2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念同步學(xué)案 新人教A版選修1 -2.docx
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3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解數(shù)系的擴(kuò)充過程與引入復(fù)數(shù)的必要性.2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其代數(shù)形式.3.掌握實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系及復(fù)數(shù)相等的充要條件.4.利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件解決實(shí)際問題． 知識點(diǎn)一 對虛數(shù)單位的理解 在實(shí)數(shù)集中，有些方程是無解的，例如x2＋1＝0，為此，人們引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i，并且規(guī)定： (1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立． 知識點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的概念與分類 思考 為解決方程x2＝2在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題，數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢？ 答案 設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x2＋1＝0的根，即ii＝－1，方程x2＋1＝0有解，同時(shí)得到一些新數(shù)． 梳理 (1)復(fù)數(shù) ①定義：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．a(chǎn)叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部． ②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式． (2)復(fù)數(shù)集 ①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集． ②表示：通常用大寫字母C表示． 知識點(diǎn)三 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件 思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i? 答案 不能．當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大?。? 梳理 在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d. 知識點(diǎn)四 復(fù)數(shù)的分類 (1)復(fù)數(shù)(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 1．若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．( ) 2．復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)．( ) 3．若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．( √ ) 類型一 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念 例1 (1)在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)給出下列四個(gè)命題： ①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③復(fù)數(shù)3－4i的實(shí)部與復(fù)數(shù)4－3i的虛部相等；④若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)． 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 D．3 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 (1)C (2)A 解析 (1)i，(1－)i為純虛數(shù)；2＋，0,0.618是實(shí)數(shù)；8＋5i是虛數(shù)． (2)對于①，當(dāng)z∈R時(shí)，z2≥0成立，否則不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①為假命題．對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，所以②為假命題．對于③，復(fù)數(shù)3－4i的實(shí)部為3，復(fù)數(shù)4－3i的虛部為－3，因此③為假命題．對于④，當(dāng)a＝－1時(shí)，(a＋1)i為實(shí)數(shù)，所以④為假命題，因此四個(gè)命題都是假命題． 反思與感悟 (1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若z＝a＋bi，只有當(dāng)a，b∈R時(shí)，a才是z的實(shí)部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b. (2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分． (3)舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答判斷命題真假類題目時(shí)，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答． 跟蹤訓(xùn)練1 下列命題： ①1＋i2＝0； ②若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0； ③兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。? 是真命題的為________．(填序號) 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案?、佗? 解析 ②當(dāng)x＝i，y＝1時(shí)，x2＋y2＝0，所以②錯(cuò)． 所以①③正確． 類型二 復(fù)數(shù)的分類 例2 求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z＝＋(m2＋5m＋6)i分別是：(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù)． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 解 (1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是 解得m≠－3且m≠－2. ∴當(dāng)m≠－3且m≠－2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是 解得即m＝3. ∴當(dāng)m＝3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)． 引申探究 1．若本例條件不變，m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)． 解 由已知得，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為， 虛部為m2＋5m＋6. 復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是 解得即m＝－2. ∴當(dāng)m＝－2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)． 2．已知i是虛數(shù)單位，m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m－15)i，則當(dāng)m＝________時(shí)，z為純虛數(shù)． 答案 3或－2 解析 由題意知 解得m＝3或－2. 反思與感悟 根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，z∈R；當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，z為純虛數(shù)．要充分理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價(jià)條件，切不可忘記復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的另一個(gè)必要條件是b≠0，計(jì)算中分母不為0也不可忽視． 跟蹤訓(xùn)練2 已知復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是(1)零；(2)純虛數(shù)． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 解 (1)因?yàn)閦是零，所以解得m＝1. 故當(dāng)m＝1時(shí)，z是零． (2)因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以解得m＝0. 故當(dāng)m＝0時(shí)，z是純虛數(shù)． 類型三 復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用 例3 若關(guān)于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有實(shí)數(shù)解，求a的值． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 利用復(fù)數(shù)相等解決一元二次方程 解 將原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0. 設(shè)方程的實(shí)數(shù)解為x0，代入上式得 (x－2ax0＋5)＋(x－2x0－3)i＝0. 由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得 得a＝或a＝－3. 反思與感悟 已知兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)值的問題，可根據(jù)相等的定義將其轉(zhuǎn)化為方程(組)來求解．當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí)，應(yīng)先分清兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后讓實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等． 跟蹤訓(xùn)練3 (1)滿足x－3i＝(8x－y)i的實(shí)數(shù)x，y的值為( ) A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3 C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案 A 解析 依題意得解得故選A. (2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求實(shí)數(shù)a的值． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 解 由題意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴解得a＝－1. 1．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ) ①z的實(shí)部為1；②z>0；③z的虛部為i. A．1 B．2 C．3 D．0 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 A 解析 易知①正確，②③錯(cuò)誤，故選A. 2．下列各數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) 2－，i，i2,5i＋8，i2＋1＋3i,0.618＋ai(a∈R)． A．0 B．1 C．2 D．3 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 C 解析 由純虛數(shù)的定義知，i，i2＋1＋3i＝3i是純虛數(shù)． 3．復(fù)數(shù)z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，若z1＝z2，則θ等于( ) A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z) C．2kπ(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z) 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案 D 解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知， ∴cosθ＝，sinθ＝， ∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故選D. 4．3i2＋7i的實(shí)部為________，虛部為________． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部 答案 －3 7 解析 3i2＋7i＝－3＋7i，實(shí)部為－3，虛部為7. 5．已知復(fù)數(shù)z＝m＋(m2－1)i(m∈R)滿足z<0，則m＝________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案?。? 解析 ∵z<0，∴z為實(shí)數(shù)且小于0，∴ 解得m＝－1. 1．對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況． 2．兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷． 一、選擇題 1．對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，下列說法正確的是( ) A．若a＝0，則a＋bi為純虛數(shù) B．若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－3 C．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù) D．1的平方等于i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 C 解析 對于A，當(dāng)a＝0時(shí)，a＋bi也可能為實(shí)數(shù)；對于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1；對于D,1的平方仍為1.故選C. 2．i是虛數(shù)單位，i＋i2＋i3等于( ) A．－1 B．1 C．－i D．i 考點(diǎn) 虛數(shù)單位i及其性質(zhì) 題點(diǎn) 虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì) 答案 A 解析 i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1. 3．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋3i的實(shí)部與復(fù)數(shù)z2＝－1－ai的虛部相等，則實(shí)數(shù)a等于( ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案 C 解析 易知1＋3i的實(shí)部為1，－1－ai的虛部為－a， 則a＝－1. 4．復(fù)數(shù)i的虛部為( ) A．2 B．－ C．2－ D．0 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部 答案 C 5．復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)為實(shí)數(shù)的充要條件是( ) A．|a|＝|b| B．a(chǎn)<0且a＝－b C．a(chǎn)>0且a≠b D．a(chǎn)≤0 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 D 解析 復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故選D. 6．若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為( ) A．1 B．2 C．1或2 D．－1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 B 解析 因?yàn)閺?fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)， 所以解得a＝2. 7．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于( ) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 利用復(fù)數(shù)相等解決一元二次方程 答案 B 解析 由題意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即解得∴z＝3－i. 8．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為( ) A.B．2C．0D．1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案 D 解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件知， 解得 ∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 二、填空題 9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，則實(shí)數(shù)a的值為________． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案?。? 解析 易知解得a＝－4. 10．已知實(shí)數(shù)a，x，y滿足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是__________． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等的條件 答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 11．設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 －2 解析 由解得m＝－2. 三、解答題 12．當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m)i為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解 (1)當(dāng)即m＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)． (2)當(dāng)m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)． (3)當(dāng) 即m＝－3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)． 13．已知復(fù)數(shù)z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R. (1)若z是純虛數(shù)，求a的值； (2)若z是虛數(shù)，且z的實(shí)部比虛部大，求a的取值范圍． 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解 復(fù)數(shù)z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R. (1)若z是純虛數(shù)，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0， 解得a＝－1. (2)若z是虛數(shù)，且z的實(shí)部比虛部大， 可得a2－1>－a2＋3a－2≠0， 解得a>1或a<且a≠2. 所以a的取值范圍為∪(1,2)∪(2，＋∞)． 四、探究與拓展 14．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N*，則m＋n＝________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 1或2 解析 由題意得 由②，得m＝0或m＝3. 當(dāng)m＝0時(shí)，由(m＋n)≥－1，得0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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