2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案(含解析)新人教B版選修2-1.docx
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專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略 利用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題,關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系,將其他向量用坐標(biāo)表示,通過(guò)向量運(yùn)算,判定或證明空間元素的位置關(guān)系,以及空間角、空間距離問(wèn)題的探求.所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要,下面簡(jiǎn)述空間建系的四種方法,希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問(wèn)題能做到有的放矢,化解自如. 一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱 例1 已知直四棱柱中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠DAB為直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,試求異面直線BC1與DC所成角的余弦值. 考點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 解 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 則D(0,0,0),C1(0,1,2),B(2,4,0),C(0,1,0), 所以=(-2,-3,2),=(0,-1,0). 所以cos〈,〉==. 故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為. 點(diǎn)評(píng) 本例以直四棱柱為背景,求異面直線所成角.求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著手,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo),再求兩異面直線的方向向量的夾角即可. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,∠PAD=90,且PA=AD=2,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點(diǎn),求異面直線EF與BD所成角的余弦值. 考點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 解 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以,PA⊥平面ABCD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 則E(0,0,1),F(xiàn)(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0). =(1,2,-1),=(-2,2,0), 故cos〈,〉==. 即異面直線EF與BD所成角的余弦值為. 二、利用線面垂直關(guān)系 例2 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E為棱C1C的中點(diǎn),已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo). 考點(diǎn) 空間向量的正交分解 題點(diǎn) 向量的坐標(biāo) 解 過(guò)點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P, 因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BP,AB⊥BB1, 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BP,BB1,BA所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz. 又BP⊥BB1,BB1∩AB=B, 且BB1,AB?平面ABB1A1,所以BP⊥平面ABB1A1, 因?yàn)锳B=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=, 所以CP=,C1P=,BP=,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 B(0,0,0),A(0,0,),B1(0,2,0),C, C1,E,A1(0,2,),P. 點(diǎn)評(píng) 空間直角坐標(biāo)系的建立,要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣建成的坐標(biāo)系,既能迅速寫出各點(diǎn)的坐標(biāo),又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0,也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便.本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”,可作為建系的突破口. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. 考點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 解 取BC的中點(diǎn)E,連接AE. 由AB=AC得AE⊥BC, 從而AE⊥AD,AE===. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0), N,=(0,2,-4), =,=. 設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則 即可取n=(0,2,1). 于是|cos〈n,〉|==. 設(shè)AN與平面PMN所成的角為θ,則sinθ=, ∴直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為. 三、利用面面垂直關(guān)系 例3 如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠ABC=60,E是BC的中點(diǎn).將△ABE沿AE折起,使平面BAE⊥平面AEC(如圖2),連接BC,BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小. 考點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 解 取AE中點(diǎn)M,連接BM,DM. 因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60,E是BC的中點(diǎn), 所以△ABE與△ADE都是等邊三角形, 所以BM⊥AE,DM⊥AE. 又平面BAE⊥平面AEC,平面BAE∩平面AEC=AE,所以BM⊥平面AEC,所以BM⊥MD. 以M為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ME,MD,MB所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz,如圖, 則B(0,0,),C(2,,0),D(0,,0),M(0,0,0), 所以=(2,0,0),=(0,,-),=(0,,0), 設(shè)平面BCD的法向量為m=(x,y,z), 由 取y=1,得m=(0,1,1), 又因平面ABE的一個(gè)法向量=(0,,0), 所以cos〈m,〉==, 所以平面ABE與平面BCD所成的銳角為45. 點(diǎn)評(píng) 本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系,先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直,再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,然后分別求出兩個(gè)平面的法向量,求出兩法向量夾角的余弦值,即可得所求的兩平面所成的銳角的大?。梅ㄏ蛄康膴A角求二面角時(shí)應(yīng)注意:平面的法向量有兩個(gè)相反的方向,取的方向不同求出來(lái)的角度就不同,所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大?。? 跟蹤訓(xùn)練3 在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD. (1)證明:AB⊥平面VAD; (2)求二面角A-VD-B的平面角的余弦值. 考點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 (1)證明 取AD的中點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn), 由題意知,VO⊥底面ABCD, 則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AD=2,則A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),V(0,0,). 易得=(0,2,0), =(1,0,-). ∵=(0,2,0)(1,0,-)=0, ∴⊥,即AB⊥VA. 又AB⊥AD,AD∩VA=A,∴AB⊥平面VAD. (2)解 易得=(1,0,). 設(shè)E為DV的中點(diǎn),連接EA,EB, 則E, ∴=,=. ∵=(1,0,)=0, ∴⊥,即EB⊥DV. 又EA⊥DV,∴∠AEB為所求二面角的平面角, ∴cos〈,〉==. 故所求二面角的平面角的余弦值為. 四、利用底面的中心與高所在的直線,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系 例4 如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形,O1,O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O. (1)求證:平面O1DC⊥平面ABCD; (2)若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,問(wèn)點(diǎn)F在何處時(shí),EF⊥AD? 考點(diǎn) 向量法求解直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn) 方向向量與線線垂直 (1)證明 如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)OA=1,OA1=a. 則A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,a),C(-1,0,0),D(0,-1,0),O1(-1,0,a). 則=(1,-1,-a),=(0,0,-a). 設(shè)m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分別是平面O1DC和平面ABCD的法向量. 由得 令x1=1,則m=(1,1,0),而n=λ=(0,0,λa), 故mn=0,即平面O1DC與平面ABCD的法向量垂直,故平面O1DC⊥平面ABCD. (2)解 由(1)可知,=,=(-1,0,a), ==(-1,-1,0). 設(shè)=γ,則=(-γ,-γ,0),故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-γ,1-γ,0),∴=. EF⊥AD?=0,而=--γ-γ+1=0,解得γ=.故當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)(靠近B)時(shí),有EF⊥AD. 點(diǎn)評(píng) 依托于平行六面體的高所在直線與底面正方形的兩對(duì)角線便可建立空間直角坐標(biāo)系. 跟蹤訓(xùn)練4 已知正四棱錐V-ABCD中,E為VC的中點(diǎn),正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h. (1)求∠DEB的余弦值; (2)若BE⊥VC,求∠DEB的余弦值. 考點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 解 (1)如圖所示,以V在底面ABCD內(nèi)的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,其中Ox∥BC,Oy∥AB.由AB=2a,OV=h,知B(a,a,0),C(-a,a,0), D(-a,-a,0),V(0,0,h), E. ∴=,=, ∴cos〈,〉==. 即cos∠DEB=. (2)∵BE⊥VC,∴=0,即(-a,a,-h(huán))=0, ∴a2--=0,∴h=a. 此時(shí)cos〈,〉==-, 即cos∠DEB=-. 1.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角為_(kāi)_______. 答案 45 解析 以D為原點(diǎn),分別以射線DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示, 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1, 則D(0,0,0),C(0,1,0), E,F(xiàn), =, =(0,1,0), ∴cos〈,〉==-, ∴〈,〉=135, ∴異面直線EF和CD所成的角是45. 2.在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 向量法求二面角 題點(diǎn) 向量法求二面角 答案 解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 則A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1), 平面SAB的一個(gè)法向量 =, 并求得平面SCD的一個(gè)法向量n=, 則cos〈,n〉==. 即所求銳二面角的余弦值為. 3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,且OC⊥平面ABB1A1. (1)證明:BC⊥AB1; (2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值. 考點(diǎn) 題點(diǎn) (1)證明 由題意知tan∠ABD==,tan∠AB1B==, 又∠ABD,∠AB1B為三角形的內(nèi)角, 故∠ABD=∠AB1B, 則∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1=, 所以∠AOB=,即AB1⊥BD. 又CO⊥平面ABB1A1,AB1?平面ABB1A1, 所以AB1⊥CO, 因?yàn)锽D∩CO=O,BD,CO?平面CBD, 所以AB1⊥平面CBD, 又BC?平面CBD,所以AB1⊥BC. (2)解 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)D,OB1,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則A,B,C,D, =,=, =, 設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z), 則即 令y=1,則z=-1,x=, ∴平面ABC的一個(gè)法向量n=. 設(shè)直線CD與平面ABC所成角為α, 則sinα=|cos〈,n〉|= ==. 一、選擇題 1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 C 解析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 則D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,),D1(0,0,), 所以=(-1,0,),=(1,1,), 因?yàn)閏os〈,〉===. 2.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,M,E,F(xiàn)分別為PQ,AB,BC的中點(diǎn),則異面直線EM與AF所成角的余弦值是( ) A. B. C.- D. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 A 解析 由題設(shè)易知,AB,AD,AQ兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,AQ所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2, 則A(0,0,0),E(1,0,0),M(0,1,2),F(xiàn)(2,1,0), =(-1,1,2),=(2,1,0), cos〈,〉===, 則異面直線EM與AF所成角的余弦值為. 3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BD與平面A1C1D所成角的正弦值是( ) A.B.C.D.1 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 B 解析 以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2), 且n=(1,1,1)是平面A1C1D的一個(gè)法向量, 因?yàn)椋?2,2,0), 所以cos〈n,〉===. 設(shè)DB與平面A1C1D所成的角為θ,則sinθ=cos〈n,〉=. 4.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,則AB1與C1B所成角的大小為( ) A.60 B.75 C.105 D.90 考點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 答案 D 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BB1=1, 則A(0,0,1),B1, C1(0,,0),B. ∴=, =, ∴=--1=0, 即AB1與C1B所成角的大小為90. 5.(2018貴州貴陽(yáng)高二檢測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,點(diǎn)E在棱PA上,且PE=2EA,則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 答案 B 解析 如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BC,BA,BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 則B(0,0,0),A(0,3,0),P(0,0,3),D(3,3,0),E(0,2,1), ∴=(0,2,1),=(3,3,0). 設(shè)平面BED的法向量為n=(x,y,z), 則 取z=1,得n=. 又平面ABE的法向量為m=(1,0,0), ∴cos〈n,m〉===. ∴平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為. 6.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60,則二面角A-A1C-B的余弦值是( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 C 解析 由題意知AB⊥AC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),A1(0,0,). 設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x,y,z), 則n=0,n=0. 又因?yàn)椋?-1,,0),=(0,,-), 所以令y=1,則n=(,1,1). 取m==(1,0,0)為平面AA1C的一個(gè)法向量, 所以cos〈m,n〉===. 所以二面角A-A1C-B的余弦值為. 二、填空題 7.如圖所示,在四面體ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與直線所成的角 答案 解析 取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC. 由題意知OA,OC,BD兩兩垂直, 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示, 則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1), 所以=(1,0,-1),=(-1,-,0), cos〈,〉==-, 因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是, 所以AB與CD所成角的余弦值是. 8.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,OA=4,OB=3,OP=4,OP⊥底面ABCD.設(shè)點(diǎn)M滿足=λ(λ>0),當(dāng)λ=時(shí),直線PA與平面BDM所成角的正弦值是________. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 解析 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則=(4,0,-4),=(0,6,0),=(-4,3,0). 當(dāng)λ=時(shí),得M, 所以=. 設(shè)平面DBM的法向量為n=(x,y,z), 則解得y=0,令x=2,則z=1, 所以n=(2,0,1). 因?yàn)閏os〈,n〉===, 所以直線PA與平面BDM所成角的正弦值為. 9.(2018山西太原高二檢測(cè))已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=PD=,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中點(diǎn),O是AD的中點(diǎn),則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是________. 考點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 答案 解析 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. 則B(1,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,2),M. ∴=. 設(shè)平面PCO的法向量為n=(x,y,z), 則 ∴ 取n=(2,1,0). 因此直線BM與平面PCO所成角的正弦值是 |cos〈,n〉|==. 10.如圖,四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形,其對(duì)角線AC=2,BD=.若CF⊥平面ABCD,CF=2,則二面角B-AF-D的大小為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 解析 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥平面ABCD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖). 于是B,D,F(xiàn)(0,2,2). 設(shè)平面ABF的法向量為n1=(x,y,z), 則由得 令z=1,得所以n1=(-,-1,1). 同理,可求得平面ADF的一個(gè)法向量為n2=(,-1,1). 由n1n2=0,知平面ABF與平面ADF垂直, 所以二面角B-AF-D的大小為. 11.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體AC1中,點(diǎn)P,Q分別在棱BC,CD上,B1Q⊥D1P,且PQ=.若P,Q分別為BC,CD的中點(diǎn),則二面角C1-PQ-A的余弦值是________. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 - 解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則P(2,1,0),Q(1,2,0),C1(2,2,2). 設(shè)平面C1PQ的法向量為n=(a,b,c). 因?yàn)椋?-1,1,0),=(0,1,2), 又n=n=0, 所以令c=-1,則a=b=2, 所以n=(2,2,-1). 因?yàn)閗=(0,0,2)為平面APQ的一個(gè)法向量, 所以cos〈n,k〉=-. 因?yàn)槎娼菫殁g角,所以所求余弦值為-. 12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a,則AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的大小為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 30 解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AA1所在直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 則A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1, =(0,a,0),=(0,0,a), =. 設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z), ∴n=0且n=0.∴ ∴y=z=0.故n=(x,0,0). ∴cos〈,n〉==-, ∴|cos〈,n〉|=. 又直線與平面所成的角在[0,90]范圍內(nèi), ∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30. 三、解答題 13.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn). (1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值; (2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值. 考點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求直線與平面所成的角 解 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{,,}為基底,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2). (1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以P, 從而=,=(0,2,2), 故|cos〈,〉|===. 因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為. (2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q, 因此=,=(0,2,2),=(0,0,2). 設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個(gè)法向量, 則即 不妨取n=(,-1,1). 設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為θ, 則sinθ=|cos〈,n〉|===. 所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為. 14.如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (1)證明:BD⊥平面AED; (2)求平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值. 考點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 題點(diǎn) 向量法求平面與平面所成的角 (1)證明 因?yàn)锽C⊥CD,BC=CD=2,所以BD=2. 又因?yàn)镋A⊥ED,EA=ED=2,所以AD=2. 又因?yàn)锳B=4,由勾股定理知BD⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍱AD⊥平面ABCD, 平面EAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD, 所以BD⊥平面AED. (2)解 如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OE,則OE⊥AD. 因?yàn)槠矫鍱AD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD, 所以O(shè)E⊥平面ABCD. 取AB的中點(diǎn)F,連接OF,則OF∥BD. 因?yàn)锽D⊥AD,所以O(shè)F⊥AD. 以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則D(-,0,0),C(-2,,0),E(0,0,),=(-,,0),=(,0,). 設(shè)平面CDE的法向量為n1=(x,y,z), 則所以 令x=1,可得平面CDE的一個(gè)法向量n1=(1,1,-1). 又平面ADE的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0). 因此|cos〈n1,n2〉|==. 所以平面ADE和平面CDE所成角(銳角)的余弦值為. 15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90,BC=CD=AD,E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90. (1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說(shuō)明理由; (2)若二面角P-CD-A的大小為45,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 考點(diǎn) 題點(diǎn) 解 (1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行. 延長(zhǎng)AB,DC,相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下: 由已知得,BC∥ED,且BC=ED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形. 從而CM∥EB.又EB?平面PBE,CM?平面PBE, 所以CM∥平面PBE. (2)由已知得,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD,所以CD⊥PD. 從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45. 由PA⊥AB,PA⊥CD,AB∩CD=M,AB,CD?平面ABCD,可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2. 作Ay⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以,的方向分別為x軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), 所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2), 設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z), 由得 取x=2,得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α, 則sinα===. 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 專題突破三 空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略學(xué)案含解析新人教B版選修2-1 2020 高中數(shù)學(xué) 第三 空間 向量 立體幾何 專題 突破 直角 坐標(biāo)系 構(gòu)建 策略
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