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第六單元 圓 第二十四課時 圓的基本性質(zhì) 基礎(chǔ)達標訓練 1. (xx蘭州)如圖，在⊙O中，＝，點D在⊙O上，∠CDB＝25，則∠AOB＝(　　) 　A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 第1題圖　 　第2題圖 2. (xx長郡教育集團二模)如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑．若∠D＝32，則∠OAC＝(　　) A. 64 B. 55 C. 72 D. 58 3. (xx瀘州)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝8，AE＝1，則弦CD的長是(　　) A. B. 2 C. 6 D. 8 第3題圖　　　 第4題圖 4. (xx周南中學一模)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝60，AB＝AC＝2，則弦BC的長為(　　) A. B. 3 C. 2 D. 4 5. (xx宜昌)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，則下列結(jié)論正確的是(　　) A. AB＝AD B. BC＝CD C. ＝ D. ∠BCA＝∠DCA 第5題圖　　 第6題圖 6. (xx廣州)如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD＝20，則下列說法中正確的是(　　) A. AD＝2OB B. CE＝EO C. ∠OCE＝40 D. ∠BOC＝2∠BAD 7. (xx廣安)如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，則OH的長度為(　　) A. B. C. 1 D. 第7題圖　　 第8題圖 8. (xx金華)如圖，在半徑為13 cm的圓形鐵片上切下一塊高為8 cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為(　　) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm 9. (xx重慶B卷)如圖，OA，OC是⊙O的半徑，點B在⊙O上，連接AB，BC. 若∠ABC＝40，則∠AOC＝________度． 　　 第9題圖　 第10題圖 10. (xx青竹湖湘一二模)如圖，A，B，C三點都在⊙O上，點D是AB延長線上一點，∠AOC＝140，則∠CBD＝________度． 11. (xx大連)如圖，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足為C，OC＝3 cm，則⊙O的半徑為________cm. 第11題圖　　 　第12題圖 12. (xx長沙中考模擬卷三)如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC. 若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為________． 13. (8分)(xx麓山國際實驗學校一模)如圖，在⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連接AD. (1)求證：AD＝AN； (2)若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半徑． 第13題圖 能力提升訓練 1. (xx麓山國際實驗學校三模)在半徑等于5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，則此弦所對的圓周角為(　　) A. 120 B. 30或120 C. 60 D. 60或120 2. (xx長沙中考模擬卷四)如圖，點D(0，3)、O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD的值為(　　) A. B. C. D. 第2題圖 第3題圖 3. (xx云南)如圖，B、C是⊙A上的兩點，AB的垂直平分線與⊙A交于E、F兩點，與線段AC交于D點，若∠BFC＝20，則∠DBC＝(　　) A. 30 B. 29 C. 28 D. 20 4. (人教九上P122第(3)題改編)如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，若∠P＝80，則∠C＝(　　) A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 第4題圖　 　第5題圖 5. (xx荊州)如圖，A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形．若點D是圓上異于A、B、C的另一點，則∠ADC的度數(shù)是________． 6. (9分)已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過D點的直線交AC于E點，交AB于F點，且△AEF為等邊三角形． (1)求證：△DFB是等腰三角形； (2)若DA＝AF，求證：CF⊥AB. 第6題圖 拓展培優(yōu)訓練 1. (10分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，C 為圓周上一點，D為線段OB內(nèi)一點(不是端點)，滿足CD⊥AB，DE⊥CO，垂足為E，若CE＝10，且AD與DB的長均為正整數(shù)，求線段AD的長． 第1題圖 答案 1. B　【解析】如解圖，連接OC.∵∠BOC和∠CDB分別為所對的圓心角和圓周角，∴∠BOC＝2∠CDB＝50，∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50. 第1題解圖 2. D　【解析】∵BC是直徑，∠D＝32，∴∠B＝∠D＝32，∠BAC＝90.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝32，∴∠OAC＝∠BAC－∠BAO＝90－32＝58. 3.B　【解析】連接OC，則OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝＝＝.∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝2. 第3題解圖 4. C　【解析】根據(jù)圓周角定理可知：∠C＝∠AOB＝30，∴在等腰三角形ABC中，BC＝ACcos30＝2＝，∴BC＝2. 5. B　【解析】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC與∠CAD分別為與所對的圓周角，∴＝，∴BC＝CD；∵∠B與∠D不一定相等，∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180，∠D＋∠DCA＋∠DAC＝180，∴∠BCA與∠DCA不一定相等，∴與不一定相等，∴AB與AD不一定相等． 6. D　【解析】∵AB是⊙O 的直徑，AD是⊙O 的非直徑的弦，∴AD＜AB＝2OB，故A錯誤；如解圖，連接OD，∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90，∠COE＝∠BOD＝2∠BAD＝ 40，∴∠OCE＝50，∴∠COE≠∠OCE，∴CE≠EO，故B錯誤；由選項B知，∠OCE＝50≠40，故C錯誤；由選項B知，∠BOC＝2∠BAD，故D正確． 7. D　【解析】如解圖，連接OD，∵AB是⊙O的直徑，點H是CD的中點，∴由垂徑定理可知：AB⊥CD，∵在Rt△BDH中，cos∠CDB＝，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝＝＝3，設(shè)OH＝x，則OD＝OB＝x＋3，在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝，即OH＝. 8. C　【解析】設(shè)弓形高為CD，則DC的延長線過點O，且OC⊥AB，∵半徑為13，∴OB＝OD＝13，∵弓形高為8，∴CD＝8，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得OC2＋BC2＝OB2，∴BC＝＝＝12，由垂徑定理得AB＝2BC＝24 cm. 9. 80　 10. 70　【解析】設(shè)點E是優(yōu)弧(不與A，C重合)上的一點，連接AE、CE，∵∠AOC＝140，∴∠AEC＝70，∴∠ABC＝180－∠AEC＝110，∴∠CBD＝70. 11. 5　【解析】如解圖，連接OA，由垂徑定理可知AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，則由勾股定理可得OA＝5，即⊙O的半徑為5 cm. 12. 4　【解析】如解圖，作OD⊥BC于點D.由題意可得，根據(jù)“同弧所對的圓心角等于圓周角的兩倍”可得∠BOC＝2∠BAC，又∵∠BAC與∠BOC互補，∴∠BAC＋∠BOC＝3∠BAC＝180，∴∠BAC＝60，∠BOC＝120，又∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝＝30，∴BD＝BOcos30＝4＝2.由垂徑定理可得，BC＝2BD＝4. 13. (1)證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC＝∠AED＝∠AEN＝90， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BCD＝∠BAM， ∴∠BAM＝∠BAD， 在△ANE與△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE(ASA)， ∴AD＝AN； (2)解：∵AB＝4，AE⊥CD， ∴AE＝2， 又∵ON＝1， ∴設(shè)NE＝x，則OE＝x－1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE＋ED＝2x－1， 連接AO，則AO＝OD＝2x－1， ∵在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝AO2，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1， ∴(2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2， 解得x＝2， ∴r＝2x－1＝3， 即⊙O的半徑為3. 能力提升訓練 1. D　【解析】如解圖，連接OA，OB，在優(yōu)弧上任取一點E，連接AE，BE，在劣弧上任取一點F，連接AF，BF，過O作OD⊥AB，則D為AB的中點，∵AB＝5，∴AD＝BD＝，又∵OA＝OB＝5，OD⊥AB，∴OD平分∠AOB，即∠AOD＝∠BOD＝∠AOB，∵在Rt△AOD中，sin∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝60，∴∠AOB＝120，又圓心角∠AOB與圓周角∠AEB所對的弧都為，∴∠AEB＝∠AOB＝60，∵四邊形AEBF為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFB＋∠AEB＝180，∴∠AFB＝180－∠AEB＝120，則此弦所對的圓周角為60或120. 2. D　【解析】如解圖，連接CD，在Rt△OCD中，OD＝3，OC＝4，根據(jù)勾股定理可得CD＝＝＝5，∴在Rt△OCD中，sin∠OCD＝＝.根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”可得出∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝. 3. A　【解析】∵所對的圓周角是∠BFC，所對圓心角是∠A，∠BFC＝20，∴∠A＝2∠BFC＝40，∵EF是AB的垂直平分線，且點D在EF上，∴DB＝DA，∴∠ABD＝∠A＝40，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝70，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70－40＝30. 4. A　【解析】如解圖，連接AO、BO，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴∠OAP＝∠OBP＝90，又∵∠P＝80，∴∠AOB＝360－90－90－80＝100，由圓周角定理得∠C＝∠AOB＝50. 5. 60或120　【解析】當D為優(yōu)弧上一點時，∵∠ADC＝∠AOC＝∠ABC，∠ABC＋∠ADC＝180，∴∠ABC＝120，∠ADC＝60；當D為劣弧上一點時，∠ADC＝∠ABC＝120.綜上，∠ADC＝60或120. 6. 證明：(1)∵AB為圓O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∵△AEF是等邊三角形， ∴∠EAF＝∠EFA＝60， ∴在Rt△ABC中，∠ABC＝30， ∴∠FDB＝∠EFA－∠ABC＝30， ∴∠FBD＝∠FDB， ∴FB＝FD， ∴△DFB是等腰三角形； (2)設(shè)AF＝a，則AD＝a，AE＝EF＝a， 如解圖，連接OC，則△AOC是等邊三角形， 由題意得，DF＝BF＝2－a， ∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝1－a， ∵在Rt△ADC中，DC＝＝， ∴在Rt△DCE中，tan∠CDE＝tan30＝＝＝， 解得：a1＝－2(舍去)，a2＝， 在等邊△AOC中，OA＝1， ∴AF＝＝OA，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CF⊥OA，即CF⊥AB. 拓展培優(yōu)訓練 1. 解：如解圖，連接AC，BC，則∠ACB＝90， 又∵CD⊥AB，DE⊥CO， ∴Rt△CDE∽Rt△COD， Rt△ACD∽Rt△CBD， ∴CECO＝CD2， CD2＝ADBD， ∴CECO＝ADBD， 設(shè)AD＝a，DB＝b，a，b為正整數(shù)，則CO＝， 又∵CE＝10， ∴10＝ab， 整理得：(a－5)(b－5)＝25， ∵a＞b， ∴a－5＞b－5＞0， 得a－5＝25，b－5＝1； ∴a＝30， ∴AD＝30.