《2020版高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 導數(shù)的實際應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 導數(shù)的實際應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
3．3.3 導數(shù)的實際應用
學習目標 1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題．
知識點 生活中的優(yōu)化問題
1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．
2．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值．
3．解決優(yōu)化問題的基本思路：
上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程．
1．生活中常見到的收益最高、用料最省等問題就是數(shù)學中的最大、最小值問題．( √ )
2．解決應用問題的關鍵是建立數(shù)學模型．( √ )
題型一 幾何中的最值問題
例1 請你設計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.
(1)若廣告商要求包裝盒側面積S最大，則x應取何值？
(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
考點 幾何類型的優(yōu)化問題
題點 幾何體體積的最值問題
解 (1)由題意知包裝盒的底面邊長為xcm，
高為(30－x)cm,0
0，得010，y>8.
(1)兩欄面積之和為2(y－8)＝720，
由此得y＝＋8(x>10)．
(2)試卷的面積S＝xy＝x，
∴S′＝＋8，
令S′＝0，得x＝40(負數(shù)舍去)，
∴函數(shù)在(10,40)上單調(diào)遞減，在(40，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴當x＝40時，S取得最小值，
故當試卷的長為40cm，寬為32cm時，可使試卷的面積最?。?
題型二 實際生活中的最值問題
命題角度1 利潤最大問題
例2 某工廠共有10臺機器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術水平等因素的限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元．(利潤＝盈利－虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù)；
(2)當每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 (1)由題意得，所獲得的利潤為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝，
當4≤x≤6時，y′≥0，函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù)；
當6≤x≤12時，y′≤0，函數(shù)在[6,12]上為減函數(shù)，
所以當x＝6時，函數(shù)取得極大值，且為最大值，
最大利潤為y＝206－362＋96ln6－90＝96ln6－78(萬元)．
反思感悟 解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關系，常見的基本等量關系有：
(1)利潤＝收入－成本．
(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)．
跟蹤訓練2 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中30，g(x)為增函數(shù)，
所以當x＝8時，函數(shù)取得極小值，且為最小值．
故當建成8個球場時，每平方米的綜合費用最?。?
反思感悟 費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際作答．
跟蹤訓練3 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)解決費用最省問題
解 (1)由題意知，每年的能源消耗費用為C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)．
設建造費用為C1(x)，則C1(x)＝6x.
所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)因為f(x)＝＋6x(0≤x≤10)，
所以f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(負值舍去)．
當0≤x<5時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；
當50，f(x)為增函數(shù)．
故x＝5是函數(shù)f(x)的極小值點，也是最小值點，對應的最小值為f(5)＝＋65＝70.
故當隔熱層修建厚度為5cm時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元．
損耗最少問題
典例 已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的速度為v千米/時(80)，則y1＝kv2.
∵當v＝12時，y1＝720，∴720＝k122，得k＝5.
設全程燃料費為y元，由題意，
得y＝y(tǒng)1＝(80，y為增函數(shù)．
故當v＝16時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費最?。?
若v0<16，當v∈(8，v0]時，y′<0，y在(8，v0]上為減函數(shù)．
故當v＝v0時，y取得最小值，此時全程燃料費最?。?
綜上可得，若v0≥16，則當v＝16千米/時時，全程燃料費最省；
若v0<16，則當v＝v0時，全程燃料費最省．
[素養(yǎng)評析] (1)解決實際應用問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學語言，要先找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化、形式化、抽象成數(shù)學問題，再化歸為常規(guī)問題，最后選擇合適的數(shù)學方法求解．
(2)確定函數(shù)模型，將實際問題轉化成數(shù)學問題的要求較高，有利于數(shù)學建模素養(yǎng)的提升．
1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是( )
A．8B.C．－1D．－8
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 函數(shù)類型的其他問題
答案 C
解析 原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.
2．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，則該長方體的最大體積為( )
A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3
考點 幾何類型的優(yōu)化問題
題點 幾何體體積的最值問題
答案 B
解析 設長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h＝＝－3x(m)，
故長方體的體積為V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
當00；當10)；生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x(千臺)的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，則應生產(chǎn)( )
A．9千臺B．8千臺C．6千臺D．3千臺
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 C
解析 利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)，
求導得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．
所以當生產(chǎn)6千臺時，利潤最大．
4．容積為256的方底無蓋水箱，它的高為時最省材料．
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)解決費用最省問題
答案 4
解析 設水箱高為h，底面邊長為a，則a2h＝256，
其表面積為S＝a2＋4ah＝a2＋4a＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
當08時，S′>0，
故當a＝8時，S最小，此時h＝＝4.
5．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知當商品單價降低2元時，每星期多賣出24件．
(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；
(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 (1)設商品降價x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2.
若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知條件，得24＝k22，于是k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
故當x＝12時，f(x)取得極大值．
因為f(0)＝9072，f(12)＝11664.
所以當定價為30－12＝18(元)時，才能使一個星期的商品銷售利潤最大．
1．利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟
(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)．
(2)求函數(shù)的導函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
2．正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解答應用問題的主要思路．另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應用.
一、選擇題
1．已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋36x＋126，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( )
A．11萬件B．9萬件C．7萬件D．6萬件
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 D
解析 由y′＝－x2＋36＝0，
解得x＝6或x＝－6(舍去)．
當00；
當x>6時，y′<0，
∴在x＝6時y取最大值．
2．將8分為兩個非負數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個數(shù)為( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不對
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 函數(shù)類型的其他問題
答案 B
解析 設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，
其立方和為y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
則y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
當0≤x<4時，y′<0；
當40，
所以當x＝4時，y取得極小值，也是最小值．
所以這兩個數(shù)為4,4.
3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關系是R(x)＝則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是( )
A．150B．200C．250D．300
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 D
解析 由題意得，總利潤
P(x)＝
∴P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，
當00，
當300P(390)＝31090.故選D.
4．某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2的造價為12元，則箱子的最低總造價為( )
A．900元B．840元C．818元D．816元
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)解決費用最省問題
答案 D
解析 設箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，
根據(jù)題意得箱底面積為＝16(m2)，
則箱底另一邊的長度為m，
所以l＝1615＋12
＝240＋72，
l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
當04時，l′>0.
故當x＝4時，l取得極小值，也就是最小值，為816.
因此，當箱底是邊長為4m的正方形時，箱子的總造價最低，最低總造價為816元．
5．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時底面邊長為( )
A.B.C.D．2
考點 幾何類型的優(yōu)化問題
題點 面積的最值問題
答案 C
解析 設底面邊長為x，
則表面積S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判斷得當x＝時，直棱柱的表面積最?。?
6．在三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y(tǒng)，且x＋y＝3，則三棱錐O－ABC體積的最大值為( )
A．4B．8C.D.
考點 幾何類型的優(yōu)化問題
題點 幾何體體積的最值問題
答案 C
解析 V＝y(tǒng)＝＝
＝(00，右側L′(p)<0，
所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值．
二、填空題
9．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為cm.
考點 幾何類型的優(yōu)化問題
題點 幾何體體積的最值問題
答案 8
解析 設截去的正方形的邊長為xcm，
鐵盒的體積為Vcm3，則鐵盒的底面邊長為(48－2x) cm，
由題意，得V＝x(48－2x)2(00)，
y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，當x∈(0,25)時，y′>0；
當x∈(25，＋∞)時，y′<0，
所以當x＝25時，y取最大值．
11．統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當汽車以千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油量最少．
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)解決費用最省問題
答案 80
解析 當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為y升，由題意，得
y＝
＝＋－(00，該函數(shù)遞增，故當x＝80時，y取得最小值．
三、解答題
12．某單位用3240萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少15層、每層3000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥15)層，則每平方米的平均建筑費用為840＋kx(單位：元)．已知樓房建為15層時，每平方米的平均建筑費用為1245元．
(1)求k的值．
(2)當樓房建為多少層時，樓房每平方米的平均綜合費用最少？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
考點
題點
解 (1)由題意可得840＋15k＝1245，解得k＝27.
(2)設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)，
則f(x)＝(840＋27x)＋
＝840＋27x＋(x≥15且x∈N＋)，
f′(x)＝27－，令f′(x)＝0，得x＝20，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
[15,20)
20
(20，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以當x＝20時，f(x)有最小值．
答 為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層．
13．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝
(1)求年利潤W(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值．
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 (1)當010時，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①當00；當x∈(9,10]時，W′<0.
所以當x＝9時，W取得最大值，
即Wmax＝8.19－93－10＝38.6.
②當x>10時，W＝98－
≤98－2＝38，
當且僅當＝2.7x，即x＝時，W取得最大值38.
綜合①②知，當x＝9千件時，W取得最大值38.6萬元．
答 當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元．
14．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．設存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為( )
A．0.0162 B．0.0324
C．0.0243 D．0.0486
考點 函數(shù)類型的優(yōu)化問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 B
解析 由題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．
所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(00；
當0.03240?r<2，
所以定義域為(0,2)．
(2)因為y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2
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2020版高中數(shù)學
第三章
導數(shù)及其應用
3.3.3
導數(shù)的實際應用學案含解析新人教B版選修1
-1
2020
高中數(shù)學
第三
導數(shù)
及其
應用
3.3
實際
解析
新人
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2020版高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3.3 導數(shù)的實際應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx
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