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第36課時 軸對稱與中心對稱 (60分) 一、選擇題(每題6分，共30分) 1．[xx濰坊]下列汽車標(biāo)志中不是中心對稱圖形的是 (B) 2．如圖36－1，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為 (C) 圖36－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．50 B．30 C．100 D．90 【解析】　∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝30， ∴∠B＝180－50－30＝100，故選C. 3．[xx煙臺]剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一，被列入第四批《人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄》．下列剪紙作品中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是 (D) 4．[xx呼和浩特]如圖36－2，有一塊矩形紙片ABCD，AB＝8，AD＝6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則△CEF的面積為 (C) 圖36－2 A. B. C．2 D．4 【解析】　∵AB＝8，AD＝6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上， ∴DB＝8－6＝2，∠EAD＝45， 又∵△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F， ∴AB＝AD－DB＝6－2＝4，△ABF為等腰直角三角形， ∴BF＝AB＝4， ∴CF＝BC－BF＝6－4＝2， 而EC＝DB＝2， 則△CEF的面積＝22＝2. 5．[xx遵義]如圖36－3，四邊形ABCD中，∠C＝50，∠B＝∠D＝90，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為 (D) A．50 B．60 圖36－3 C．70 D．80 第5題答圖 【解析】　要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連結(jié)A′A″交BC于E，DC于F，則此時△AEF的周長最?。纯傻贸觥螦A′E＋∠A″＝∠HAA′＝50，進(jìn)而得出∠AEF＋∠AFE＝2(∠AA′E＋∠A″)＝250＝100， ∴∠EAF＝180－100＝80. 二、填空題(每題6分，共30分) 6．[xx六盤水]如圖36－4，有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線l對稱，請在圖上補全字母，寫出這個單詞所指的物品是__書__． 圖36－4 【解析】　根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，組成圖形， 第6題答圖 這個單詞所指的物品是書． 圖36－5 7．如圖36－5，將一張直角三角形紙片ABC沿中位線DE剪開后，在平面上將△BDE繞著CB的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)180，點E到了點E′位置，則四邊形ACE′E的形狀是__平行四邊形__． 【解析】　∵DE是△ABC的中位線， ∴DE∥AC，DE＝AC. ∵將△BDE繞著CB的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)180，點E到了點E′位置， ∴DE＝DE′，∴EE′＝2DE＝AC， ∴四邊形ACE′E的形狀是平行四邊形． 圖36－6 8．[xx白銀]如圖36－6，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為__12__. 【解析】　∵菱形的兩條對角線的長分別為6和8， ∴菱形的面積＝68＝24， ∵O是菱形兩條對角線的交點， ∴陰影部分的面積＝24＝12. 圖36－7 9．[xx成都]如圖36－7，在?ABCD中，AB＝，AD＝4，將?ABCD沿AE翻折后，點B恰好與點C重合，則折痕AE的長為__3__. 【解析】　∵翻折后點B恰好與點C重合， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵BC＝AD＝4， ∴BE＝2， ∴AE＝＝＝3. 10．在四邊形ABCD中，AB＝CD，要使四邊形ABCD是中心對稱圖形，只需添加一個條件，這個條件可以是__AB∥CD或AD＝BC或∠B＋∠C＝180或∠A＋∠D＝180等(答案不唯一)__(只需填寫一種情況)． 三、解答題(共10分) 11．(10分)[xx金華]在棋盤中建立如圖36－8所示的直角坐標(biāo)系，三顆棋子A，O，B的位置如圖①，他們的坐標(biāo)分別是(－1，1)，(0，0)和(1，0)． ①　　　　　　 　?、? 圖36－8 (1)如圖②，添加棋子C，使A，O，B，C四棵棋子成為一個軸對稱圖形，請在圖中畫出該圖形的對稱軸； (2)在其他格點位置添加一顆棋子P，使A，O，B，P四棵棋子成為一個軸對稱圖形，請直接寫出棋子P的位置坐標(biāo)．(寫出兩個即可) 解：(1)如答圖： 第11題答圖 (2)(2，1)，(－1，－1)． (20分] 圖36－9 12．(10分)[xx江西]如圖36－9，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關(guān)于某點中心對稱，已知A，D1，D三點的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)． (1)求對稱中心的坐標(biāo)； (2)寫出頂點B，C，B1，C1的坐標(biāo)； 解：(1)根據(jù)對稱中心的性質(zhì)，可得 對稱中心的坐標(biāo)是D1D的中點， ∵D1，D的坐標(biāo)分別是(0，3)，(0，2)， ∴對稱中心的坐標(biāo)是(0，2.5)； (2)∵A，D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，2)， ∴正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長都是4－2＝2， ∴B，C的坐標(biāo)分別是(－2，4)，(－2，2)， ∵A1D1＝2，D1的坐標(biāo)是(0，3)， ∴A1的坐標(biāo)是(0，1)， ∴B1，C1的坐標(biāo)分別是(2，1)，(2，3)， 綜上，可得頂點B，C，B1，C1的坐標(biāo)分別是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)． 13．(10分)[xx衢州]如圖36－10①，將矩形ABCD沿DE折疊使點A落在A′處，然后將矩形展平，如圖②沿EF折疊使點A落在折痕DE上的點G處，再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處． (1)求證：EG＝CH； (2)已知AF＝，求AD和AB的長． ① ② 圖36－10 解：(1)證明：由折疊知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE， ∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE，∴△AEF≌△BCE， ∴△GEF≌△HCE，∴EG＝CH； (2)∵AF＝FG＝，∠FDG＝45，∴FD＝2，AD＝2＋； ∵AF＝FG＝HE＝EB＝，AE＝AD＝2＋， ∴AB＝AE＋EB＝2＋＋＝2＋2. (10分) 14．(10分)問題背景：如圖36－11①，點A，B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B′，連結(jié)AB′與直線l交于點C，則點C即為所求． 圖36－11 (1)實踐運用：如圖②，已知⊙O的直徑CD為4，點A在⊙O上，∠ACD＝30，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP＋AP的最小值為__2__； (2)知識拓展：如圖③，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45，∠BAC的平分線交BC于點D，E，F(xiàn)分別是線段AD和AB上的動點，求BE＋EF的最小值，并寫出解答過程． 【解析】　(1)如答圖①，作點B關(guān)于CD的對稱點E，連結(jié)AE交CD于點P， 此時PA＋PB最小，且等于AE. 作直徑AC′，連結(jié)C′E. 根據(jù)垂徑定理得＝. ∵∠ACD＝30， ∴∠AOD＝60，∠DOE＝30，∴∠AOE＝90， ∴∠C′AE＝45， 又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′＝90， ∴∠C′＝∠C′AE＝45， ∴C′E＝AE＝AC′＝2. 即AP＋BP的最小值是2； ① ?、? 第14題答圖 解：(2)如答圖②，在斜邊AC上截取AB′＝AB，連結(jié)BB′. ∵AD平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM， AB′＝AB，AM＝AM， ∴△B′AM≌△BAM(SAS)， ∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90， ∴點B與點B′關(guān)于直線AD對稱． 過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長即為所求． 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45，AB′＝AB＝10， ∴B′F＝AB′sin45＝ABsin45＝10＝5， ∴BE＋EF的最小值為5.