接PB.
設(shè)AE表達(dá)式為y=kx+b,則
解得
∴y=7x-3.
當(dāng)y=0時(shí),x=.
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(,0).
第5課時(shí) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點(diǎn)1 用配方法將二次函數(shù)由一般式化為頂點(diǎn)式
1.二次函數(shù)y=x2-2x+4化為y=a(x-h(huán))2+k的形式,下列正確的是(B)
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
2.用配方法將二次函數(shù)y=2x2-4x-3化為頂點(diǎn)式:
y=2(x2-2x)-3
=2(x2-2x+1-1)-3
=2[(x-1)2-1]-3
=2(x-1)2-5.
知識點(diǎn)2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)
3.拋物線y=x2+2x+3的對稱軸是(B)
A.直線x=1 B.直線x=-1
C.直線x=-2 D.直線x=2
4.二次函數(shù)y=x2+2x-3的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(A)
A.開口向上、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4)
B.開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)
C.開口向上、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)
D.開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4)
5.在二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象中,若y隨x的增大而增大,則x的取值范圍是(D)
A.x<-1 B.x>-1
C.x<1 D.x>1
6.(xx成都)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是(D)
A.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)
B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)
C.當(dāng)x<0時(shí),y的值隨x值的增大而減小
D.y的最小值為-3
7.(教材P18練習(xí)T1變式)求下列函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),并指出當(dāng)x取何值時(shí),y的值隨x的增大而減?。?
(1)y=x2-4x-3;(2)y=-3x2-4x+2.
解:(1)開口向上,對稱軸:直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo):(2,-7),當(dāng)x<2時(shí),y的值隨x的增大而減?。?
(2)開口向下,對稱軸:直線x=-,頂點(diǎn)坐標(biāo):(-,),當(dāng)x>-時(shí),y的值隨x的增大而減?。?
8.二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,0).
(1)求b的值;
(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸;
(3)在所給的坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖象.
解:(1)將(3,0)代入函數(shù)表達(dá)式,得9+3b+3=0.解得b=-4.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1),對稱軸為直線x=2.
(3)如圖所示.
知識點(diǎn)3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值
9.(教材P17例6變式)求下列函數(shù)的最大(小)值:
(1)y=2x2-4x+1; (2)y=-x2+3x-1.
解:(1)y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最小值-1.
(2)y=-x2+3x-1=-(x2-3x)-1=-(x-)2+,∴當(dāng)x=時(shí),函數(shù)有最大值.
中檔題
10.將拋物線y=x2-4x-4向左平移3個(gè)單位長度,再向上平移5個(gè)單位長度,得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(D)
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-3
C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-3
11.點(diǎn)P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函數(shù)y=-x2+2x+c的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是(D)
A.y3>y2>y1 B.y3>y1=y(tǒng)2
C.y1>y2>y3 D.y1=y(tǒng)2>y3
12.小韻從如圖的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中,觀察得到下面四條信息:①a>0;②c<0;③函數(shù)的最小值為-3;④對稱軸是直線x=2.你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)是(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
13.(xx黃岡)當(dāng)a≤x≤a+1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為(D)
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
14.如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-2,現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位長度,得到拋物線y=a1x2+b1x+c1,則下列結(jié)論正確的是③④.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①b>0;②a-b+c<0;③陰影部分的面積為4;④若c=-1,則b2=4a.
15.已知二次函數(shù)y=-x2-x+.
(1)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍;
(3)若將此圖象沿x軸向右平移3個(gè)單位長度,請寫出平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
解:(1)如圖所示.
(2)當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍是x<-3或x>1.
(3)平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-2)2+2(或?qū)懗蓎=-x2+2x).
16.已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo),并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的情況;
(2)求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),及△ABC的面積.
解:(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1.
∴函數(shù)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1).
∴當(dāng)x≤2時(shí),y隨x的增大而減?。?
當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而增大.
(2)令y=0,則x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
∴當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),
A(1,0),B(3,0);
當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),A(3,0),B(1,0).
∴AB==2.
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D,
S△ABC=ABCD=21=1.
綜合題
17.如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1,則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q,我們稱[p,q]為此函數(shù)的特征數(shù),如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是[2,3].
(1)若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[-2,1],求此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)探究下列問題:
①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[4,-1],將此函數(shù)圖象先向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度,求得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的特征數(shù);
②若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[2,3],問此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移,才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為[3,4]?
解:(1)∵一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[-2,1],
∴該函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x+1.
∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).
(2)①∵一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[4,-1],
∴該函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+4x-1,配方成頂點(diǎn)式為y=(x+2)2-5.
∴將拋物線y=(x+2)2-5先向右平移1個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x+2-1)2-5+1,即y=(x+1)2-4,即y=x2+2x-3.
∴得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的特征數(shù)為[2,-3].
②∵一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[2,3],∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)是[3,4],∴y=x2+3x+4=(x+)2+=(x+1+)2+2-.∴將拋物線y=x2+2x+3先向左平移個(gè)單位長度,再向下平移個(gè)單位長度即可得到拋物線y=x2+3x+4,其特征數(shù)為[3,4].
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