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第18講　排列、組合與二項式定理 1.(1)[2017全國卷Ⅱ]安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有 (　　) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 (2)[2018全國卷Ⅰ]從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有　　　　種.(用數(shù)字填寫答案) [試做] 命題角度　排列組合應用問題 ①關鍵一:確定完成一件事需要分類還是分步; 關鍵二:在綜合應用兩個計數(shù)原理時,一般先分類再分步; 關鍵三:確定是排列問題還是組合問題. ②注意題目中是否有特殊條件限制. 2.(1)[2018全國卷Ⅲ]x2+2x5的展開式中x4的系數(shù)為 (　　) A.10 B.20 C.40 D.80 (2)[2017全國卷Ⅰ]1+1x2(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為 (　　) A.15 B.20 C.30 D.35 (3)[2015全國卷Ⅱ] (a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=　　　　. [試做] 命題角度　二項式定理 ①解決二項式的有關問題,關鍵是熟練掌握二項式展開式的正用和逆用. ②在求特定項時,先準確寫出通項公式,再把系數(shù)和字母分離出來(特別注意符號),列出方程或不等式求解即可. 小題1排列、組合的基本問題 1 (1)甲、乙兩人都計劃在國慶節(jié)的七天假期中,到東亞文化之都——泉州“二日游”,若他們不同一天出現(xiàn)在泉州,則他們出游的不同方案共有 (　　) A.16種 B.18種 C.20種 D.24種 (2)某校舉辦了主題為“祖國,你好”的詩歌朗誦比賽,高三年級準備從包括甲、乙、丙在內的6名學生中選派4名學生參加比賽,且當甲、乙、丙都參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么不同的朗誦順序的種數(shù)為 (　　) A.320 B.324 C.410 D.416 [聽課筆記] 【考場點撥】 排列、組合問題的失分點:(1)分類不能做到“不重不漏”;(2)分步不能做到“步驟完整”,即步與步之間不能做到連續(xù)獨立;(3)對于既需要“分步”又需要“分類”的綜合問題,理不清先后關系;(4)不熟悉一些計數(shù)技巧,如:插入法、捆綁法、特殊元素分析法、特殊位置分析法等. 【自我檢測】 1.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去A,B,C三個不同的社區(qū)進行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.若甲必須去A社區(qū),乙不去B社區(qū),則不同的安排方法的種數(shù)為 (　　) A.8 B.7 C.6 D.5 2.六本不同的書在書架上擺成一排,要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端,丙、丁兩本書必須相鄰,則不同的擺放方法有(　　) A.24種 B.36種 C.48種 D.60種 3.從2個不同的紅球、2個不同的黃球和2個不同的藍球中任取2個,放入顏色分別為紅、黃、藍的三個袋子中,每個袋子中至多放入1個球,且球的顏色與袋子的顏色不同,那么不同的放法有 (　　) A.42種 B.36種 C.72種 D.46種 小題2二項式定理及其應用 2 (1)在(1-x)5(2x+1)的展開式中,含x4項的系數(shù)為 (　　) A.-5 B.-15 C.-25 D.25 (2)在3x-2xn的二項展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則二項展開式中的常數(shù)項為　　　　. [聽課筆記] 【考場點撥】 (1)對于“多項式乘二項式”型的二項式問題,通用的解法是系數(shù)配對法,即將多項式中的每一項xk的系數(shù)與后面二項式展開式中xr-k的系數(shù)相乘,然后把所有這些滿足條件的情況相加,即得到xr項的系數(shù). (2)常失分點:混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”概念,項的系數(shù)與a,b有關,可正可負,二項式系數(shù)只與n有關,恒為正;注意“常數(shù)項”“有理項”“系數(shù)最大的項”等概念. 【自我檢測】 1.在x+1x-16的展開式中,含x5項的系數(shù)為 (　　) A.6 B.-6 C.24 D.-24 2.已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,則a3= (　　) A.-5 B.-20 C.15 D.35 3.在2x+1x26的展開式中,x-3的系數(shù)為　　　　. 4.在x+3xn的展開式中,各項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和的比值為64,則x3的系數(shù)為　　　　.  　　　　　　 模塊六　概率與統(tǒng)計 第18講　排列、組合與二項式定理 典型真題研析 1.(1)D　(2)16　[解析] (1)把4項工作分成3組,分法為C42種,再分配給3名志愿者,分配方法有A33種,故不同的安排方式共有C42A33=36(種). (2)方法一:分兩種情況,即3人中1女2男的選法有C21C42種,3人中2女1男的選法有C22C41種.據(jù)分類加法計數(shù)原理知,不同的選法共有C21C42+C22C41=16(種). 方法二:從6人中任選3人有C63種選法,若3人均為男生有C43種選法,所以至少有1位女生入選的不同選法有C63-C43=16(種). 2.(1)C　(2)C　(3)3　　[解析] (1)二項式的通項為Tr+1=C5r(x2)5-r2xr=2rC5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為22C52=40. (2)(1+x)6的展開式中x2的系數(shù)為C62,x4的系數(shù)為C64,所以1+1x2(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為C62+C64=30. (3)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項一部分來自第一個因式取a,第二個因式取C41x及C43x3;另一部分來自第一個因式取x,第二個因式取C40x0,C42x2及C44x4.所以系數(shù)之和為aC41+aC43+C40+C42+C44=8a+8=32,所以a=3. 考點考法探究 小題1 例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)任意相鄰兩天組合在一起,一共有6種情況:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦. 若甲選①②或⑥⑦,則乙有4種選擇, 若甲選②③或③④或④⑤或⑤⑥,則乙有3種選擇, 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州的出游方案共有24+43=20(種). (2)方法一(直接法):分三種情況,一是甲、乙、丙中只有1人參加,不同的朗誦順序有C31A44種;二是甲、乙、丙中有2人參加,不同的朗誦順序有C32C32A44種;三是甲、乙、丙都參加,不同的朗誦順序有C31A22A32種.綜上可知不同的朗誦順序共有C31A44+C32C32A44+C31A22A32=324(種). 方法二(間接法):6名學生中選派4名參加,不同的朗誦順序共有A64=360(種),當甲、乙、丙都參加且甲、乙朗誦順序相鄰時,不同的朗誦順序共有C31A22A33=36(種),所以所求的不同的朗誦順序的種數(shù)為360-36=324. 【自我檢測】 1.B　[解析] 據(jù)題意,因為乙不去B社區(qū),所以乙有兩種去法.若乙去A社區(qū),則丙、丁就去B,C社區(qū),有A22種方法;若乙去C社區(qū),則丙、丁一個去A社區(qū)一個去B社區(qū)或都去B社區(qū)或一個去B社區(qū)一個去C社區(qū),有(A22+1+A22)種方法.所以共有A22+A22+1+A22=7(種)方法. 2.A　[解析] 第一步:甲、乙兩本書必須擺放在兩端,有A22種排法; 第二步:丙、丁兩本書必須相鄰,可視為整體與其他兩本書全排列,有A22A33種排法. 所以不同的擺放方法共有A22A33A22=24(種). 3.A　[解析] 分以下兩種情況: ①取出的2個球同色,有3種可能,取出球后只能將2個球放在不同顏色的袋子中,有A22種不同的放法,故不同的放法有3A22=6(種). ②取出的2個球不同色時,取球的方法數(shù)為C32C21C21=12,取球后將2個球放在袋子中的放法有3種,故不同的放法有123=36(種). 綜上可得不同的放法有42種,故選A. 小題2 例2　(1)B　(2)112　[解析] (1)依題意有C54x4+C53(-x)32x=-15x4,故含x4項的系數(shù)為-15,故選B. (2)∵3x-2xn的二項展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,∴n=8,∴展開式的通項為Tr+1=C8r(-2)rx8-4r3,令8-4r3=0,得r=2,故所求常數(shù)項為C82(-2)2x0=112. 【自我檢測】 1.B　[解析] 展開式中含x5的項為C65x51x0(-1)1=-6x5,故選B. 2.A　[解析] 在(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7中,令x=1,得2(a-1)6=a0+a1+…+a7=0,∴a=1.∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6,又(1-x)6的展開式的通項為Tr+1=C6r(-x)r=(-1)rC6rxr, ∴a3=(-1)3C63+(-1)2C62=-5.故選A. 3.160　[解析] 展開式的通項為Tr+1=C6r(2x)6-r1x2r=C6r26-rx6-3r,令6-3r=-3,得r=3,所以x-3的系數(shù)為C6323=160. 4.135　[解析] 在x+3xn的展開式中,令x=1,得各項系數(shù)的和為4n, 又展開式的二項式系數(shù)的和為2n, ∴4n2n=64, 解得n=6. ∴二項式x+3x6的展開式的通項為Tr+1=C6r3rx6-32r, 令6-32r=3,得r=2,故展開式中含x3項的系數(shù)為C6232=135. [備選理由] 例1為涉及立體幾何圖形的染色問題,需要分類分析,容易出現(xiàn)計數(shù)的重復與遺漏,要能結合圖形掌握分類與分步的標準;例2是一道常見的組合問題,可直接求解或用間接法求解;例3考查二項展開式的賦值法;例4為三項展開式的指定項的系數(shù)問題,有難度,要學會轉化為兩個二項式來處理. 例1　[配例1使用]用6種不同的顏色對正四棱錐P-ABCD的8條棱染色,每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同,不同的染色方案共有 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.14 400種 B.28 800種 C.38 880種 D.43 200種 [解析] C　從P點出發(fā)的4條側棱一定要用4種不同的顏色,有A64=360(種)不同的方案,接下來底面4條棱的染色根據(jù)是否使用剩下的2種顏色分類計數(shù). ①不使用新的顏色,有2種顏色方案. ②使用1種新的顏色,分為兩類: 第一類,染1條棱,有244=32(種)方案;第二類,染2條對棱,有224=16(種)方案. ③使用2種新的顏色,分為四類: 第一類,染2條相鄰的棱,有423=24(種)方案;第二類,染2條對棱,有224=16(種)方案;第三類,染3條棱,有422=16(種)方案;第四類,染4條棱,有2種方案. 因此不同的染色方案總數(shù)為360[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880,故選C. 例2　[配例1使用]某醫(yī)院響應國家精準扶貧號召,準備從3名護士和6名醫(yī)生中選取5人組成一個醫(yī)療小組到扶貧一線工作,要求醫(yī)療小組中既有醫(yī)生又有護士,則不同的選擇方案種數(shù)是　　　　.(用數(shù)字作答) [答案] 120 [解析] 根據(jù)題意可知從3名護士和6名醫(yī)生中選取5人組成一個醫(yī)療小組,有C95=126(種)選取方法,其中只有醫(yī)生的選取方法有C65=6(種),則醫(yī)療小組中既有醫(yī)生又有護士的選取方法有126-6=120(種). 例3　[配例2使用]設2x+1x(4x-1)9=bx+a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a0+a12+a222+…+a10210=　　　　. [答案] 5 [解析] 由題易知,b=C99(-1)9=-1, 令x=12,可得3=2b+a0+a12+a222+…+a10210, 所以a0+a12+a222+…+a10210=5. 例4　[配例2使用] (2x-1)n的展開式中,二項式系數(shù)的和為32,則(2x2+x-1)n的展開式中x3的系數(shù)為　　　　. [答案] -30 [解析] 由(2x-1)n的展開式中,二項式系數(shù)的和為32,可得2n=32,解得n=5.(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5, 所以(2x2+x-1)5的展開式中,含x3的項為C52x3C55(-1)5+C53x2C542x(-1)4+C54xC53(2x)2(-1)3+C55C52(2x)3(-1)2=-30x3, 所以所求系數(shù)為-30.