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單元測試(五) 范圍:四邊形　限時:60分鐘　滿分:100分 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.若一個多邊形的每個外角都等于72,則這個多邊形的邊數(shù)為 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.如圖D5-1,在菱形ABCD中,E是AC的中點,EF∥CB,交AB于點F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為 (　　) 圖D5-1 A.24 B.18 C.12 D.9 3.如圖D5-2,將矩形ABCD沿GH折疊,點C落在點Q處,點D落在AB邊上的點E處,若∠AGE=32,則∠GHC等于 (　　) 圖D5-2 A.112 B.110 C.108 D.106 4.如圖D5-3,?ABCD的周長為36,對角線AC,BD相交于點O,點E是CD的中點,BD=12,則△DOE的周長為 (　　) 圖D5-3 A.15 B.18 C.21 D.24 5.如圖D5-4,點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點,點M,N分別是AB,BC邊上的中點,則MP+PN的最小值是 (　　) 圖D5-4 A.12 B.1 C.2 D.2 6.如圖D5-5,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點G,給出下列結論:①BE=DF;②∠DAF=15;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE.其中正確的結論有 (　　) 圖D5-5 A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 二、填空題(每小題5分,共20分) 7.如圖D5-6,在平行四邊形ABCD中,∠A=130,在AD上取DE=DC,則∠ECB的度數(shù)是　　　　. 圖D5-6 8.如圖D5-7,已知矩形ABCD的對角線長為8 cm,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,則四邊形EFGH的周長等于　　　　cm. 圖D5-7 9.如圖D5-8,菱形ABCD的面積為120,正方形AECF的面積為50,則菱形的邊長為　　　　. 圖D5-8 10.如圖D5-9,在矩形ABCD中,AB=3,對角線AC,BD相交于點O,AE垂直平分OB于點E,則AD的長為　　　　. 圖D5-9 三、解答題(共50分) 11.(10分)如圖D5-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90,D,E分別是AB,AC的中點,連接CD,過點E作EF∥CD交BC的延長線于點F. (1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形; (2)若四邊形CDEF的周長是25 cm,AC的長為5 cm,求線段AB的長度. 圖D5-10 12.(12分)如圖D5-11,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E. (1)求證:四邊形ADCE為矩形. (2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是正方形?并給出證明. 圖D5-11 13.(13分)如圖D5-12,在?ABCD中,AD>AB. (1)實踐與操作:作∠BAD的平分線交BC于點E,在AD上截取AF=AB,連接EF;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) (2)猜想并證明:猜想四邊形ABEF的形狀,并給予證明. 圖D5-12 14.(15分)如圖D5-13①所示,將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起,構成一個大的矩形ABEF,現(xiàn)將小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn),得到矩形CEFD,旋轉(zhuǎn)角為α. (1)當點D恰好落在EF邊上時,求旋轉(zhuǎn)角α的值. (2)如圖②,G為BC的中點,且0<α<90,求證:GD=ED. (3)小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,△DCD與△CBD能否全等?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值;若不能,說明理由. 圖D5-13  參考答案 1.A　2.A 3.D　[解析] 根據(jù)折疊前后角相等,可知∠DGH=∠EGH,∵∠AGE=32,∴∠EGH=74.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE,∴∠GHC=106,故選D. 4.A　[解析] ∵?ABCD的周長為36,∴BC+CD=1236=18,OB=OD=12BD=1212=6,又∵點E是CD的中點, ∴OE=12BC,DE=12CD,∴△DOE的周長=OD+OE+DE=6+12BC+12CD=6+12(BC+CD)=6+1218=15,故選A. 5.B　[解析] 取AD的中點M,連接MN交AC于點P,則由菱形的軸對稱性可知M,M關于直線AC對稱,從而PM=PM,此時MP+PN的值最小,而易知四邊形CDMN是平行四邊形,故MN=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1,因此選B. 6.C　[解析] ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90.∵△AEF是等邊三角形, ∴AE=EF=AF,∠EAF=60,∴∠BAE+∠DAF=30. 在Rt△ABE和Rt△ADF中,AE=AF,AB=AD, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF,∠BAE=∠DAF=15,故①②正確. ∵BC=CD,∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF. ∵AE=AF,∠EAC=∠FAC, ∴AC垂直平分EF,故③正確. 設EC=x,由勾股定理,得 EF=2x,CG=22x,AG=62x,∴AC=6x+2x2, ∴AB=3x+x2,∴BE=3x+x2-x=3x-x2, ∴BE+DF=3x-x≠2x,故④錯誤. 易知S△CEF=x22,S△ABE=3x-x23x+x22=x24, ∴2S△ABE=x22=S△CEF,故⑤正確. 綜上所述,正確的結論有4個.故選C. 7.65　[解析] 在平行四邊形ABCD中,∠A=130,則∠D=50.又DE=DC,所以∠DEC=(180-50)2=65,所以∠ECB=∠DEC=65. 8.16 9.13　[解析] 連接AC,BD,根據(jù)正方形AECF的面積為50,得AC=10. 因為菱形ABCD的面積=12ACBD=120,所以BD=24,所以菱形的邊長為 (102)2+(242)2=13. 10.33　[解析] 在矩形ABCD中,OA=OB. ∵AE是OB的垂直平分線,∴AB=AO,∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6, ∴AD=BD2-AB2=33. 11.解:(1)證明:∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥CF,又∵EF∥CD,∴四邊形CDEF是平行四邊形. (2)∵在Rt△ABC中,D是AB的中點,∴AB=2CD.∵D,E分別是AB,AC的中點,∴BC=2DE.∵2CD+2DE=25,∴AB+BC=25.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB2=52+(25-AB)2,解得AB=13,即線段AB的長度為13 cm. 12.解:(1)證明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,∴∠MAE=∠CAE, ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12180=90. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90, ∴四邊形ADCE為矩形. (2)當△ABC是等腰直角三角形時,四邊形ADCE是正方形.下面給出證明: ∵∠BAC=90,AB=AC,AD⊥BC于點D, ∴∠ACD=∠DAC=45,∴DC=AD. 由(1)知四邊形ADCE為矩形, ∴矩形ADCE是正方形. 13.解:(1)如圖所示. (2)四邊形ABEF是菱形.證明如下: 在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB. ∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB. 由(1)得AF=AB,∴BE=AF. 又∵BE∥AF,∴四邊形ABEF是平行四邊形. ∵AF=AB,∴四邊形ABEF是菱形. 14.解:(1)∵矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形CEFD,∴CD=CD=2, 在Rt△CED中,CD=2,CE=1,∴∠CDE=30. ∵CD∥EF,∴α=30. (2)證明:∵G為BC中點,∴CG=1,∴CG=CE. ∵矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形CEFD, ∴∠DCE=∠DCE=90,CE=CE=CG, ∴∠GCD=∠DCE=90+α. 在△GCD和△ECD中,CD=CD,∠GCD=∠DCE,CG=CE, ∴△GCD≌△ECD(SAS),∴GD=ED. (3)能,旋轉(zhuǎn)角α的值為135或315.理由如下: ∵四邊形ABCD為正方形,∴CB=CD.∵CD=CD, ∴△BCD與△DCD為腰相等的兩等腰三角形, 當∠BCD=∠DCD時,△CBD≌△CDD. 當△BCD與△DCD為鈍角三角形時,則旋轉(zhuǎn)角α=360-902=135; 當△BCD與△DCD為銳角三角形時,∠BCD=∠DCD=12∠BCD=45,則α=360-902=315, 即旋轉(zhuǎn)角α的值為135或315時,△CBD與△DCD全等.