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探索二次函數綜合題解題技巧六 二次函數在中考數學中常常作為壓軸題，具有一定的綜合性和較大的難度。學生往往因缺乏思路,感到無從下手,難以拿到分數。事實上,只要理清思路,方法得當,穩(wěn)步推進,少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小問通常是求解析式：這一小題簡單，直接找出坐標或者用線段長度來確定坐標，進而用待定系數法求出解析式即可。第2—3小問通常要結合三角形、四邊形、圓、對稱、解方程（組）與不等式（組）等知識呈現(xiàn)，知識面廣，難度大；解這類題要善于運用轉化、數形結合、分類討論等數學思想，認真分析條件和結論、圖形的幾何特征與代數式的數量結構特征的關系，確定解題的思路和方法；同時需要心態(tài)平和，切記急躁：當思維受阻時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯(lián)系；既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。 類型六 二次函數與圓的探究問題 例1已知二次函數y=x2+bx+c的頂點M在直線y=-4x上，并且圖象經過點A（-1，0）。 （1）求這個二次函數的解析式； （2）設此二次函數與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經過M、B、C三點的⊙O′的直徑長； （3）設⊙O′與y軸的另一個交點為N，經過P（-2，0）、N兩點的直線為L，則圓心O′是否在直線L上，請說明理由。 解：（1）由公式法可表示出二次函數的頂點M坐標代入y=-4x，得到關于b，c的關系式，再把A的坐標代入函數解析式又可得到b，c的關系式，聯(lián)立以上兩個關系式解方程組求出b和c的值即可求出這個二次函數的解析式為y=x2-2x-3； （2）分別求出B（3，0），C（0，-3），和M（1，-4）的坐標， 過M作ME⊥OE，過B作BF⊥EM交EM于F， ∴OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1 在Rt△BOC，Rt△CEM，Rt△BFM中，利用勾股定理得：BC=3 ，MC= ，BM=2 ， ∵BC2+MC2=20，BM2=（2 2∴BC2+MC2=BM2 ∴△MBC為直角三角形，且∠BCM=90， ∴⊙O′的直徑長為BM=2 ； （3）圓心O′在直線上，過O′作x軸的垂線，交x軸于R，過O′作y軸的垂線，交y軸于T，交MQ于S， 設⊙O′與x軸的另一個交點為Q，連接MQ， 由BM是⊙O′的直徑，知∠BQM=90．∴Q（1，0）， ∵BQ=2，O′R⊥OB， ∴QR=1， ∴OR=2， 在Rt△O′RB中，由勾股定理得O′R= =2， ∴O′的坐標為（2，-2）， ∴OT=2， ∵OC=3， ∴TC=1， ∴NC=1， ∴ON=1， ∴N的坐標為（0，-1） 設過PN的直線解析式為y=kx+b，把N的坐標為（0，-1）和P（-2，0）分別代入 求得k=- ，b=-1， ∴過PN的直線解析式為y=- x-1， ∵O′的坐標為（2，-2）， ∴-2=- 2-1=-2， ∴圓心O′是在直線上。 方法提煉： ★運用轉化的思想。轉化的數學思想是解決數學問題的核心思想，由于函數與幾何結合的問題都具有較強的綜合性，因此在解決這類問題時，要善于把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”化為“已知”，把“抽象”的問題轉化為“具體”的問題，把“復雜”的問題轉化為“簡單”的問題?！锞C合使用分析法和綜合法。就是從條件與結論出發(fā)進行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產生聯(lián)系，從而使問題得以解決。 跟蹤訓練1如圖，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經過點（2，-3a），對稱軸是直線x=1，頂點是M． （1）求拋物線對應的函數表達式； （2）經過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由； （3）設直線y=-x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由； （4）當E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論是否成立（請直接寫出結論）． 跟蹤訓練2如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A，B，與x軸分別交于點E，F(xiàn)，且點E的坐標為（-，0），以OC為直徑作半圓，圓心為D． （1）求二次函數的解析式； （2）求證：直線BE是⊙D的切線； （3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由． 跟蹤訓練3如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A，B，C，D四點，其中A，B兩點坐標升別為(－1，0)，(0，－2)，點D在.x軸上且AD為⊙M的直徑，點E是⊙M與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=1.5. （1）求點D的坐標及拋物線的表達式； （2）若點P是x軸上的一個動點，試求出△PEF的周長最小時點P的坐標； （3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.