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第7講、角的平分線 考點(diǎn)講解： 1. 角的平分線定義：在角的內(nèi)部，從角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做角的平分線。 2. 角的平分線作圖：如圖（1），射線OC就是∠AOB的角平分線。 圖（1） 圖（2） 3. 角的平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。如圖（2）， ∵∠AOC=∠BOC，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN。 4. 角平分線定理的逆定理：在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。 如圖（2），∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴∠AOC=∠BOC。 5. 三角形的三條角平分線的性質(zhì)：如圖，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（三角形的內(nèi)心） 【典型例題】 例1. 如圖（1），∠AOB=30，OP平分∠AOB，PC∥OB交OA于點(diǎn)C，PM⊥OB于點(diǎn)M。 求證：PC=2PM 圖（1） 圖（2） 例2. 如圖（3），PA=PB，∠A+∠B=180。求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上。 圖（3） 圖（4） 例3. 如圖（5）△ABC的外角∠CBM和∠BCN的角平分線相交于點(diǎn)P。 求證：點(diǎn)P 在∠MAN的角平分線上。 圖（5） 圖（6） 例4. 如圖（7），在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在斜邊AB上點(diǎn)E處，求DE的長。 圖（7） 【模擬試題】 一、選擇題 1. 如圖，點(diǎn)P在∠AOD的角平分線上，PC⊥OA，PB⊥OD，則圖中的全等三角形共有多少對（ ）。 A、2 B、3 C、4 D、5 2. 到三角形三條邊的距離相等的點(diǎn)是這個三角形的（ ） A、三條中線的交點(diǎn) B、三條高的交點(diǎn) C、三條角平分線的交點(diǎn) D、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) 3. 如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，DC=5cm，則點(diǎn)D到線段AB的距離為（ ） A、5cm B、4cm C、3cm D、2cm 4. 如圖，Rt△ABC中，∠A=90，BD平分∠ABC，AD=2cm，則DC的長為（ ） A、 2cm B、4cm C、cm D、cm 二、填空題 5. 三角形的三條角平分線 ，并且 。 6. 如圖，△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，AB=18cm，BC=12cm，，則線段DE= 。 7. 如圖，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角ABC和外角ACD的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)P到邊AC 的距離為4cm，則點(diǎn)P到邊AB的距離是 。 三、解答題 8. 如圖，點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上。PA=PB，求證：∠A+∠PBO=180。 9. 如圖，Rt△ABC中，∠C=90，沿經(jīng)過點(diǎn)B的一條直線折疊△ABC，使點(diǎn)C恰好落在斜邊AB的中點(diǎn)E處，求∠A的度數(shù)。 10. 如圖，要在三條公路AB、AC、BC之間修建一個加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，加油站應(yīng)建在什么位置？