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綜合應(yīng)用題（習(xí)題） 例題示范 例 1：某商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如果售價(jià)為每件 50 元，每個(gè)月可賣出 210 件；如果售價(jià)超過 50 元但不超過 80 元，每 件商品的售價(jià)每上漲 1 元，則每個(gè)月少賣 1 件；如果售價(jià)超過 80 元后，若再漲價(jià)，則每漲 1 元每個(gè)月少賣 3 件．設(shè)每件商品的售價(jià)為 x 元（x 是整數(shù)），每個(gè)月的銷售量為 y 件． （1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量 x 的取值范圍； （2）設(shè)每月的銷售利潤為 w，請(qǐng)直接寫出 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【解題要點(diǎn)】 ①理解題意，梳理信息 售價(jià) x 進(jìn)價(jià) 利潤 銷量 y 50 40 10 210 50≤x≤80 40 x-40 210-(x-50) 80＜x≤140 40 x-40 180-3(x-80) 列表梳理信息，文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，如下： ②辨識(shí)類型，建立模型 隱含信息處理：“如果售價(jià)超過 80 元后，若再漲價(jià)，則每漲 1 元每月少賣 3 件．”此時(shí)銷量減少是在售價(jià)為 80 元的基礎(chǔ)上減少；售價(jià)最高為 140 元，此時(shí)銷量為 0． ③求解驗(yàn)證，回歸實(shí)際 建立函數(shù)關(guān)系式，求解最值，結(jié)果驗(yàn)證． 【過程示范】 （3）①當(dāng) 50≤x≤80 時(shí)，w=-x2+300x-10 400 ∵a=-1＜0 ∴拋物線的開口向下 又∵ - b 2a = 150 ，且 50≤x≤80 ∴當(dāng) x=80 時(shí)，wmax=7 200 元 ②當(dāng) 80＜x≤140 時(shí)，w=-3x2+540x-16 800 ∵a=-3＜0 ∴拋物線的開口向下 又∵ - b 2a = 90 ，且 80＜x≤140 ∴當(dāng) x=90 時(shí)，wmax=7 500 元 ∴當(dāng)售價(jià)定為 90 元時(shí)，利潤最大，最大為 7 500 元． 鞏固練習(xí) 1. 某市對(duì)火車站進(jìn)行了大規(guī)模的改建，改建后的火車站除原有的普通售票窗口外，新增了自動(dòng)打印車票的無人售票窗口．某日，從早 8 點(diǎn)開始到上午 11 點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口售出的車票數(shù) y1（張）與售票時(shí)間 x（小時(shí)）之間的正比例函數(shù)關(guān)系如圖 1 所示，每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù) y2（張）與售票時(shí)間 x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖 2 所示． 240 160 80 y1（張）  240 180 120 60 y2（張） O 1 2 3 x（小時(shí)） O 1 1.5 2 3 x（小時(shí)） 圖 1 圖 2 （1）圖 2 中圖象的前半段（含端點(diǎn)）是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)可以確定拋物線的表達(dá)式為 ，其中自變量 x 的取值范圍是 ； （2）若當(dāng)天共開放 5 個(gè)無人售票窗口，截至上午 9 點(diǎn)，兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于 1 450 張，則開放的普通售票窗口至少有多少個(gè)？ （3）截至上午 10 點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口與每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同，試確定圖 2 中圖象的后半段一次函數(shù)的表達(dá)式． 2. 某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等．下圖中的折線 AB—BD、線段 CD 分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本 y1（單元：元）、銷售價(jià) y2（單位：元）與產(chǎn)量 x（單位： kg）之間的函數(shù)關(guān)系． （1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義． （2）求線段 AB 所表示的 y1 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式． （3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 20 y/元 C 0 42 A B D 1 6 O 90 130 x/kg 3. 某賓館有 50 個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià) 120 元時(shí)， 房間會(huì)全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加 10 元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出 20 元的各種費(fèi)用，設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加 10x 元（x 為整數(shù)）． （1）直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式． （2）設(shè)賓館每天的利潤為 W 元，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？ （3）某日，賓館了解當(dāng)天的住宿情況，得到以下信息：①當(dāng)日所獲利潤不低于 5 000 元；②賓館為游客居住的房間共支出費(fèi)用沒有超過 600 元；③每個(gè)房間剛好住滿 2 人． 問：這天賓館入住的游客人數(shù)最少有多少人？ 4. 某店因?yàn)榻?jīng)營不善欠下 38 400 元的無息貸款的債務(wù)，想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金．“中國夢想秀”欄目組決定借給該店 30 000 元資金，并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計(jì)利息）．已知該店代理的品牌服裝的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，該品牌服裝日銷售量 y（件）與售價(jià) x（元/件）之間的關(guān)系可用圖中的一條折線（實(shí)線）來表示．該店應(yīng)支付員工的工資為每人每天 82 元，每天還應(yīng)支付其他費(fèi)用為 106 元（不包含債務(wù)）． （1）求日銷售量 y（件）與售價(jià) x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）若該店暫不考慮償還債務(wù)，當(dāng)某天的銷售價(jià)為 48 元/ 件時(shí)，當(dāng)天正好收支平衡（收入=支出），求該店員工的人數(shù)； （3）若該店只有 2 名員工，則該店最早需要多少天能還清所有債務(wù)，此時(shí)每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為多少元？ y（件） 60 24 11 O 40  58 71  x（元/件） 思考小結(jié) 綜合類應(yīng)用題信息的呈現(xiàn)形式有四種：①表達(dá)式；②圖象、表格；③文字信息；④隱含信息（生活背景）． 其中利用表格求解解析式，往往按照反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的順序考慮．若兩個(gè)變量的乘積不變，則為反比例函數(shù)；若兩個(gè)變量的變化是均勻的，則是一次函數(shù)；若既不是反比例函數(shù)，又不是一次函數(shù)，則一定是二次函數(shù)． 【參考答案】 1. （1）y2=60x2，0≤x≤1.5； （2）15 個(gè)； （3）y2=50x+60（1.5≤x≤3）． 2. （1）當(dāng)產(chǎn)量為 130 kg 時(shí)，該產(chǎn)品每千克的生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都是 42 元； （2） y1 = - 1 x + 60 （0≤x≤90）； 5 （3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為 75 kg 時(shí)獲得利潤最大，為 2 250 元． 3. （1）y=50-x（0≤x≤50，且 x 為整數(shù)）； （2）當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為 320 元時(shí)，賓館每天所獲利潤最大， 為 9 000 元； （3）20 人． 4. 4.（1） （2）3 人； （3）該店最早需要 380 天還清債務(wù)，此時(shí)每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為 55 元．